2017-2018学年广西玉林市XX中学高一(下)期中数学试卷(文科)含详细解答

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1、一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(5分)不等式x6x2的解集是()A(2,3)B(3,2)C(,2)(3,+)D(,3)(2,+)2(5分)设a,bR,ab,则下列不等式一定成立的是()Aa2b2BCa2abD2a2b3(5分)在ABC中,b3,c3,B30,则a的值为()A3B23C3D24(5分)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A1盏B3盏C5盏D

2、9盏5(5分)设各项均为正的等比数列an满足a4a83a7,则log3(a1a2a9)等于()A38B39C9D76(5分)在等比数列an中,若a3,a9是方程3x211x+90的两根,则a6的值是()A3B3CD以上答案都不对7(5分)在ABC中,若a2,B60,b,则BC边上的高等于()ABC3D8(5分)在等差数列an中,a660,a670,且a67|a66|,Sn为数列an的前n项和,则使Sn0的n的最小值为()A66B67C132D1339(5分)在ABC中,若sinBsinCcos2,则ABC是()A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形10(5分)在等差数列an中,a

3、10,3a85a13,则前n项的和Sn中最大的是()AS10BS11CS20DS2111(5分)已知等比数列an的前n项和为Sn,a4a178,S339,设bnlog3an,那么数列bn的前10项和为()Alog371BC50D5512(5分)数列an满足a11,nan+1(n+1)an+n(n+1),且,记Sn为数列bn的前n项和,则S30()A294B174C470D304二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分请把正确答案填在题中横线上)13(5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知bca,2sinB3sinC,则cosA的值为   14(5分)已

4、知函数f(x),则不等式f(x)2的解集是   15(5分)如图所示,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角,若A+C180,AB6,BC4,CD5,AD5,则BD   16(5分)在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且acosBbcosAc,当tan(AB)取最大值时,角B的值为   三、解答题(本大题共6小题,共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)解关于x的不等式x2(a+1)x+a0(aR)18(12分)(I)设,其中,求的值;(II)若tan(+)2,tan()3,求的值19(12分)已知正项数列an中,

5、a11,a22,2an2an12+an+12(n2),bn(1)求数列an的通项公式;(2)求数列bn的前n项和Sn20(12分)已知公差不为零的等差数列an满足:a3+a820,且a5是a2与a14的等比中项(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn满足bn,求数列bn的前n项和Sn21(12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos2+acos2c()求证:a,c,b成等差数列;()若C,ABC的面积为2,求c22(12分)已知数列an中,a11,anan+1(nN*),记T2n为an的前2n项的和(1)设bna2n,证明:数列bn是等比数列;(2)求T2n;(3)

6、不等式64T2na2n3(1ka2n)对于一切nN*恒成立,求实数k的最大值2017-2018学年广西玉林市陆川中学高一(下)期中数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(5分)不等式x6x2的解集是()A(2,3)B(3,2)C(,2)(3,+)D(,3)(2,+)【分析】先将不等式化为一般形式,再利用一元二次不等式的解法求解可求【解答】解:不等式x6x2即为x2+x60,即(x+3)(x2)0,解得x3,或x2所以不等式x6x2的解集是(,3)(2,+)故选:D【点评】此题考查了一元二次不等式

7、的解法,体现了一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者之间的关系,数形结合的思想方法2(5分)设a,bR,ab,则下列不等式一定成立的是()Aa2b2BCa2abD2a2b【分析】考察指数函数y2x在R上单调递增,利用已知ab即可得出【解答】解:考察指数函数y2x在R上单调递增,ab,2a2b故选:D【点评】本题考查了指数函数的单调性,属于基础题3(5分)在ABC中,b3,c3,B30,则a的值为()A3B23C3D2【分析】由已知及余弦定理即可计算得解【解答】解:b3,c3,B30,由余弦定理b2a2+c22accosB,可得:9a2+92,整理可得:a3故选:C【点评】本题主要考查了余弦

8、定理在解三角形中的应用,属于基础题4(5分)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A1盏B3盏C5盏D9盏【分析】设塔的顶层共有a1盏灯,则数列an公比为2的等比数列,利用等比数列前n项和公式能求出结果【解答】解:设塔的顶层共有a1盏灯,则数列an公比为2的等比数列,S7381,解得a13故选:B【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题5(5分)设各项均为正的等比数列an满足a4a83

9、a7,则log3(a1a2a9)等于()A38B39C9D7【分析】利用等比数列的通项公式推导出a53,由此利用等比数列性质和对数函数运算法则能求出log3(a1a2a9)的值【解答】解:a4a8a5a7,a5a73a7,a53,故选:C【点评】本题考查对数式值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列性质和对数函数运算法则的合理运用6(5分)在等比数列an中,若a3,a9是方程3x211x+90的两根,则a6的值是()A3B3CD以上答案都不对【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得a3a93,再由等比数列的定义和性质可得 a3a93,由此解得 a6 的值【解答】解:等比数列an中,若

10、a3,a9是方程3x211x+90的两根,则由一元二次方程根与系数的关系可得a3a93,a6再由等比数列的定义和性质可得 a3a93,解得 a6,故选:C【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质,一元二次方程根与系数的关系,属于中档题7(5分)在ABC中,若a2,B60,b,则BC边上的高等于()ABC3D【分析】首先利用余弦定理求出c,然后求高【解答】解:因为在ABC中,若a2,B60,b,所以cos60,解得c3或c1(舍去)则BC边上的高为csin60;故选:A【点评】本题考查了利用余弦定理求三角形的一边;熟练运用定理是关键8(5分)在等差数列an中,a660,a670,且a67|a66

11、|,Sn为数列an的前n项和,则使Sn0的n的最小值为()A66B67C132D133【分析】通过题意易知公差0,利用等差中项的性质即得结论【解答】解:a660,a670,公差da67a660,又a67|a66|,a67+a660,66(a67+a66)0,即S1320,又公差d0,使Sn0的n的最小值为132,故选:C【点评】本题考查等差中项的性质,注意解题方法的积累,属于中档题9(5分)在ABC中,若sinBsinCcos2,则ABC是()A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形【分析】利用cos2可得,再利用两角和差的余弦可求【解答】解:由题意,即sinBsinC1cosCc

12、osB,亦即cos(CB)1,C,B(0,),CB,故选:A【点评】本题主要考查两角和差的余弦公式的运用,考查三角函数与解三角形的结合属于基础题10(5分)在等差数列an中,a10,3a85a13,则前n项的和Sn中最大的是()AS10BS11CS20DS21【分析】等差数列的Sn为二次函数,依题意是开口向下的抛物线故有最大值,根据3a85a13,得到首项和公差的关系,写出等差数列的前n项和公式,把首项用公差表示,根据二次函数的最值得到结果【解答】解:等差数列的Sn为二次函数,依题意是开口向下的抛物线故有最大值,a13a8+5d,d即为公差,又3a85a13,a812.5d,a119.5dSn

13、na1+,Sn0.5dn220dn,当n为对称轴时即n20时Sn最大,故选:C【点评】本题是一个最大值的问题,结合二次函数的性质来解题,通过解题后的反思,找准自己的问题,总结成功的经验,吸取失败的教训,增强解综合题的信心和勇气,提高分析问题和解决问题的能力11(5分)已知等比数列an的前n项和为Sn,a4a178,S339,设bnlog3an,那么数列bn的前10项和为()Alog371BC50D55【分析】设出等比数列的公比,由已知列式求出等比数列的首项和公比,得到等比数列的通项公式,代入bnlog3an求得数列bn的通项,然后由等差数列的前n项和得答案【解答】解:设等比数列an的公比为q,

14、由a4a178,S339,得,两式作比得:q12,即q3,则a13bnlog3an则数列bn的前10项和55故选:D【点评】本题考查了等比数列的通项公式,考查了等差数列的前n项和,是基础的计算题12(5分)数列an满足a11,nan+1(n+1)an+n(n+1),且,记Sn为数列bn的前n项和,则S30()A294B174C470D304【分析】nan+1(n+1)an+n(n+1),可得1,利用等差数列的定义通项公式可得ann2,bnn2cos,可得b3k2(3k2)2cos(3k2)2,同理可得b3k1(3k1)2,b3k(3k)2,kN*即可得出所求和【解答】解:nan+1(n+1)a

15、n+n(n+1),1,数列是等差数列,公差与首项都为11+(n1),可得ann2,bnn2cos,b3k2(3k2)2cos(3k2)2,同理可得b3k1(3k1)2,b3k(3k)2,kN*b3k2+b3k1+b3k(3k2)2(3k1)2+(3k)29k,则S309(1+2+10)10470,故选:C【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、三角函数的周期性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分请把正确答案填在题中横线上)13(5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知bca,2sinB3sinC,则c

16、osA的值为【分析】由条件利用正弦定理求得a2c,b,再由余弦定理求得cosA 的值【解答】解:在ABC中,bca,2sinB3sinC,2b3c,由可得a2c,b再由余弦定理可得 cosA,故答案为:【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题14(5分)已知函数f(x),则不等式f(x)2的解集是(1,1)【分析】根据函数的解析式对x分类讨论,分别由指数函数的性质、一元二次不等式的解法求出对应的解集,最后再求出并集,即可得到不等式f(x)2的解集【解答】解:由题意知,f(x),当x0时,不等式f(x)2为2x2,解得x1,即0x1;当x0时,不等式f(x)2为x2+12,解得1

17、x1,即1x0,综上,不等式的解集是(1,1),故答案为:(1,1)【点评】本题考查一元二次不等式的解法,分段函数,以及指数函数的性质的应用,考查分类讨论思想15(5分)如图所示,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角,若A+C180,AB6,BC4,CD5,AD5,则BD7【分析】分别在三角形ABD和三角形CBD中,运用余弦定理可得6160cosA4140cosC,再由诱导公式,解方程可得cosA,即可得到所求值【解答】解:在三角形ABD中,由余弦定理可得BD2AD2+AB22ADABcosA25+36256cosA6160cosA,在三角形CBD中,由余弦定理可得BD2CD2+CB2

18、2CDCBcosC25+16254cosA4140cosC,由A+C180,可得cosAcosC,6160cosA41+40cosA,解得cosA,则BD7,故答案为:7【点评】本题考查三角形的余弦定理的运用,考查诱导公式和方程思想、运算能力属于中档题16(5分)在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且acosBbcosAc,当tan(AB)取最大值时,角B的值为【分析】acosBbcosAc,由正弦定理定理可得:sinAcosBsinBcosAsinCsin(A+B),化为:tanA3tanB0,代入tan(AB),再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解:在ABC中,acosB

19、bcosAc,由正弦定理定理可得:sinAcosBsinBcosAsinCsin(A+B),化为:tanA3tanB0,tan(AB),当且仅当tanB,即B时取等号故答案为:【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题三、解答题(本大题共6小题,共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)解关于x的不等式x2(a+1)x+a0(aR)【分析】关于x的不等式x2(a+1)x+a0化为(x1)(xa)0,不等式对应方程的实数根为a和1,由此根据a1,a1,a1进行分类讨论,能求出不等式的解集【解答】解:关于x的不等式x2(

20、a+1)x+a0化为(x1)(xa)0,不等式对应方程的实数根为a和1;当a1时,不等式的解集为 (,1a,+);当a1时,不等式的解集为R,当a1时,不等式的解集为(,a1,+)【点评】本题考查不等式的解法,考查一元二次不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题18(12分)(I)设,其中,求的值;(II)若tan(+)2,tan()3,求的值【分析】(I)由已知求得sin(),cos()的值,再由coscos()(),展开两角差的余弦求解(II)构造思想,sin2sin(+)+(),cos2cos(+)(),利用两角和与差的公式打开计算即可求的值【解答】解:(I

21、)(,),(0,),(,),(,),由cos(),sin(),得sin(),cos()coscos()()cos()cos()+sin()sin()+;(II)由tan(+)2,可得2,即sin(+)2cos(+),tan()3,可得:3,即sin()3cos()sin2sin(+)+(),cos2cos(+)(),那么:【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查两角差的余弦,关键是“拆角配角”思想的应用,是中档题19(12分)已知正项数列an中,a11,a22,2an2an12+an+12(n2),bn(1)求数列an的通项公式;(2)求数列bn的前n项和Sn【分析】(1)数列是等差数列,首项

22、为1,公差为2213,由此能求出an(2)bn(),利用裂项求和法能求出数列bn的前n项和【解答】解:(1)正项数列an中,a11,a22,2an2an12+an+12(n2),数列是等差数列,首项为1,公差为2213,1+3(n1)3n2,an0,an(2)an,bn(),数列bn的前n项和:Sn()+()+()()【点评】本题考查数列的通项公式的求法,考查等差数列、裂项求和法等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题20(12分)已知公差不为零的等差数列an满足:a3+a820,且a5是a2与a14的等比中项(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn满足bn,求数列bn的

23、前n项和Sn【分析】(1)根据等差数列的通项公式列方程组,求出首项和公差即可得出通项公式;(2)利用裂项法求和【解答】解:(1)设等差数列an的公差为d,a3+a820,且a5是a2与a14的等比中项,解得a11,d2,an1+2(n1)2n1(2)bn(),Snb1+b2+b3+bn(1+)(1)【点评】本题考查了等差数列的性质,数列求和,属于中档题21(12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos2+acos2c()求证:a,c,b成等差数列;()若C,ABC的面积为2,求c【分析】()利用正弦定理以及两角和与差的三角函数,三角形的内角和,化简求解即可()利用三角形

24、的面积以及余弦定理化简求解即可【解答】解:()证明:由正弦定理得:即,sinB+sinA+sinBcosA+cosBsinA3sinC(2分)sinB+sinA+sin(A+B)3sinCsinB+sinA+sinC3sinC(4分)sinB+sinA2sinCa+b2c(5分)a,c,b成等差数列(6分)()ab8(8分)c2a2+b22abcosCa2+b2ab(a+b)23ab4c224(10分)c28得(12分)【点评】本题考查三角形的解法,两角和与差的三角函数妹子学到了与余弦定理,等差数列的应用,考查转化思想以及计算能力22(12分)已知数列an中,a11,anan+1(nN*),记

25、T2n为an的前2n项的和(1)设bna2n,证明:数列bn是等比数列;(2)求T2n;(3)不等式64T2na2n3(1ka2n)对于一切nN*恒成立,求实数k的最大值【分析】(1)根据bna2n,anan+1,作商,利用等比数列的定义,即可得到结论;(2)由(1)知,根据bna2n,可得数列的通项,从而可求数列的和;(3)64T2na2n3(1ka2n)即得64313(1k),分离参数,利用基本不等式,即可求得结论【解答】(1)证明:bna2n,anan+13f所以bn是以b1为首项,公比为的等比数列4f(2)解:由(1)知,当n2k(kN*)时,;5f当n2k1(kN*)时,6f即7fT2n(a1+a3+a2n1)+(a2+a4+a2n)+319f(3)解:由(2),64T2na2n3(1ka2n)即得64313(1k)10f所以k6411f因64166448(当n3时等号成立)13f即所求的k的最大值为4814f【点评】本题考查等比数列的定义,考查数列的通项与求和,考查分离参数法的运用,考查基本不等式求最值,属于中档题

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