1、2017-2018学年广西钦州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共7小题，每小题5分，满分35分）1（5分）设集合Ax|x2x20，集合Bx|1x4，则AB（）Ax|1x2Bx|1x4Cx|1x1Dx|2x42（5分）等差数列an中，a32，a118，则a7（）A0B1C2D33（5分）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和AA1的中点，则直线EF与直线AC所成的角为（）A30B45C60D904（5分）下列命题中正确的是（）A若直线m平面，直线n，则mnB若直线m平面，直线n，则mnC若平面平面，直线m，直线n，则mnD若平面平面，直线m，则m5（5分）若关于x
2、的不等式的解集为x|0x2，则实数m的值为（）A1B2C3D36（5分）直线ykx+3被圆x2+y24x6y+90截得的弦长为2，则直线的倾斜角为（）AB或CD或7（5分）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b1，c，C60，则角A等于（）A30B60C90D120示范高中考生做8（5分）九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，如图所示网格中的每个小正方形的边长为1，已知图为某“堑堵”的三视图，则该“堑堵”的体积为（）A2B4C6D8非示范高中考生做9如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为（）A
3、BCD10（5分）已知正实数x，y满足2x+y1，则xy的最大值为（）ABCD11（5分）矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC将三角形ABC折起，得到的四面体ABCD的体积的最大值为（）ABCD512（5分）若数列an的前n项和Snan+，则a6（）A64B64C32D32示范高中考生做13（5分）若m0，n0，且直线（m+1）x+（n+1）y20与圆x2+y22x2y+10相切，则m+n的取值范围是（）A2+，+）B2+2，+）C（0，2+D（0，2+2非示范高中考生做14已知直线l：（2m+1）x+（m1）y15m0，m为任意实数，则直线l被圆x2+y29截得的弦的长度的取值范围是（）A
4、0，6B，6C3，6D4，6二、填空题（共3小题，每小题5分，满分13分）15（5分）经过点P（1，2）且与直线x2y20垂直的直线方程是 16（5分）已知实数x，y满足，则zxy+1的最小值为 17（3分）在各项都是正数的等比数列an中，若a6，则+的最小值为 示范高中考生做18（5分）在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cosA 非示范高中考生做19若某圆锥的侧面展开图的圆心角等于120，则母线与底面所成角的余弦值等于 三、解答题（共1小题，满分12分）20（12分）（1）解不等式：2x2+5x20；（2）若关于x的一元二次方程mx2（1m）x+m0没有实数根，求实数m的取值范围示范高
5、中考生做21（12分）已知公差不为0的等差数列an中，a21，且a2，a3，a6成等比数列（1）求an的通项公式；（2）设bn，数列bn的前n项和为Sn，求Sn非示范高中考生做22已知公差不为0的等差数列an中，a21，且a2，a3，a6成等比数列（1）求an的通项公式；（2）设数列an的前n项和为Sn，求Sn23（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosCcsinA（1）求角C的大小；（2）若c，且ABC的面积S，求a+b的值24（12分）已知圆心为C（1，1）的圆C经过点M（1，2）（1）求圆C的方程；（2）若直线x+y+m0与圆C相交于A、B两点，且ABC是直
6、角三角形，求实数m的值25（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且AD2PD2（1）求证：MN平面PCD；（2）求二面角NPAD的余弦值示范高中考生做26（12分）已知数列an满足a11，an+12an+1（1）求a2，a3，a4，并猜想出an的一个通项公式；（2）若+m恒成立，求实数m的取值范围非示范高中考生做27已知数列an满足a11，an+12an+1（1）求a2，a3，a4，并猜想出an的一个通项公式；（2）证明：数列an+1成等比数列，并求出数列an的前n项和Sn2017-2018学年广西钦州市高一（下）期末数学试
7、卷参考答案与试题解析一、选择题（共7小题，每小题5分，满分35分）1（5分）设集合Ax|x2x20，集合Bx|1x4，则AB（）Ax|1x2Bx|1x4Cx|1x1Dx|2x4【分析】解不等式化简集合A，根据并集的定义写出AB【解答】解：集合Ax|x2x20x|1x2，集合Bx|1x4，则ABx|1x4故选：B【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题2（5分）等差数列an中，a32，a118，则a7（）A0B1C2D3【分析】利用等差数列的通项公式直接求解【解答】解：等差数列an中，a32，a118，2a7a3+a112+86，a73故选：D【点评】本题考查等差数列的第7项的求法，考查
8、等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3（5分）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和AA1的中点，则直线EF与直线AC所成的角为（）A30B45C60D90【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，利用向量法能求出直线EF与直线AC所成的角【解答】解：在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和AA1的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，则E（2，1，0），
9、F（2，0，1），A（2，0，0），C（0，2，0），（0，1，1），（2，2，0），设直线EF与直线AC所成的角为，则cos，60直线EF与直线AC所成的角为60故选：C【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题4（5分）下列命题中正确的是（）A若直线m平面，直线n，则mnB若直线m平面，直线n，则mnC若平面平面，直线m，直线n，则mnD若平面平面，直线m，则m【分析】由线面平行的定义得到m与内直线无交点，即可判断A；由线面垂直的定义，即可判断B；由面面平行的定义，两平面内的直线无交点，即可判断C；
10、由面面垂直的性质定理，即可判断D【解答】解：A若直线m平面，直线n，则由线面平行的定义可知mn或异面，故A错；B若直线m平面，直线n，则由线面垂直的定义得mn，故B正确；C若平面平面，直线m，直线n，则，无公共点，即mn或异面，故C错；D若平面平面，直线m，由面面垂直的性质定理，若m垂直于，的交线，则m，否则m不垂直于，故D错故选：B【点评】本题主要考查空间直线与平面的位置关系：平行和垂直，考查线面平行、垂直的性质和面面平行、垂直的性质，熟记这些性质是迅速解题的关键5（5分）若关于x的不等式的解集为x|0x2，则实数m的值为（）A1B2C3D3【分析】由一元二次方程与对应不等式关系可知，一元二
11、次不等式解集边界值，就是所对应一元二次方程两根，然后将根代入方程即可求出m的值【解答】解：不等式的解集为x|0x2，0、2是方程x2+（2m）x0的两个根，将2代入方程得m1m1；故选：A【点评】本题考查一元二次不等式与所对应的二次方程关系，同时转化能力，属于基础题6（5分）直线ykx+3被圆x2+y24x6y+90截得的弦长为2，则直线的倾斜角为（）AB或CD或【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，结合垂径定理求直线ykx+3斜率，进一步求得倾斜角【解答】解：化圆x2+y24x6y+90为标准方程（x2）2+（y3）24，可得圆心坐标为（2，3），半径r2圆心（2，3）到直线kx
12、y+30的距离d，由直线ykx+3被圆x2+y24x6y+90截得的弦长为2，得，解得k或k可得直线的倾斜角为或故选：B【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是中档题7（5分）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b1，c，C60，则角A等于（）A30B60C90D120【分析】由已知及正弦定理可求sinB的值，利用大边对大角可求B，结合三角形内角和定理即可计算得解【解答】解：b1，c，C60，由正弦定理可得：sinB，cb，B为锐角，可得B30A180CB90故选：C【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，三角形内角和定理在解三角形中的应用，属
13、于基础题示范高中考生做8（5分）九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，如图所示网格中的每个小正方形的边长为1，已知图为某“堑堵”的三视图，则该“堑堵”的体积为（）A2B4C6D8【分析】由三视图得出该几何体是一个以左视图为底面的三棱柱，结合图中数据求出三棱柱的体积【解答】解：由几何体的三视图可得：该几何体是一个以左视图为底面的三棱柱，底面面积为：211，高为2，直三棱柱的体积为122故选：A【点评】本题考查了空间几何体三视图以及体积的计算问题，是基础题非示范高中考生做9如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为（）
14、ABCD【分析】由三视图知几何体为圆锥，根据正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，判断圆锥底面圆的半径为1，高为，代入体积公式计算【解答】解：由三视图知几何体为圆锥，正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，圆锥底面圆的半径为1，高为；几何体的体积V12故选：B【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量10（5分）已知正实数x，y满足2x+y1，则xy的最大值为（）ABCD【分析】利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：正实数x，y满足2x+y1，则1，化为：xy，当且仅当2xy时取等号xy的最大值为故选：A【点评】本题考查了基本不等式的性质，考
15、查了推理能力与计算能力，属于基础题11（5分）矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC将三角形ABC折起，得到的四面体ABCD的体积的最大值为（）ABCD5【分析】当平面ABC平面ACD时，得到的四面体ABCD的体积取最大值，由此能求出四面体ABCD的体积的最大值【解答】解：矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC将三角形ABC折起，当平面ABC平面ACD时，得到的四面体ABCD的体积取最大值，此时点B到平面ACD的距离d，SADC6，四面体ABCD的体积的最大值为：V故选：C【点评】本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想
16、，是中档题12（5分）若数列an的前n项和Snan+，则a6（）A64B64C32D32【分析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式【解答】解：数列an的前n项和Snan+，则，得：，所以：，当n1时，解得：a11所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列则：2n1所以：故选：C【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用示范高中考生做13（5分）若m0，n0，且直线（m+1）x+（n+1）y20与圆x2+y22x2y+10相切，则m+n的取值范围是（）A2+，+）B2+2，+）C（0，2+D（0，2+2【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于
17、圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+nx，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围【解答】解：由圆x2+y22x2y+10，得（x1）2+（y1）21，得到圆心坐标为（1，1），半径r1，直线（m+1）x+（n+1）y20与圆相切，圆心到直线的距离d，整理得：m+n+1mn，设m+nx（x0），则有x+1，即x24x40，解得：x2+2，则m+n的取值范围为2+2，+）故选：B【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，是中档题非示范高中考生做14已知直线l：（2m+1）x
18、+（m1）y15m0，m为任意实数，则直线l被圆x2+y29截得的弦的长度的取值范围是（）A0，6B，6C3，6D4，6【分析】直线l：（2m+1）x+（m1）y15m0恒过A（2，1）点，进而求出弦长的最值，可得答案【解答】解：圆x2+y29的圆心为原点，半径为3，直线l：（2m+1）x+（m1）y15m0可化为：（2x+y5）m+（xy1）0令2x+y5xy10，则x2，y1，即直线l：（2m+1）x+（m1）y15m0恒过A（2，1）点，则OA当直线l过O时，弦长取最大值6，当直线l与OA垂直时，弦长取最小值24，故选：D【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，弦长公式，难度中档二
19、、填空题（共3小题，每小题5分，满分13分）15（5分）经过点P（1，2）且与直线x2y20垂直的直线方程是2x+y40【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线x2y20垂直的直线方程为2x+y+c0，再把点（1，2）代入，即可求出c值，得到所求方程【解答】解：所求直线方程与直线x2y20垂直，设方程为2x+y+c0直线过点（1，2），2+2+c0c4所求直线方程为2x+y40故答案为：2x+y40【点评】本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于常规题16（5分）已知实数x，y满足，则zxy+1的最小值为2【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直
20、线方程的斜截式，由图得到使目标函数取得最小值的点，求出点的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由实数x，y满足作可行域如图，由zxy+1 可得yxz+1有图形可知，当直线yxz过可行域内的点A（0，3）时，直线在y轴上的截距最大，即z最小zmin03+12故答案为：2【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题17（3分）在各项都是正数的等比数列an中，若a6，则+的最小值为4【分析】先根据等比数列的性质可得a3a9a62，再根据基本不等式即可求出【解答】解：各项都是正数的等比数列an中，若a6，则a3a9a62，则+24，当且仅当2a3a9时取号，故最最小值为4，故
21、答案为：4【点评】本题考查了等比数列的性质和基本不等式，属于基础题示范高中考生做18（5分）在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cosA【分析】作出图形，令DAC，依题意，可求得cos，sin，利用两角和的余弦即可求得答案【解答】解：设ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，ADBC于D，令DAC，在ABC中，B，BC边上的高ADhBCa，BDADa，CDa，在RtADC中，cos，故sin，cosAcos（+）coscossinsin故答案为：【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令DAC，利用两角和的余弦求cosA是关键，也是亮点，属于中档题非示范高中考生做19若某圆锥的侧面展
22、开图的圆心角等于120，则母线与底面所成角的余弦值等于【分析】先求出侧面展开图的弧长，从而求出底面圆半径，进而求出圆锥的高，由此能求出圆锥体积【解答】解：设母线长为a，圆锥的侧面展开图的圆心角等于120，120，圆锥的底面周长为：，圆锥的底面半径为：r，则2r，可得母线与底面所成角的余弦值等于故答案为：【点评】本题考查圆锥的母线与底面所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养三、解答题（共1小题，满分12分）20（12分）（1）解不等式：2x2+5x20；（2）若关于x的一元二次方程mx2（1m）x+m0没有实数根，求实数m的取值范围【分析】（1）根据一元二次不等式的解法
23、与步骤进行解答即可（2）由题意可得它的判别式（1m）24mm0，且m0，由此求得m的取值范围【解答】（1）解：原不等式可化为2x25x+20；（1分）即（2x1）（x2）0（3分）所以原不等式的解集为x|x2（5分）（2）解：由于关于x的一元二次方程mx2（1m）x+m0没有实数根，故它的判别式（1m）24mm0，且m0，求得m或m1， 故m的范围为（，1）（，+）【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程根的存在性与判别式之间的关系，属于中档题示范高中考生做21（12分）已知公差不为0的等差数列an中，a21，且a2，a3，a6成等比数列（1）求an的通项公式；（2）设bn，数
24、列bn的前n项和为Sn，求Sn【分析】（1）设公差d不为0的等差数列an，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程即可得到所求通项；（2）求得bn（），运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和【解答】解：（1）设公差d不为0的等差数列an，a21，且a2，a3，a6成等比数列，可得a1+d1，a32a2a6，即（a1+2d）2（a1+d）（a1+5d），解得a11，d2，所以，数列an的通项公式是an2n3；（2）由（1）知bn（），所以前n项和为Sn（11）+（1）+（）+（）（1）【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质，考查数列的裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题非
25、示范高中考生做22已知公差不为0的等差数列an中，a21，且a2，a3，a6成等比数列（1）求an的通项公式；（2）设数列an的前n项和为Sn，求Sn【分析】（1）利用等差数列通项公式和等比数列性质，列出方程组，求出a11，d2，由此能求出an的通项公式（2）利用等差数列前n项和公式能求出数列an的前n项和【解答】解：（1）公差不为0的等差数列an中，a21，且a2，a3，a6成等比数列，解得a11，d2，an的通项公式an1+（n1）22n3（2）数列an的前n项和为Sn，Snn+n22n【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和的求法，考查等比数列、等差数列的性质等基础知识，考查运算求解
26、能力，考查函数与方程思想，是基础题23（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosCcsinA（1）求角C的大小；（2）若c，且ABC的面积S，求a+b的值【分析】（1）由正弦定理化简已知可得sinAcosCsinCsinA，由于sinA0，可求tanC，结合范围C（0，），可求C的值（2）由三角形面积公式可求ab3，进而由余弦定理可求a+b的值【解答】（本题满分为12分）解：（1）由acosCcsinA及正弦定理，得sinAcosCsinCsinA，（2分）在ABC中，因为sinA0，（3分）所以cosCsinC，即tanC，（4分）而C（0，），（5分）所以C（6
27、分）（2）由ABC的面积SabsinC，（7分）由（1）得：Sab，（8分）可得：ab3，（9分）由余弦定理，知：c2a2+b22abcosC，（10分）即：7a2+b2ab（a+b）23ab（a+b）29，（11分）所以a+b4（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于基础题24（12分）已知圆心为C（1，1）的圆C经过点M（1，2）（1）求圆C的方程；（2）若直线x+y+m0与圆C相交于A、B两点，且ABC是直角三角形，求实数m的值【分析】（1）利用两点之间的距离可得r，可得圆C的方程；（2）因为直线x+y+m0
28、与圆C相交于A、B两点，所以，两边平方，得（m+2）22即m2+4+20所以：再由ABC是直角三角形，得d即可求解m的值【解答】解：（1）由已知，得所求圆的半径的平方为：r（11）2+（12）21，所以圆的标准方程是：（x1）2+（y1）21；（2）因为直线x+y+m0与圆C相交于A、B两点，所以，两边平方，得（m+2）22，即m2+4+20所以：，再由ABC是直角三角形，得d，整理得，（m+2）21，即m2+4m+30，解得：m1或m3【点评】本题考查直线方程与圆的关系，圆的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用25（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是
29、正方形，PD底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且AD2PD2（1）求证：MN平面PCD；（2）求二面角NPAD的余弦值【分析】（1）取PD的中点E，连结EM，EC，证明四边形EMNC是平行四边形，得到ECMN，然后证明MN平面PCD（2）取AD的中点H，连结NH，则NHAD，过H作HFPA，连结FN，说明HNF是二面角NPAD的平面角，在PAD中，转化求解即可【解答】（1）证明：取PD的中点E，连结EM，EC，M是PA的中点，EMAD，且EM，（2分）而NCBC，且ADBC，EMNC，且EMNC，（3分）四边形EMNC是平行四边形，ECMN（4分）EC平面PCD，MN平面PCD，所以
30、，MN平面PCD（5分）（2）解：取AD的中点H，连结NH，则NHAD，由已知，PD底面ABCD，侧面PAD底面ABCD，NH侧面PAD（7分）过H作HFPA，连结FN，则NHPA，PA平面NHF，FNPA，（8分）所以HNF是二面角NPAD的平面角，在PAD中，（9分）由AD2PD2，得PA，FH，（10分）而NH2，FN，（11分）所以二面角NPAD的平面角的余弦值为：cosHFN（12分）【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力示范高中考生做26（12分）已知数列an满足a11，an+12an+1（1）求a2，a3，a4，并猜想出
31、an的一个通项公式；（2）若+m恒成立，求实数m的取值范围【分析】（1）根据a11，an+12an+1代值计算即可得到a2，a3，a4，猜想通项公式；（2）根据数列的递推公式可得数列an+1是以2为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式和放缩法即可求出m的范围【解答】解：（1）由a11，an+12an+1得a23，a37，a415，由此猜想数列an的一个通项公式为：an2n1（2）、由an+12an+1，得an+1+12（an+1），数列an+1是以2为首项，2为公比的等比数列，数列an+1的通项公式为an+12n，+1（）n，1）实数m的取值范围是m1【点评】本题考查了数列的递推公
32、式和通项公式的求法和放缩法，属于中档题非示范高中考生做27已知数列an满足a11，an+12an+1（1）求a2，a3，a4，并猜想出an的一个通项公式；（2）证明：数列an+1成等比数列，并求出数列an的前n项和Sn【分析】（1）a11，an+12an+1可得：a22a1+1，a32a2+1，a42a3+1，进而猜想出an的一个通项公式an（2）由an+12an+1，可得：an+1+12（an+1）即可证明结论，利用求和公式即可得出【解答】（1）解：a11，an+12an+1a22a1+13，a32a2+17，a42a3+115猜想出an的一个通项公式an2n1（2）证明：由an+12an+1，可得：an+1+12（an+1）a1+12，数列an+1成等比数列，首项为2，公比为2通项公式an2n1数列an的前n项和Snn2n+12n【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
