1、2017-2018学年内蒙古赤峰市高一（下）期末数学试卷（理科）（A卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）若集和Mx|x|1，Nx|x24x0，则MN（）A0B4C1，0，1D1，0，1，42（5分）已知f（x），则下列正确的是（）A奇函数，在（0，+）上为增函数B偶函数，在（0，+）上为增函数C奇函数，在（0，+）上为减函数D偶函数，在（0，+）上为减函数3（5分）直线xcosysin+a0与xsin+ycos+b0的位置关系是（）A平行B垂直C斜交D与a，b，的值有关4（5分）函数ylg|x|的图象大致是（）AB
2、CD5（5分），是夹角为60的单位向量，则2+，2的夹角的余弦值为（）ABCD6（5分）设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A若lm，m，则lB若l，m，则lmC若lm，m，则lD若l，m，则lm7（5分）张丘建算经卷上有“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同已知第一天织布6尺，30天共织布540尺，则该女子织布每天增加（）A尺B尺C尺D尺8（5分）如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（）A（5+）cm2BC（6+）cm2D6cm29（5分）若log51og25（ab），则a+b的最小值为（）A6B7
3、C6D710（5分）在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1的中点，则直线BE与平面BCD1所形成角的余弦值为（）ABCD11（5分）若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x0，0）成中心对称，则x0（）ABCD12（5分）已知RtABC中，A90，AB2，BC4，若AM是BC边上的高，垂足为M，点P在ABC内部或边界上运动，则的取值范围是（）A4，0B3，0C3，2D2，0二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。13（5分）设x，y满足约束条件，则z2x+y的最小值为 14（5分）计算： &
4、nbsp; 15（5分）定义在R上的偶函数f（x）在0，+）上单调递增，且f（1）0，则满足f（x）0的x的集合为 16（5分）函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间a，bD，使得函数f（x）满足：f（x）在a，b内是单调函数；f（x）在a，b上的值域为a，b，则称区间a，b为yf（x）的“等值区间”下列函数中存在“等值区间”的有 f（x）x2f（x）2xf（x）f（x）sinx三、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17（10分）已知函数f（x）2sin（x）cos（x）+2cos2（x）（1）求函数f（x）的最大值及取得最大值时相
5、应的x的值；（2）求yf（x）的单调区间18（12分）设等差数列an的前n项和为Sn，且满足a47，S525（1）求数列an的通项公式；（2）记bnan（）n，求数列bn的前n项和Tn19（12分）在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A3cos（B+C）1（1）求角A的大小；（2）若ABC的面积S6，b3，求sinBsinC的值20（12分）已知圆C：（x1）2+（y2）225，直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m40（）求证：直线l与圆C必相交；（）求直线l被圆C截得的弦长最短时直线l的方程以及最短弦长21（12分）如图，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC
6、4，AB5，cosCAB，AA13，点D是AB上的动点（1）求证：ACBC1；（2）若D是AB上的中点，求证：AC1平面CDB1；（3）求三棱锥A1B1CD的体积22（12分）已知函数f（x）2x23x+1（1）当0x时，求yf（sinx）的最大值；（2）问a取何值时，方程f（sinx）asinx在0，2）上有两解？2017-2018学年内蒙古赤峰市高一（下）期末数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）若集和Mx|x|1，Nx|x24x0，则MN（）A0B4C1，0，1D1，0，1
7、，4【分析】先解出M，然后进行交集的运算即可【解答】解：M1x1，N0，4；MN0故选：A【点评】考查描述法表示集合的概念，绝对值不等式的解法，以及交集的运算2（5分）已知f（x），则下列正确的是（）A奇函数，在（0，+）上为增函数B偶函数，在（0，+）上为增函数C奇函数，在（0，+）上为减函数D偶函数，在（0，+）上为减函数【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（x）f（x），可得f（x）为偶函数，当x0时，求出函数f（x）的导数，由函数导数与函数单调性的关系，分析可的f（x）在（0，+）上为增函数；即可得答案【解答】解：根据题意，f（x），则f（x）f（x），则函数f（x）为偶函数；当x0
8、时，f（x），则f（x）0，则f（x）在（0，+）上为增函数；故选：B【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键掌握函数单调性、奇偶性的判断方法，属于基础题3（5分）直线xcosysin+a0与xsin+ycos+b0的位置关系是（）A平行B垂直C斜交D与a，b，的值有关【分析】当这两条直线中有一条斜率不存在时，检验他们的位置关系式垂直关系当它们的斜率都存在时，求出它们的斜率，发现斜率之积等于1，两条直线垂直【解答】解：当cos0或sin0时，这两条直线中，有一条斜率为0，另一条斜率不存在，两条直线垂直当cos和sin都不等于0时，这两条直线的斜率分别为和tan，显然，斜率之积等于1，故两
9、直线垂直综上，两条直线一定是垂直的关系，故选：B【点评】本题考查两条直线垂直的条件是斜率之积等于1，或者它们的斜率中一个等于0，而另一个不存在体现了分类讨论的数学思想4（5分）函数ylg|x|的图象大致是（）ABCD【分析】先由奇偶性来确定是A还是B选项中的一个，再通过对数函数，当x0时，函数为减函数，可进一步确定选项【解答】解：f（x）f（x）是偶函数，所以排除C，D，当x0时，ylgx函数为减函数，排除A故选：B【点评】本题主要考查将函数的性质与图象，将两者有机地结合起来，并灵活地运用图象及其分布是数形结合解题的关键5（5分），是夹角为60的单位向量，则2+，2的夹角的余弦值为（）ABCD
10、【分析】根据条件即可求出，从而可求出夹角的余弦值【解答】解：；4+2+17，；故选：C【点评】考查单位向量的概念，向量夹角的余弦公式，向量数量积的运算6（5分）设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A若lm，m，则lB若l，m，则lmC若lm，m，则lD若l，m，则lm【分析】在A中，l与相交、平行或l；在B中，l与m相交、平行或异面；在C中，l或l；在D中，由线面垂直的性质定理得lm【解答】解：由l，m是两条不同的直线，是一个平面，知：在A中，若lm，m，则l与相交、平行或l，故A错误；在B中，若l，m，则l与m相交、平行或异面，故B错误；在C中，若lm，m，则l或l，
11、故C错误；在D中，若l，m，则由线面垂直的性质定理得lm，故D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题7（5分）张丘建算经卷上有“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同已知第一天织布6尺，30天共织布540尺，则该女子织布每天增加（）A尺B尺C尺D尺【分析】利用数学文化知识，首先判定数列为等差数列，进一步利用等差数列的通项公式的前n项和公式求出结果【解答】解：由于某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同所以织布的数据构成等差数列，设公差为d，第一
12、天织的数据为a1，第30天织的数据为a30，则：，解得：a3030，则：a30a1+（301）d，解得：d，故选：C【点评】本题考查的知识要点：数学文化知识的应用，等差数列的通项公式的应用和前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型8（5分）如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（）A（5+）cm2BC（6+）cm2D6cm2【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱柱（正方体）与四棱锥的组合体，分别计算各个面的面积，相加可得答案【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是下部一个四棱柱（正方体）与上部是四棱锥的组合体，四棱柱（正方
13、体）的棱长为1cm，故每个面的面积为：111cm2，四棱锥的底面边长为1cm，高为cm，故斜高为：cm，故每个侧面的面积为：1，（cm2）；故组合体的表面积S51+45+（cm2）；故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状9（5分）若log51og25（ab），则a+b的最小值为（）A6B7C6D7【分析】根据对数的运算性质可得+1，a，b0，再根据基本不等式即可求出【解答】解：log51og25（ab），3a+4bab，+1，a，b0a+b（a+b）（+）4+3+7+27+4当且仅当a4+2时取等号a+b的最小值是7+4故选：D【点评】本题
14、考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题10（5分）在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1的中点，则直线BE与平面BCD1所形成角的余弦值为（）ABCD【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE与平面BCD1所形成角的余弦值【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AA12AB2，则B（1，1，0），E（1，0，1），C（0，1，0），D1（0，0，2），（0，1，1），（1，0，0），（0，1，2），设平面BCD1的法向量（x，y，z），则，
15、取z1，得（0，2，1），设直线BE与平面BCD1所形成角为，则sincos直线BE与平面BCD1所形成角的余弦值为故选：C【点评】本题考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题11（5分）若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x0，0）成中心对称，则x0（）ABCD【分析】利用函数yAsin（x+）的图象的对称性，得出结论【解答】解：函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，2，f（x）sin（2x+）令2x+k，kZ，求得xk，故该函数的图象的对称中心为（ k，0 ），kZ根据该函数图象关
16、于点（x0，0）成中心对称，结合，则x0，故选：B【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象的对称性，属于基础题12（5分）已知RtABC中，A90，AB2，BC4，若AM是BC边上的高，垂足为M，点P在ABC内部或边界上运动，则的取值范围是（）A4，0B3，0C3，2D2，0【分析】以A为原点建立平面直角坐标系，通过两直线方程联立得M得坐标，然后用向量数量积公式得，最后用线性规划知识求得最大最小值【解答】解：以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系：则A（0，0）、B（2，0）、C（0，2），设P（x，y）AMBC，kAM，直线AM：y，直线BC：，联立 解得
17、：M（，），（，），（x2，y），（x2）+y（x+y）3，设zx+y，则yx+z，P（x，y）在ABC内部或边界上运动，当直线yx+z与直线BC重合时，z取得最大值2， 当直线yx+z，过原点A时，z 取得最小值0，的最大值为230，最小值为033，故的取值范围为：3，0，故选：B【点评】本题考查了直线方程、数量积、线性规划属中档题二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。13（5分）设x，y满足约束条件，则z2x+y的最小值为5【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在
18、y轴上的截距最小值即可【解答】解：设x，y满足约束条件：，在直角坐标系中画出可行域ABC，由，可得A（2，1），所以z2x+y的最小值为5故答案为：5【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题14（5分）计算：【分析】通分后利用两角和的正弦及倍角公式化简求值【解答】解：故答案为：【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦，是基础题15（5分）定义在R上的偶函数f（x）在0，+）上单调递增，且f（1）0，则满足f（x）0的x的集合为x|0x或x2【分析】根据定义在R上的偶函数f（x）在0，+）上单调递增，且f（1）0，则f（1）0，f（x）0，可
19、得x1或x1，可得x1或x1，即可求解x的集合【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+）上递增；f（x）在（，0）上单调递减，且f（1）0，则f（1）0，由f（x）0，可得x1或x1，要满足f（x）0，即x1或x1，解得：0x或x2故答案为：x|0x或x2【点评】考查奇函数的定义，奇偶函数的单调性特点，增函数的定义，以及指数式和对数式的运算，指数函数和对数函数的单调性，对数中的真数大于016（5分）函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间a，bD，使得函数f（x）满足：f（x）在a，b内是单调函数；f（x）在a，b上的值域为a，b，则称区间a，b为yf（x）的“等值区间”下列函数中
20、存在“等值区间”的有f（x）x2f（x）2xf（x）f（x）sinx【分析】利用“等值区间”的定义，只要方程f（x）x在定义域内存在两个不同实数根即可得出“等值区间”的两个端点值，然后验证单调性得答案【解答】解：由f（x）x，可得x2x，解得x0或x1，函数f（x）x2在0，1上为单调增函数，且值域为0，1，f（x）x2有等值区间0，1；令g（x）2xx，当x0时，g（x）0，函数无零点，当x0时，g（x）2xln21，由g（x）2xln210，可得，存在x0（0，+），满足，使得当x（0，x0）时，g（x）0，当x（x0，+）时，g（x）0，0g（x）2xx无零点，即f（x）2x不存在“等值
21、区间”；由f（x）x，可得x0或x1当x0时，f（x）在（0，1上为增函数，而对于f（x），满足f（0）0，f（1）1，f（x）有等值区间0，1；令g（x）sinxx，则g（x）cosx10，g（x）sinxx为单调减函数，又g（0）0，方程sinxx仅有一解x0，故f（x）sinx不存在“等值区间”存在“等值区间”的有故答案为：【点评】本题考查了系新定义“等值区间”、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17（10分）已知函数f（x）2sin（x）cos（x）+2cos2（x）（1）求函数f（x）的最大值及取得
22、最大值时相应的x的值；（2）求yf（x）的单调区间【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积（1）直接求得函数最大值，再由求得使函数求得最大值的x值；（2）利用复合函数的单调性求解yf（x）的单调区间【解答】解：f（x）2sin（x）cos（x）+2cos2（x）sin（2x）+cos（2x）2sin（2x）+2sin（2x）（1）函数f（x）的最大值为2，此时，即x，kZ；（2）yf（x）2sin2（x）2sin（2x）由，可得，kZyf（x）的单调增区间为，kZ；由，可得x，kZyf（x）的单调减区间为，kZ【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查yAsin（x+）型函数的图象和性
23、质，是中档题18（12分）设等差数列an的前n项和为Sn，且满足a47，S525（1）求数列an的通项公式；（2）记bnan（）n，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）首先利用已知条件建立方程组，求出数列的首项与公差，进一步确定等差数列的通项公式（2）利用（1）的结论，进一步求出数列的通项公式，最后利用乘公比错位相减法求出数列的和【解答】解：（1）等差数列an的前n项和为Sn，且满足a47，S525设首项为a1，公差为d，则：，整理得：解得：a11，d2，所以：ana1+（n1）d2n1（2）由（1）得：bnan（）n，所以：，得：，所以：，3【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法
24、及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型19（12分）在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A3cos（B+C）1（1）求角A的大小；（2）若ABC的面积S6，b3，求sinBsinC的值【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得cosA的值，可得A的值（2）利用余弦定理求得a，再利用正弦定理求得sinBsinC的值【解答】解：（1）ABC中，cos2A3cos（B+C）1，2cos2A1+3cosA1，解得cosA，A（2）b3，ABC的面积SbcsinA6，c8再由余弦定理可得a2b2+c22bccosA49
25、（2R）2，sinBsinC【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，诱导公式、二倍角的余弦公式，属于中档题20（12分）已知圆C：（x1）2+（y2）225，直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m40（）求证：直线l与圆C必相交；（）求直线l被圆C截得的弦长最短时直线l的方程以及最短弦长【分析】（）根据直线l方程得到直线l恒过M（3，1），求出|MC|距离小于半径，即可得到直线l与圆C必相交；（）当直线l直线MC时，直线l被圆C截得的弦长最短，求出直线MC的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为1求出直线l斜率，根据M坐标确定出直线l方程，利用垂径定理，勾股定理求出最短弦长即可【解答】（）证
26、明：根据题意得：直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m40恒过M（3，1）点，圆心C（1，2），半径为5，|CM|5，M为圆内，则直线l与圆C必相交；（）当直线l直线MC时，直线l被圆C截得的弦长最短，设直线MC解析式为ykx+b，把M与C坐标代入得：，解得：k，b，直线MC解析式为yx+，直线l斜率为2，直线l过点M，直线l方程为y12（x3），即2xy50；根据题意得：最短弦长为24【点评】此题考查了直线与圆的应用，涉及的知识有：圆的标准方程，恒过定点的直线方程，待定系数法求出一次函数解析式，垂径定理，以及勾股定理，根据题意确定出直线l恒过定点M是解本题的关键21（12分）如图，已知在直
27、三棱柱ABCA1B1C1中，AC4，AB5，cosCAB，AA13，点D是AB上的动点（1）求证：ACBC1；（2）若D是AB上的中点，求证：AC1平面CDB1；（3）求三棱锥A1B1CD的体积【分析】（1）由余弦定理得BC，由勾股定理得ACBC，由CC1面ABC 得到CC1AC，从而得到AC面BCC1，故ACBC1；（2）连接B1C交BC1于点E，则DE为ABC1的中位线，得到DEAC1，从而得到AC1面B1CD；（3）过C作CFAB垂足为F，CF面ABB1A1，面积法求CF，求出三角形DB1A1的面积，代入体积公式进行运算【解答】（1）证明：在ABC中，由AC4，AB5，cosCAB，利用
28、余弦定理得BC3，则AC2+BC2AB2，ABC为直角三角形，得ACBC又CC1面ABC，CC1AC，而CC1BCC，AC面BCC1，则ACBC1；（2）证明：设B1C交BC1于点E，则E为BC1的中点，连接DE，则DE为ABC1的中位线，则DEAC1，又DE面CDB1，则AC1面B1CD；（3）解：在ABC中，过C作CFAB垂足为F，由面ABB1A1面ABC，得CF面ABB1A1，而A1B1AA1，在RtABC中，由等面积法得，【点评】本题考查证明线线垂直、线面平行的方法，考查三棱锥的体积的求法，求点C到面A1B1D的距离是解题的关键，是中档题22（12分）已知函数f（x）2x23x+1（1
29、）当0x时，求yf（sinx）的最大值；（2）问a取何值时，方程f（sinx）asinx在0，2）上有两解？【分析】（1）根据函数f（x）得出yf（sinx）的解析式，用换元法，设tsinx，x0，求出f（t）在区间0，1上的最值即可；（2）把方程f（sinx）asinx转化为2sin2x2sinx+1a在0，2上有两解的问题，用换元法，求方程2t22t+1a在1，1上解的情况即可【解答】解：（1）函数f（x）2x23x+1，yf（sinx）2sin2x3sinx+1，设tsinx，x0，则0t1，y2（t2t）+12，当t0时，函数y取得最大值ymax1；（2）方程f（sinx）asinx，2sin2x3sinx+1asinx，即2sin2x2sinx+1a在0，2上有两解，设tsinx，则2t22t+1a在1，1上解的情况如下；当方程在（1，1）上只有一个解或相等解时，x有两解（5a）（1a）0或0；a（1，5）或a；当t1时，x有唯一解x，当t1时，x有唯一解x；综上，当a（1，5）或a时，方程f（sinx）asinx在0，2）上有两解【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的图象与性质，考查了函数与方程的应用问题，考查了换元法的应用问题，是综合性题目
