1、一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设集合A0，1，2，B1，2，3，则AB（）A1，2，3B0，1，1，2，2，3C0，1，2，3D1，22（5分）函数ysin（2x）的最小正周期是（）ABCD23（5分）函数的定义域为（）A（，3B（1，3C（1，+）D（，1）3，+）4（5分）下列向量中不是单位向量的是（）A（1，0）B（1，1）C（cos37，sin37）D5（5分）设两个非零向量与不共线，如果和共线那么k的值是（）A1B1C3D16（5分）若AD是ABC的中线，已知，则等于（）A（）B（+）C（+）D（+）7
2、（5分）平面向量与的夹角为60，（2，0），|1，则|+2|等于（）A2B2C12D8（5分）已知，则cos2的值为（）ABCD9（5分）ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则向量在方向上的投影为（）ABCD10（5分）函数f（x）Asin（x+）的部分图象如图所示，若，且f（x1）f（x2）（x1x2），则f（x1+x2）（）A1BCD11（5分）已知ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值为（）A3B6C2D12（5分）已知函数f（x），方程f2（x）af（x）+b0（b0）有六个不同的实数解，则3a+b的取值范围是（）A6，11B3，11C（6，11）D（3，1
3、1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上）13（5分）已知f（x）x+logax的图象过点（2，3），则实数a 14（5分）已知sin，且（0，），则tan的值为 15（5分）已知f（x）x2ax+2a，且在（1，+）内有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 16（5分）已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，cosC，sinBsinC，则边c 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）设（1，1），（4，3），（5，2），（
4、1）求与的夹角的余弦值；（2）求在方向上的投影18（12分）（1）已知log2（162x）x，求x的值（2）计算：（）0+810.75+log57log72519（12分）已知向量（1）若，求tan的值；（2）求的最大值20（12分）已知向量（2，sin），（cos，1），其中（0，），且（1）求sin2和cos2的值；（2）若sin（），且（0，），求角21（12分）已知函数f（x）sin2xcos2x2sinx cosx（xR）（）求f（）的值（）求f（x）的最小正周期及单调递增区间22（12分）已知（，cos2（x+）（0，0），（，），f（x），函数f（x）的图象过点B（1，2），点B
5、与其相邻的最高点的距离为4（）求f（x）的单调递增区间；（）计算f（1）+f（2）+f（2017）；（）设函数g（x）f（x）m1，试讨论函数g（x）在区间0，3上的零点个数2017-2018学年广西玉林市陆川中学高一（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设集合A0，1，2，B1，2，3，则AB（）A1，2，3B0，1，1，2，2，3C0，1，2，3D1，2【分析】利用并集定义直接求解【解答】解：集合A0，1，2，B1，2，3，AB0，1，2，3故选：C【点评】本题考查并集的求
6、法，考查并集定义等基础知识，是基础题2（5分）函数ysin（2x）的最小正周期是（）ABCD2【分析】根据利用函数yAsin（x+）的周期为，得出结论【解答】解：函数ysin（2x）的最小正周期是，故选：C【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的周期性，利用了函数yAsin（x+）的周期为，属于基础题3（5分）函数的定义域为（）A（，3B（1，3C（1，+）D（，1）3，+）【分析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解【解答】解：由，解得1x3函数的定义域为（1，3故选：B【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题4（5分）下列向量中不是单位向量的是（）A（
7、1，0）B（1，1）C（cos37，sin37）D【分析】根据向量的模长公式进行计算即可【解答】解：A|1，是单位向量B|1，不是单位向量C|1，是单位向量D|，则是单位向量故选：B【点评】本题主要考查单位向量的判断，根据向量模长公式进行计算是解决本题的关键，比较基础5（5分）设两个非零向量与不共线，如果和共线那么k的值是（）A1B1C3D1【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解：由题意可得：存在实数使得（）+k，两个非零向量与不共线，解得k1故选：D【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6（5分）若AD是ABC的中线，已知，则等于（）A（）B（+）C（+）D
8、（+）【分析】由已知中AD是ABC的中线，结合向量加减法的三角形法则，可得答案【解答】解：AD是ABC的中线，+，即，又，则（），故选：A【点评】本题考查的知识点是平面向量的基本定理，难度中档7（5分）平面向量与的夹角为60，（2，0），|1，则|+2|等于（）A2B2C12D【分析】运用向量的数量积的定义，可得，|cos601，再由向量的模的平方即为向量的平方，计算即可得到所求值【解答】解：由向量与的夹角为60，（2，0），|1，可得|2，|cos60211，则|+2|2故选：B【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量的模的平方即为向量的平方，考查运算求解的能力，属于基础题8（5
9、分）已知，则cos2的值为（）ABCD【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得tan的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2的值【解答】解：已知，tan3，则cos2，故选：A【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题9（5分）ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则向量在方向上的投影为（）ABCD【分析】由题意画出图形，欲求向量在方向上的投影，根据投影的计算公式，只须求出这两个向量的夹角及向量的模，借助于平面几何图形得出三角形OAB为正三角形，最后利用向量 在 方向上的投影的定义即可求解【解答】解：由题意因为ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2且
10、，对于 ，所以可以得到图形为：因为 ，所以四边形ABOC为平行四边形，又由于 ，所以三角形OAB为正三角形且边长为1，所以四边形ABOC为边长为1且角ABO为60的菱形，所以向量 在 方向上的投影为：故选：B【点评】此题考查了两个向量的夹角定义，还考查向量在另外一个向量上的投影的定义及学生的分析问题的数形结合的能力10（5分）函数f（x）Asin（x+）的部分图象如图所示，若，且f（x1）f（x2）（x1x2），则f（x1+x2）（）A1BCD【分析】由图象可得A1，由周期公式可得2，代入点（，0）可得值，进而可得f（x）sin（2x+），再由题意可得x1+x2，代入计算可得【解答】解：由图象
11、可得A1，解得2，f（x）sin（2x+），代入点（，0）可得sin（+）0+k，k，kZ又|，f（x）sin（2x+），sin（2+）1，即图中点的坐标为（，1），又，且f（x1）f（x2）（x1x2），x1+x22，f（x1+x2）sin（2+），故选：D【点评】本题考查三角函数的图象与解析式，属基础题11（5分）已知ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值为（）A3B6C2D【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示出、，求出的最小值【解答】解：以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则A（0，2），B（2，0），C（2，0），设P（x，y），则（x，2y），（2
12、x，y），（2x，y），所以则的最x（2x）+（2y）（2y）2x24y+2y22x2+2（y）23；所以当x0，y时，取得最小值为2（3）6，故选：B【点评】本题考查了平面向量的应用问题，是中档题12（5分）已知函数f（x），方程f2（x）af（x）+b0（b0）有六个不同的实数解，则3a+b的取值范围是（）A6，11B3，11C（6，11）D（3，11）【分析】作函数f（x）的图象，从而利用数形结合知t2at+b0有2个不同的正实数解，且其中一个为1，从而可得1a0且1a1；从而解得【解答】解：作函数f（x）的图象如下，关于x的方程f2（x）af（x）+b0有6个不同实数解，令tf（x），
13、t2at+b0有2个不同的正实数解，其中一个为在（0，1）上，一个在（1，2）上；故，其对应的平面区域如下图所示：故当a3，b2时，3a+b取最大值11，当a1，b0时，3a+b取最小值3，则3a+b的取值范围是（3，11）故选：D【点评】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用，同时考查了线性规划，难度中档二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上）13（5分）已知f（x）x+logax的图象过点（2，3），则实数a2【分析】由题意利用对数函数的图象的特殊点，求得实数a的值【解答】解：已知f（x）x+logax的图象过点（2，3），故有2+loga23，求
14、得 a2，故答案为：2【点评】本题主要考查对数函数的图象的特殊点，属于基础题14（5分）已知sin，且（0，），则tan的值为2【分析】由已知利用辅助角公式变形，可得sin（）1，结合的范围求得值，则答案可求【解答】解：由sin，得，sin（）1，（0，），（），则，即，tantantan1+12故答案为：2【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查两角和的正弦，是基础题15（5分）已知f（x）x2ax+2a，且在（1，+）内有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（8，+）【分析】根据二次函数的性质列出不等式组求解即可【解答】解：二次函数f（x）x2ax+2a在（1，+）内有两个零点，即，解得a
15、8故答案为：（8，+）【点评】本题考查了二次函数的性质，零点的个数判断，属于中档题16（5分）已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，cosC，sinBsinC，则边c3【分析】根据正弦、余弦定理，列方程求出c的值【解答】解：ABC中，a2，cosC，sinBsinC，bc，c2a2+b22abcosC22+c222c（），化简得5c23c360，解得c3或c（不合题意，舍去），c3故选：3【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）设（1，1），（4，3），（5，2）
16、，（1）求与的夹角的余弦值；（2）求在方向上的投影【分析】（1）根据题意，由、的坐标结合向量数量积的坐标计算公式可得14+131，|，|5，由向量夹角计算公式计算可得答案；（2）由数量积的计算公式变形可得在方向上的投影，代入数据计算可得答案【解答】解：（1）根据题意，（1，1），（4，3），14+131，|，|5，cos，（2）15+1（2）7，在方向上的投影为【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量夹角的计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式18（12分）（1）已知log2（162x）x，求x的值（2）计算：（）0+810.75+log57log725【分析】（1）根据对数的定义和指
17、数幂的运算性质即可求出x的值；（2）根据对数和指数幂的运算性质即可求出【解答】解：（1）log2（162x）x，2x162x，化简得2x8，x3；（2）（）0+810.75+log57log7251+2712+218【点评】本题考查了有理指数幂的化简求值，考查了对数的运算性质，属于基础题19（12分）已知向量（1）若，求tan的值；（2）求的最大值【分析】（1）根据向量的垂直和同角的三角函数的关系即可求出，（2）根据向量的模以及三角形函数的性质即可求出【解答】解：（1）由题，所以，从而tan1（2）因，所以，因为，所以，从而，所以【点评】本题考查了向量的垂直和向量的模以及三角函数的性质，属于基
18、础题20（12分）已知向量（2，sin），（cos，1），其中（0，），且（1）求sin2和cos2的值；（2）若sin（），且（0，），求角【分析】（1）由已知结合可得sin2cos，与sin2+cos21联立即可求得sin，cos的值，再由二倍角的公式求得sin2和cos2的值；（2）由已知可得的范围，并求得cos（），再由sinsin（），展开两角差的正弦得答案【解答】解：（1）（2，sin），（cos，1），且，2cossin0，即sin2cos代入sin2+cos21，得5cos21，（0，），cos，则sin则sin22sincos，cos2；（2）（0，），（0，），（）又sin
19、（），cos（）sinsin（）sincos（）cossin（）（0，），【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数中的恒等变换应用，是中档题21（12分）已知函数f（x）sin2xcos2x2sinx cosx（xR）（）求f（）的值（）求f（x）的最小正周期及单调递增区间【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，（）代入可得：f（）的值（）根据正弦型函数的图象和性质，可得f（x）的最小正周期及单调递增区间【解答】解：函数f（x）sin2xcos2x2sinx cosxsin2xcos2x2sin（2x+）（）f（）2sin（2+）2sin2，（）2，故T，即f（x）的最小正
20、周期为，由2x+2k，+2k，kZ得：x+k，+k，kZ，故f（x）的单调递增区间为+k，+k或写成k+，k+，kZ【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档22（12分）已知（，cos2（x+）（0，0），（，），f（x），函数f（x）的图象过点B（1，2），点B与其相邻的最高点的距离为4（）求f（x）的单调递增区间；（）计算f（1）+f（2）+f（2017）；（）设函数g（x）f（x）m1，试讨论函数g（x）在区间0，3上的零点个数【分析】（）由数量积的坐标运算可得f（x），由题意求得，再由函数f（x）的图象过点B（1，2）列式求得则函数解
21、析式可求，由复合函数的单调性求得f（x）的单调递增区间；（）由（）知，f（x）1+sin，可得f（x）是周期为4的周期函数，且f（1）2，f（2）1，f（3）0，f（4）1得到f（1）+f（2）+f（3）+f（4）4进一步可得f（1）+f（2）+f（2017）4504+22018；（）g（x）f（x）m1，函数g（x）在0，3上的零点个数，即为函数ysin的图象与直线ym在0，3上的交点个数数形结合得答案【解答】解：（）（，cos2（x+），（，），f（x）cos2（x+）1cos2（x+），f（x）max2，则点B（1，2）为函数f（x）的图象的一个最高点点B与其相邻的最高点的距离为4，得函
22、数f（x）的图象过点B（1，2），即sin210，f（x）1cos2（）1+sin，由，得1+4kx1+4k（kZ）f（x）的单调递增区间为1+4k，1+4k，kZ；（）由（）知，f（x）1+sin，f（x）是周期为4的周期函数，且f（1）2，f（2）1，f（3）0，f（4）1f（1）+f（2）+f（3）+f（4）4而20174504+1，f（1）+f（2）+f（2017）4504+22018；（）g（x）f（x）m1，函数g（x）在0，3上的零点个数，即为函数ysin的图象与直线ym在0，3上的交点个数在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图：当m1或m1时，两函数的图象在0，3内无公共点；当1m0或m1时，两函数的图象在0，3内有一个共点；当0m1时，两函数的图象在0，3内有两个共点综上，当m1或m1时，函数g（x）在0，3上无零点；当1m0或m1时，函数g（x）在0，3内有1个零点；当0m1时，函数g（x）在0，3内有2个零点【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查数量积的坐标运算，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题
