1、一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）不等式x6x2的解集是（）A（2，3）B（3，2）C（，2）（3，+）D（，3）（2，+）2（5分）设a，bR，ab，则下列不等式一定成立的是（）Aa2b2BCa2abD2a2b3（5分）在ABC中，b3，c3，B30，则a的值为（）A3B23C3D24（5分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A1盏B3盏C5盏D
2、9盏5（5分）设各项均为正的等比数列an满足a4a83a7，则log3（a1a2a9）等于（）A38B39C9D76（5分）在等比数列an中，若a3，a9是方程3x211x+90的两根，则a6的值是（）A3B3CD以上答案都不对7（5分）在ABC中，若a2，B60，b，则BC边上的高等于（）ABC3D8（5分）在等差数列an中，a660，a670，且a67|a66|，Sn为数列an的前n项和，则使Sn0的n的最小值为（）A66B67C132D1339（5分）在ABC中，若sinBsinCcos2，则ABC是（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形10（5分）在等差数列an中，a
3、10，3a85a13，则前n项的和Sn中最大的是（）AS10BS11CS20DS2111（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，a4a178，S339，设bnlog3an，那么数列bn的前10项和为（）Alog371BC50D5512（5分）数列an满足a11，nan+1（n+1）an+n（n+1），且，记Sn为数列bn的前n项和，则S30（）A294B174C470D304二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上）13（5分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bca，2sinB3sinC，则cosA的值为 14（5分）已
4、知函数f（x），则不等式f（x）2的解集是 15（5分）如图所示，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角，若A+C180，AB6，BC4，CD5，AD5，则BD 16（5分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosBbcosAc，当tan（AB）取最大值时，角B的值为 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）解关于x的不等式x2（a+1）x+a0（aR）18（12分）（I）设，其中，求的值；（II）若tan（+）2，tan（）3，求的值19（12分）已知正项数列an中，
5、a11，a22，2an2an12+an+12（n2），bn（1）求数列an的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Sn20（12分）已知公差不为零的等差数列an满足：a3+a820，且a5是a2与a14的等比中项（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足bn，求数列bn的前n项和Sn21（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos2+acos2c（）求证：a，c，b成等差数列；（）若C，ABC的面积为2，求c22（12分）已知数列an中，a11，anan+1（nN*），记T2n为an的前2n项的和（1）设bna2n，证明：数列bn是等比数列；（2）求T2n；（3）
6、不等式64T2na2n3（1ka2n）对于一切nN*恒成立，求实数k的最大值2017-2018学年广西玉林市陆川中学高一（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）不等式x6x2的解集是（）A（2，3）B（3，2）C（，2）（3，+）D（，3）（2，+）【分析】先将不等式化为一般形式，再利用一元二次不等式的解法求解可求【解答】解：不等式x6x2即为x2+x60，即（x+3）（x2）0，解得x3，或x2所以不等式x6x2的解集是（，3）（2，+）故选：D【点评】此题考查了一元二次不等式
7、的解法，体现了一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者之间的关系，数形结合的思想方法2（5分）设a，bR，ab，则下列不等式一定成立的是（）Aa2b2BCa2abD2a2b【分析】考察指数函数y2x在R上单调递增，利用已知ab即可得出【解答】解：考察指数函数y2x在R上单调递增，ab，2a2b故选：D【点评】本题考查了指数函数的单调性，属于基础题3（5分）在ABC中，b3，c3，B30，则a的值为（）A3B23C3D2【分析】由已知及余弦定理即可计算得解【解答】解：b3，c3，B30，由余弦定理b2a2+c22accosB，可得：9a2+92，整理可得：a3故选：C【点评】本题主要考查了余弦
8、定理在解三角形中的应用，属于基础题4（5分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A1盏B3盏C5盏D9盏【分析】设塔的顶层共有a1盏灯，则数列an公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果【解答】解：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列an公比为2的等比数列，S7381，解得a13故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5（5分）设各项均为正的等比数列an满足a4a83
9、a7，则log3（a1a2a9）等于（）A38B39C9D7【分析】利用等比数列的通项公式推导出a53，由此利用等比数列性质和对数函数运算法则能求出log3（a1a2a9）的值【解答】解：a4a8a5a7，a5a73a7，a53，故选：C【点评】本题考查对数式值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列性质和对数函数运算法则的合理运用6（5分）在等比数列an中，若a3，a9是方程3x211x+90的两根，则a6的值是（）A3B3CD以上答案都不对【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得a3a93，再由等比数列的定义和性质可得 a3a93，由此解得 a6 的值【解答】解：等比数列an中，若
10、a3，a9是方程3x211x+90的两根，则由一元二次方程根与系数的关系可得a3a93，a6再由等比数列的定义和性质可得 a3a93，解得 a6，故选：C【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题7（5分）在ABC中，若a2，B60，b，则BC边上的高等于（）ABC3D【分析】首先利用余弦定理求出c，然后求高【解答】解：因为在ABC中，若a2，B60，b，所以cos60，解得c3或c1（舍去）则BC边上的高为csin60；故选：A【点评】本题考查了利用余弦定理求三角形的一边；熟练运用定理是关键8（5分）在等差数列an中，a660，a670，且a67|a66
11、|，Sn为数列an的前n项和，则使Sn0的n的最小值为（）A66B67C132D133【分析】通过题意易知公差0，利用等差中项的性质即得结论【解答】解：a660，a670，公差da67a660，又a67|a66|，a67+a660，66（a67+a66）0，即S1320，又公差d0，使Sn0的n的最小值为132，故选：C【点评】本题考查等差中项的性质，注意解题方法的积累，属于中档题9（5分）在ABC中，若sinBsinCcos2，则ABC是（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形【分析】利用cos2可得，再利用两角和差的余弦可求【解答】解：由题意，即sinBsinC1cosCc
12、osB，亦即cos（CB）1，C，B（0，），CB，故选：A【点评】本题主要考查两角和差的余弦公式的运用，考查三角函数与解三角形的结合属于基础题10（5分）在等差数列an中，a10，3a85a13，则前n项的和Sn中最大的是（）AS10BS11CS20DS21【分析】等差数列的Sn为二次函数，依题意是开口向下的抛物线故有最大值，根据3a85a13，得到首项和公差的关系，写出等差数列的前n项和公式，把首项用公差表示，根据二次函数的最值得到结果【解答】解：等差数列的Sn为二次函数，依题意是开口向下的抛物线故有最大值，a13a8+5d，d即为公差，又3a85a13，a812.5d，a119.5dSn
13、na1+，Sn0.5dn220dn，当n为对称轴时即n20时Sn最大，故选：C【点评】本题是一个最大值的问题，结合二次函数的性质来解题，通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力11（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，a4a178，S339，设bnlog3an，那么数列bn的前10项和为（）Alog371BC50D55【分析】设出等比数列的公比，由已知列式求出等比数列的首项和公比，得到等比数列的通项公式，代入bnlog3an求得数列bn的通项，然后由等差数列的前n项和得答案【解答】解：设等比数列an的公比为q，
14、由a4a178，S339，得，两式作比得：q12，即q3，则a13bnlog3an则数列bn的前10项和55故选：D【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题12（5分）数列an满足a11，nan+1（n+1）an+n（n+1），且，记Sn为数列bn的前n项和，则S30（）A294B174C470D304【分析】nan+1（n+1）an+n（n+1），可得1，利用等差数列的定义通项公式可得ann2，bnn2cos，可得b3k2（3k2）2cos（3k2）2，同理可得b3k1（3k1）2，b3k（3k）2，kN*即可得出所求和【解答】解：nan+1（n+1）a
15、n+n（n+1），1，数列是等差数列，公差与首项都为11+（n1），可得ann2，bnn2cos，b3k2（3k2）2cos（3k2）2，同理可得b3k1（3k1）2，b3k（3k）2，kN*b3k2+b3k1+b3k（3k2）2（3k1）2+（3k）29k，则S309（1+2+10）10470，故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上）13（5分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bca，2sinB3sinC，则c
16、osA的值为【分析】由条件利用正弦定理求得a2c，b，再由余弦定理求得cosA 的值【解答】解：在ABC中，bca，2sinB3sinC，2b3c，由可得a2c，b再由余弦定理可得 cosA，故答案为：【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题14（5分）已知函数f（x），则不等式f（x）2的解集是（1，1）【分析】根据函数的解析式对x分类讨论，分别由指数函数的性质、一元二次不等式的解法求出对应的解集，最后再求出并集，即可得到不等式f（x）2的解集【解答】解：由题意知，f（x），当x0时，不等式f（x）2为2x2，解得x1，即0x1；当x0时，不等式f（x）2为x2+12，解得1
17、x1，即1x0，综上，不等式的解集是（1，1），故答案为：（1，1）【点评】本题考查一元二次不等式的解法，分段函数，以及指数函数的性质的应用，考查分类讨论思想15（5分）如图所示，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角，若A+C180，AB6，BC4，CD5，AD5，则BD7【分析】分别在三角形ABD和三角形CBD中，运用余弦定理可得6160cosA4140cosC，再由诱导公式，解方程可得cosA，即可得到所求值【解答】解：在三角形ABD中，由余弦定理可得BD2AD2+AB22ADABcosA25+36256cosA6160cosA，在三角形CBD中，由余弦定理可得BD2CD2+CB2
18、2CDCBcosC25+16254cosA4140cosC，由A+C180，可得cosAcosC，6160cosA41+40cosA，解得cosA，则BD7，故答案为：7【点评】本题考查三角形的余弦定理的运用，考查诱导公式和方程思想、运算能力属于中档题16（5分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosBbcosAc，当tan（AB）取最大值时，角B的值为【分析】acosBbcosAc，由正弦定理定理可得：sinAcosBsinBcosAsinCsin（A+B），化为：tanA3tanB0，代入tan（AB），再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：在ABC中，acosB
19、bcosAc，由正弦定理定理可得：sinAcosBsinBcosAsinCsin（A+B），化为：tanA3tanB0，tan（AB），当且仅当tanB，即B时取等号故答案为：【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）解关于x的不等式x2（a+1）x+a0（aR）【分析】关于x的不等式x2（a+1）x+a0化为（x1）（xa）0，不等式对应方程的实数根为a和1，由此根据a1，a1，a1进行分类讨论，能求出不等式的解集【解答】解：关于x的不等式x2（
20、a+1）x+a0化为（x1）（xa）0，不等式对应方程的实数根为a和1；当a1时，不等式的解集为 （，1a，+）；当a1时，不等式的解集为R，当a1时，不等式的解集为（，a1，+）【点评】本题考查不等式的解法，考查一元二次不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题18（12分）（I）设，其中，求的值；（II）若tan（+）2，tan（）3，求的值【分析】（I）由已知求得sin（），cos（）的值，再由coscos（）（），展开两角差的余弦求解（II）构造思想，sin2sin（+）+（），cos2cos（+）（），利用两角和与差的公式打开计算即可求的值【解答】解：（I
21、）（，），（0，），（，），（，），由cos（），sin（），得sin（），cos（）coscos（）（）cos（）cos（）+sin（）sin（）+；（II）由tan（+）2，可得2，即sin（+）2cos（+），tan（）3，可得：3，即sin（）3cos（）sin2sin（+）+（），cos2cos（+）（），那么：【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的余弦，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题19（12分）已知正项数列an中，a11，a22，2an2an12+an+12（n2），bn（1）求数列an的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Sn【分析】（1）数列是等差数列，首项
22、为1，公差为2213，由此能求出an（2）bn（），利用裂项求和法能求出数列bn的前n项和【解答】解：（1）正项数列an中，a11，a22，2an2an12+an+12（n2），数列是等差数列，首项为1，公差为2213，1+3（n1）3n2，an0，an（2）an，bn（），数列bn的前n项和：Sn（）+（）+（）（）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列、裂项求和法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20（12分）已知公差不为零的等差数列an满足：a3+a820，且a5是a2与a14的等比中项（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足bn，求数列bn的
23、前n项和Sn【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；（2）利用裂项法求和【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，a3+a820，且a5是a2与a14的等比中项，解得a11，d2，an1+2（n1）2n1（2）bn（），Snb1+b2+b3+bn（1+）（1）【点评】本题考查了等差数列的性质，数列求和，属于中档题21（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos2+acos2c（）求证：a，c，b成等差数列；（）若C，ABC的面积为2，求c【分析】（）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，三角形的内角和，化简求解即可（）利用三角形
24、的面积以及余弦定理化简求解即可【解答】解：（）证明：由正弦定理得：即，sinB+sinA+sinBcosA+cosBsinA3sinC（2分）sinB+sinA+sin（A+B）3sinCsinB+sinA+sinC3sinC（4分）sinB+sinA2sinCa+b2c（5分）a，c，b成等差数列（6分）（）ab8（8分）c2a2+b22abcosCa2+b2ab（a+b）23ab4c224（10分）c28得（12分）【点评】本题考查三角形的解法，两角和与差的三角函数妹子学到了与余弦定理，等差数列的应用，考查转化思想以及计算能力22（12分）已知数列an中，a11，anan+1（nN*），记
25、T2n为an的前2n项的和（1）设bna2n，证明：数列bn是等比数列；（2）求T2n；（3）不等式64T2na2n3（1ka2n）对于一切nN*恒成立，求实数k的最大值【分析】（1）根据bna2n，anan+1，作商，利用等比数列的定义，即可得到结论；（2）由（1）知，根据bna2n，可得数列的通项，从而可求数列的和；（3）64T2na2n3（1ka2n）即得64313（1k），分离参数，利用基本不等式，即可求得结论【解答】（1）证明：bna2n，anan+13f所以bn是以b1为首项，公比为的等比数列4f（2）解：由（1）知，当n2k（kN*）时，；5f当n2k1（kN*）时，6f即7fT2n（a1+a3+a2n1）+（a2+a4+a2n）+319f（3）解：由（2），64T2na2n3（1ka2n）即得64313（1k）10f所以k6411f因64166448（当n3时等号成立）13f即所求的k的最大值为4814f【点评】本题考查等比数列的定义，考查数列的通项与求和，考查分离参数法的运用，考查基本不等式求最值，属于中档题
