1、2018-2019学年内蒙古赤峰市高一（下）期末数学试卷（文科）（A卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若集合Ax|2x4，Bx|x3，则AB（）Ax|3x4Bx|3x4Cx|2x3Dx|2x32（5分）下列函数中，既是偶函数又在（，0）上是单调递减的是（）AycosxBylg|x|Cy1x2Dyex3（5分）函数y2x22|x|在2，2的图象大致为（）ABCD4（5分）已知向量，则下列结论正确的是（）ABC与垂直D5（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的个数为 （）若，m，n，则mn
2、若，m，n，则nm若mn，m，n，则若m，nm，n，则A1B2C3D46（5分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯（）A81盏B112盏C162盏D243盏7（5分）已知，则a，b满足的关系式是（）Aa1，且b1Ba1，且0b1Cb1，且0a1D0a1，且0b18（5分）已知函数，则有（）Af（x）的图象关于直线对称B
3、f（x）的图象关于点对称Cf（x）的最小正周期为Df（x）在区间（0，）内单调递减9（5分）在边长为2的菱形ABCD中，BAD60，E是BC的中点，则（）ABCD910（5分）在正四棱柱ABCDA1B1C1D1，则异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为（）ABCD11（5分）已知点A，B，C，D均在球O上，若三棱锥DABC体积的最大值为，则球O的体积为（）AB16C32D12（5分）已知圆C：（xa）2+（yb）21，平面区域：，若圆心C，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（）A5B29C37D49二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13（
4、5分）若存在实数x2，5，使不等式x22x+5m0成立，则m的取值范围是 14（5分）若点P（5，1）为圆x2+y26x0的弦MN的中点，则弦MN所在的直线的方程为 15（5分）已知，则cos2 16（5分）设函数的最小值为1，则a的取值范围是 三、解答题：共6小题，共70分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17（10分）已知an为等差数列，且a28，a60（）求an的通项公式；（）若等比数列bn满足b18，b2a1+a2+a3，求bn的前n项和公式18（12分）已知函数f（x）cos2xasinxcosxsin2x，且（1）求常数a
5、及f（x）的最大值；（2）当时，求f（x）的单调递增区间19（12分）在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且（1）求ABC的周长；（2）求cos（AC）的值20（12分）已知圆C经过点E（0，4），F（5，5），且圆心在直线l：2x7y+80上（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，2）的直线与圆C交于A，B两点，问在直线y2上是否存在定点N，使得kANkBN恒成立？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由21（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是边长为4的正三角形，侧面BB1C1C是矩形，D，E分别是线段BB1，AC1的中点（1）求证：DE平面ABC；（2）
6、若平面ABC平面BB1C1C，BB110，求三棱锥ADCE的体积22（12分）已知函数（1）判断函数奇偶性；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）比较f（x+1）与f（x）的大小2018-2019学年内蒙古赤峰市高一（下）期末数学试卷（文科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若集合Ax|2x4，Bx|x3，则AB（）Ax|3x4Bx|3x4Cx|2x3Dx|2x3【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出AB【解答】解：集合Ax|2x4，Bx|x3，ABx|3x4故选：B【点评】本题考查交集的求
7、法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（5分）下列函数中，既是偶函数又在（，0）上是单调递减的是（）AycosxBylg|x|Cy1x2Dyex【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，ycosx，为偶函数，但在区间（，0）上不是单调函数，不符合题意；对于B，ylg|x|，既是偶函数又在（，0）上是单调递减，符合题意；对于C，y1x2，为偶函数，但在区间（，0）上是增函数，不符合题意；对于D，yex，不是偶函数，不符合题意；故选：B【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的
8、奇偶性与单调性，属于基础题3（5分）函数y2x22|x|在2，2的图象大致为（）ABCD【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊点的位置判断即可【解答】解：函数y2x22|x|在2，2是偶函数，排除选项B、D，当x2时，f（e）40，排除选项A故选：C【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的特殊点的位置是判断函数的图象的基本方法4（5分）已知向量，则下列结论正确的是（）ABC与垂直D【分析】由题意利用向量的模的定义、两个向量共线、垂直的性质，两个向量的数量积公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论【解答】解：向量，（0，1），|1，|，故排除A；1+01，故（）与 不垂
9、直，故排除B；（）（0，1）（1，0）0，故（），故C正确；，故与不共线，故排除D，故选：C【点评】本题主要考查向量的模的定义、两个向量共线、垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题5（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的个数为 （）若，m，n，则mn若，m，n，则nm若mn，m，n，则若m，nm，n，则A1B2C3D4【分析】由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断；由面面平行的定义可判断；由面面的位置关系可判断；由线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理可判断【解答】解：设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，m，n，则m，n可能平行、相交或异面，故
10、错；若，m，n，则nm或n，m异面；故错；若mn，m，n，则或，相交，故错；若m，nm，则n，n，由线面平行的性质定理可得过n的平面与的交线l与n平行，则l，由面面垂直的判定定理可得，故正确故选：A【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题6（5分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数
11、是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯（）A81盏B112盏C162盏D243盏【分析】根据题意，设塔的底层共有x盏灯，分析可得每层灯的数目构成以x为首项，为公比的等比数列，由等比数列的前n项和公式可得S363，解可得x的值，即可得答案【解答】解：根据题意，设塔的底层共有x盏灯，则每层灯的数目构成以x为首项，为公比的等比数列，则有S363，解可得：x243，故选：D【点评】本题考查等比数列前n项和的计算，注意构造等比数列的模型，属于基础题7（5分）已知，则a，b满足的关系式是（）Aa1，且b1Ba1，且0b1Cb1，且0a1D0a1，且0b1【分析】由0，得a1，再由logba0，得0b1【解答
12、】解：，a1，logba0，0b1故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，考查对数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8（5分）已知函数，则有（）Af（x）的图象关于直线对称Bf（x）的图象关于点对称Cf（x）的最小正周期为Df（x）在区间（0，）内单调递减【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用正切函数的图象和性质，得出结论【解答】解：函数tanx，故它的图象关于点（，0）对称，kZ，不关于直线对称，故排除A，选B；f（x）的最小正周期为，故排除C；在区间（0，）内，f（x）没有单调性，故选：B【点评】本题主要考查二倍角公式，正切函数的图象和性质，属于基础题9（5分）
13、在边长为2的菱形ABCD中，BAD60，E是BC的中点，则（）ABCD9【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性表示和数量积运算法则，计算即可【解答】解：如图所示，边长为2的菱形ABCD中，BAD60，22cos602；又E为BC中点，+，且+，（+）（+）+4+2+49故选：D【点评】本题考查了平面向量的运算法则和数量积计算公式应用问题，是基础题10（5分）在正四棱柱ABCDA1B1C1D1，则异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为（）ABCD【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值【解
14、答】解：正四棱柱ABCDA1B1C1D1，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，1，0），C1（0，1，），B1（1，1，），D1（0，0，），（1，0，），（1，1，0），设异面直线BC1与D1B1所成角为，则cos异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为故选：A【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题11（5分）已知点A，B，C，D均在球O上，若三棱锥DABC体积的最大值为，则球O的体积为（）AB16C32D【分析】根据已知可得棱锥底面ABC为顶角为120的等腰三角形
15、，则底面半径r，高h3，代入R，进而可得体积【解答】解：，故ABC为顶角为120的等腰三角形，其面积为：，由正弦定理得：2r，则r，故外接圆半径等于腰长，若三棱锥DABC体积的最大值为，则棱锥的高为：3，此时棱锥外接球半径R2，故球O的体积为：故选：A【点评】本题考查的知识点是球的体积和表面积，根据已知计算出球的半径是解答的关键12（5分）已知圆C：（xa）2+（yb）21，平面区域：，若圆心C，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（）A5B29C37D49【分析】画出不等式组对应的平面区域，利用圆C与x轴相切，得到b1为定值，此时利用数形结合确定a的取值即可得到结果【解答】解：作出不等式
16、组对应的平面区域如图：圆心为（a，b），半径为1圆心C，且圆C与x轴相切，b1，则a2+b2a2+1，要使a2+b2的取得最大值，则只需a最大即可，由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大，由，解得，即B（6，1），当a6，b1时，a2+b236+137，即最大值为37，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13（5分）若存在实数x2，5，使不等式x22x+5m0成立，则m的取值范围是（5，+）【分析】存在实数x2，5，使x22x+5m0成立，等价于x2，5，m（x2
17、2x+5）min；利用配方法求出二次函数的最小值，即可得出结论【解答】解：存在实数x2，5，使不等式x22x+5m0成立，等价于x2，5，m（x22x+5）min；令f（x）x22x+5（x1）2+4函数的图象开口向上，对称轴为直线x1；x2，5，x2时，f（x）minf（2）2222+55，m的取值范围是m5故答案为：（5，+）【点评】本题考查了存在性应用问题，解题的关键是求二次函数的最小值，易错点是与对任意实数x2，5，使x22x+5m0成立问题相混淆14（5分）若点P（5，1）为圆x2+y26x0的弦MN的中点，则弦MN所在的直线的方程为2xy110【分析】根据圆的性质可得CPMN，再由
18、斜率公式可得MN的斜率，再由点斜式可得MN的方程【解答】解：由圆x2+y26x0得圆心C（3，0），半径r3，因为P（5，1）为圆x2+y26x0的弦MN的中点，所以根据圆的性质可得CPMN，kMN2，由点斜式可得直线Mn的方程为：2xy110故答案为：2xy110【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，属中档题15（5分）已知，则cos2【分析】根据已知1推出sin0，cos0，利用（sin+cos）2（sincos）2+4sincos关系可以求得sin+cos，继而可以求得cos2（cossin）（cos+sin）的值【解答】解：已知1，sin0，cos0，且12sincos，即2sinco
19、s，则（sin+cos）21+2sincos，sin+cos，cos2（cossin）（cos+sin）故答案为：【点评】本题考查三角函数的二倍角公式，属于一般基本题型16（5分）设函数的最小值为1，则a的取值范围是1+，+）【分析】分别求得分段函数各段的值域，由题意可得a的不等式，解不等式可得所求范围【解答】解：由x可得f（x）lnx递增，即有f（x）1，由x可得f（x）x+a递减，可得f（x）a，由f（x）的最小值为1，可得a1，即有a1+，可得a的范围是1+，+）故答案为：1+，+）【点评】本题考查分段函数的最值求法，注意运用对数函数和一次函数的单调性，考查运算能力，属于基础题三、解答题
20、：共6小题，共70分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17（10分）已知an为等差数列，且a28，a60（）求an的通项公式；（）若等比数列bn满足b18，b2a1+a2+a3，求bn的前n项和公式【分析】（）利用等差数列的通项公式，列出方程组，求出首项与公差，然后求解通项公式（）求出等比数列的公比，然后求解数列的和【解答】解：（）设等差数列an的公差d因为a28a60所以 解得a110，d2所以an10+（n1）22n12（6分）（）设等比数列bn的公比为q因为b2a1+a2+a324，b18所以8q24即q3所以bn的前n项和公式为（12分）【点评】本题考查等差数列以及等比
21、数列的通项公式的应用，数列求和，考查计算能力18（12分）已知函数f（x）cos2xasinxcosxsin2x，且（1）求常数a及f（x）的最大值；（2）当时，求f（x）的单调递增区间【分析】（1）直接利用函数的关系式求出a的值，进一步求出函数的最值（2）利用函数的关系式，进一步利用整体思想求出函数的单调区间【解答】解：（1），由得，即a2，当时，即时，（2）由，令：，得，又，所以，所以f（x）递增区间为【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础性题19（12分）在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且（1）
22、求ABC的周长；（2）求cos（AC）的值【分析】（1）由已知利用余弦定理可求a的值，即可求得三角形的周长（2）由余弦定理可求cosC，利用同角三角函数基本关系式可求sinC，sinA的值，根据两角差的余弦函数公式即可求解【解答】解：（1）在ABC中，由余弦定理，得：，即a1，可得ABC的周长为a+b+c2+2+15（2）由，可得：，由，得，于是【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题20（12分）已知圆C经过点E（0，4），F（5，5），且圆心在直线l：2x7y+80上（1）求圆C的方程；（2）过点M
23、（1，2）的直线与圆C交于A，B两点，问在直线y2上是否存在定点N，使得kANkBN恒成立？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由中点坐标公式求得EF的中点坐标，再由斜率公式求得EF所在直线当斜率，得到EF的垂直平分线的斜率，写出EF的垂直平分线方程，与直线l联立求得圆心坐标，再求出半径，则圆C的方程可求；（2）当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，求得过点M（1，2）的直线方程，与圆的方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及kANkBN列式求解t；当斜率不存在时，x1，A（1，5），B（1，1），kANkBN成立，则结论可求【解答】解：（1）E（0，4
24、），F（5，5），EF的中点为D（，），又，EF的垂直平分线的斜率为5，得EF的垂直平分线的方程为5x+y170，联立，解得x3，y2则圆C的圆心坐标为（3，2），半径为圆C的方程为（x3）2+（y2）213；（2）当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，则过点M（1，2）的直线方程为yk（x1）+2，由，整理得（1+k2）x2（6+2k2）x+k240，设A（x1，y1），B（x2，y2），设N（t，2），则，kANkBN，（y12）（x2t）+（y22）（x1t）0，即2x1x2（t+1）+2t0，则，解得：t；当斜率不存在时，x1，A（1，5），B（1，1），kANkBN成立，在直线y2上
25、存在定点，使得kANkBN恒成立【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题21（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是边长为4的正三角形，侧面BB1C1C是矩形，D，E分别是线段BB1，AC1的中点（1）求证：DE平面ABC；（2）若平面ABC平面BB1C1C，BB110，求三棱锥ADCE的体积【分析】（1）取AC中点为H，连接HE，BH，推导出HEDB是平行四边形，从而HBDE，由此能证明DE平面ABC（2）三棱锥ADCE的体积，由此能求出三棱锥ADCE的体积【解答】解：（1）证明：取AC中点为H，连接HE，BH，ABC是边长为4的正
26、三角形，侧面BB1C1C是矩形，D，E分别是线段BB1，AC1的中点，HEDB是平行四边形，HBDE，HB平面ABC，DE平面PAD，DE平面ABC（2）解：E是线段AC1中点，三棱锥ADCE的体积：【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是中档题22（12分）已知函数（1）判断函数奇偶性；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）比较f（x+1）与f（x）的大小【分析】（1）由奇偶性的定义，可得f（x）为偶函数；（2）当x（0，+）时，f（x）是增函数；当x（，0）时，f（x）是减函数；运用单调性的定义只
27、要证明x0的情况；（3）要比较f（x+1）与f（x）的大小，由f（x）是偶函数，只要比较f（|x+1|）与f（|x|）大小即可讨论x的大小，结合单调性，即可得到【解答】解：（1），f（x）是偶函数；（2）当x（0，+）时，f（x）是增函数；当x（，0）时，f（x）是减函数；先证明当x（0，+）时，f（x）是增函数，证明：任取x1，x2（0，+），且x1x2，则，x1，x2（0，+），且x1x2，f（x2）f（x1），即当x（0，+）时，f（x）是增函数f（x）是偶函数，当x（，0）时，f（x）是减函数（3）要比较f（x+1）与f（x）的大小，f（x）是偶函数，只要比较f（|x+1|）与f（|x|）大小即可当|x+1|x|时，即时，当x（0，+）时，f（x）是增函数，f（|x+1|）f（|x|），当|x+1|x|时，即当时，当x（0，+）时，f（x）是增函数，f（|x+1|）f（|x|）综上可得时，f（x+1）f（x）；x时，f（x+1）f（x）【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查定义法和分类讨论思想，化简运算能力、推理能力，属于中档题
