1、2017-2018学年广西百色市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）将一个直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A一个圆台B一个圆锥C一个圆柱D两个圆锥2（5分）已知直线l经过两点P（1，2），Q（2，1），那么直线l的斜率为（）A3BCD33（5分）若ab0，则下列不等式关系中，不能成立的是（）ABCaDa2b24（5分）已知直线l经过点P（2，1），且斜率为，则直线l的方程为（）A3x+4y+20B3x4y20C4x+3y+20D4x3y205（5分）等差数列an的前n项
2、和为Sn，若2a86+a10，则S11（）A27B36C45D666（5分）以两点A（3，1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是（）A（x1）2+（y2）225B（x+1）2+（y+2）225C（x+1）2+（y+2）2100D（x1）2+（y2）21007（5分）在ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，其中ba且2asin（A+B），则角A等于（）AB或CD或8（5分）不等式x2axb0的解集为x|2x3，则a，b的值为（）Aa2，b3Ba2，b3Ca5，b6Da5，b69（5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）ABCD10（5分）已知空间中点
3、A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|2，则实数x的值是（）A4或0B4C3或4D3或411（5分）若变量x，y满足约束条件，则z2xy的最大值为（）A1B0C3D412（5分）一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为120的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为（）A20BC25D25二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）若a0，b0，且a+2b4，则ab的最大值是 14（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，若S43，S12S812，则S8 15（5分）圆x2+y22x4y+30的圆心到直线xay+10的距离
4、为2，则a 16（5分）如图，九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高一丈（1丈10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为 尺三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosB（1）求角B的值；（2）求b，a+c5，求ABC的面积18（12分）已知Sn为等差数列an的前n项和，已知S22，S420（1）求数列an的通项公式和前n项和Sn；（2）是否存在n，使Sn
5、，Sn+2+2n，Sn+3成等差数列，若存在，求出n，若不存在，说明理由19（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCBB1，点E是A1B与AB1的交点，D为AC中点（1）求证：B1C平面A1BD；（2）求证：AB1平面A1BC20（12分）设数列an的前n项和为Sn，a12，an+12+Sn，（nN*）（I）求数列an的通项公式；（）设bnlog2（an）2，求数列的前n项和Tn21（12分）已知以点A（1，2）为圆心的圆与直线m：x+2y+70相切，过点B（2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点（1）求圆A的方程（2）当|MN|2时，求直线l方程选修4-4：坐标系与参数方程22
6、（10分）某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形ABC的边角地辟为植物新品种实验基地，图中DE需把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上（1）设ADx（x10），EDy，试用x表示y的函数关系式；（2）如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应该在哪里？说明理由2017-2018学年广西百色市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）将一个直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周，所得的几何体
7、包括（）A一个圆台B一个圆锥C一个圆柱D两个圆锥【分析】根据圆锥的几何特征，可得答案【解答】解：将一个直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周，所得的几何体是两个底面重合的圆锥，故选：D【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征是解答的关键2（5分）已知直线l经过两点P（1，2），Q（2，1），那么直线l的斜率为（）A3BCD3【分析】利用斜率计算公式即可得出【解答】解：直线l的斜率k，故选：C【点评】本题考查了斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）若ab0，则下列不等式关系中，不能成立的是（）ABCaDa2b2【分析】作差通分比较可得【解答】解：0，故选：A【点
8、评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题4（5分）已知直线l经过点P（2，1），且斜率为，则直线l的方程为（）A3x+4y+20B3x4y20C4x+3y+20D4x3y20【分析】直接根据直线方程的点斜式，整理为一般式得答案【解答】解：直线l经过点P（2，1），且斜率为，直线l的点斜式方程为y1（x+2），整理得：3x+4y+20故选：A【点评】本题考查了直线的点斜式方程，考查了点斜式和一般式的互化，是基础题5（5分）等差数列an的前n项和为Sn，若2a86+a10，则S11（）A27B36C45D66【分析】根据等差数列的性质和前n项和公式即可求出【解答】解：2a86+a10，2a8a6+
9、a10，a66，S1111a666，故选：D【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题6（5分）以两点A（3，1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是（）A（x1）2+（y2）225B（x+1）2+（y+2）225C（x+1）2+（y+2）2100D（x1）2+（y2）2100【分析】由条件求出圆心坐标和半径的值，从而得出结论【解答】解：由题意可得，圆心为线段AB的中点C（1，2），半径为 rAB5，故要求的圆的方程为 （x1）2+（y2）225，故选：A【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题7（5分）在ABC中，角A，B所对的边长分
10、别为a，b，其中ba且2asin（A+B），则角A等于（）AB或CD或【分析】由正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式化简已知等式可得sinA，利用大边对大角可得A为锐角，根据特殊角的三角函数值即可得解A的值【解答】解：c2asin（A+B），由正弦定理得：sinC2sinAsin（A+B），A+B+C，可得sinC2sinAsinC，由sinC0，得，sinA，ba，A为锐角，A故选：A【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题8（5分）不等式x2axb0的解集为x|2x3，则a，b的值为（）Aa
11、2，b3Ba2，b3Ca5，b6Da5，b6【分析】根据题意，由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，分析可得方程x2axb0的两根为2或3，则有，解可得a、b的值，即可得答案【解答】解：根据题意，不等式x2axb0的解集为x|2x3，则方程x2axb0的两根为2或3，则有，则a5，b6，故选：C【点评】本题考查一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，属于基础题9（5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）ABCD【分析】正方体上下底面中心的连线平行于BB1，上下底面中心的连线与平面ACD1所成角，即为BB1与平面ACD1所成角，直角三角形中，利
12、用边角关系求出此角的余弦值【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1，则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，即O1OD1，直角三角形OO1D1中，cosO1OD1，故选：D【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现，属于中档题10（5分）已知空间中点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|2，则实数x的值是（）A4或0B4C3或4D3或4【分析】利用数量积运算性质即可得出【解答】解：（2x，2，2），|AB|2，2，
13、化为：2x2，解得x0，或4故选：A【点评】本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题11（5分）若变量x，y满足约束条件，则z2xy的最大值为（）A1B0C3D4【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的平行直线，将直线平移，由图知过（2，1）时，截距最小，此时z最大，从而求出z2xy的最大值【解答】解：画出不等式表示的平面区域将目标函数变形为y3xz，作出目标函数对应的平行直线，将直线平移，由图知过（2，1）时，直线的纵截距最小，此时z最大，最大值为413故选C【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，属于基础题12（5分）一个直三
14、棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为120的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为（）A20BC25D25【分析】由已知中的三视图，求出底面外接圆半径，球心距，进而求出球半径，代入球的面积公式，可得答案【解答】解：由俯视图是一个顶角为120，腰长为2的等腰三角形，故底面外接圆半径r2，由主视图可得几何体的高为2，故球心到底面的距离d1，故球半径R，故该直三棱柱外接球的表面积为20，故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，球内接多面体，求出球的半径，是解答的关键二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）若a0，b0，且a+2b4，则ab的最大值是2【分
15、析】由于a、b为正值，且a+2b为定值4，因此可以运用基本不等式先求出2的最大值，进而求出ab的最大值【解答】解：a0，b0，a+2b22ab2，当且仅当a2b时取等号，即a2，b1时取等号所以ab的最大值为2故答案为：2【点评】本题考查了运用基本不等式求最值，运用基本不等式求最值时要注意满足“一正、二定、三相等”的条件14（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，若S43，S12S812，则S89【分析】由等比数列an中，S43，S12S812，知a9+a10+a11+a12q4（a5+a6+a7+a8）q4（S8S4）6q412，故q42，所以a5+a6+a7+a8q4（a1+a2+a3+
16、a4）q436，由此能求出S8【解答】解：等比数列an中，S43，S12S812，a9+a10+a11+a12q4（a5+a6+a7+a8）q4（S8S4）6q412，q42，a5+a6+a7+a8q4（a1+a2+a3+a4）q436，S8S4+a5+a6+a7+a83+69故答案为：9【点评】本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化15（5分）圆x2+y22x4y+30的圆心到直线xay+10的距离为2，则a0【分析】根据题意，求出圆的圆心的坐标，由点到直线的距离公式可得2，解可得a的值，即可得答案【解答】解：根据题意，圆x2+y22x4
17、y+30的圆心为（1，2），若圆的圆心到直线xay+10的距离为2，则有2，解可得：a0；故答案为：0【点评】本题考查点到直线的距离公式，关键是求出圆心的坐标，属于基础题16（5分）如图，九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高一丈（1丈10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为4.55尺【分析】设折断处离地面的高为x，利用勾股定理列方程求得x的值【解答】解：由题意，设折断处离地面的高为x，则由勾股定理得x2+32（10x）2，化简得20x91，解得x4.55故答案为：4.55【点评】本题考
18、查了勾股定理的应用问题，是基础题三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosB（1）求角B的值；（2）求b，a+c5，求ABC的面积【分析】（1）由已知可得2cos2B+cosB10，解得cosB，结合范围B（0，），可求B（2）利用余弦定理解得ac6，根据三角形面积公式即可计算得解【解答】解：（1）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosB，则2cos2B+cosB10，整理得（2cosB1）（cosB+1）0，解得cosB，（1舍去）B（0，），则B（2）利用余弦定
19、理b2a2+c22accosB，由于b，a+c5，解得ac6，所以SABCacsinB【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18（12分）已知Sn为等差数列an的前n项和，已知S22，S420（1）求数列an的通项公式和前n项和Sn；（2）是否存在n，使Sn，Sn+2+2n，Sn+3成等差数列，若存在，求出n，若不存在，说明理由【分析】（1）设等差数列an的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项和求和；（2）假设存在n，使Sn，Sn+2+2n，Sn+3成等差数列，运用等差数列中项性质
20、，解方程可得n，即可得到所求结论【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，S22，S420，2a1+d2，4a1+6d20，联立解得a14，d6，an46（n1）106n，Sn7n3n2；（2）假设存在n，使Sn，Sn+2+2n，Sn+3成等差数列，则2（Sn+2+2n）Sn+Sn+3，27（n+2）3（n+2）2+2n7n3n2+7（n+3）3（n+3）2，解得n5则存在n5，使Sn，Sn+2+2n，Sn+3成等差数列【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题19（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCBB1，点E是A1B与AB1的交
21、点，D为AC中点（1）求证：B1C平面A1BD；（2）求证：AB1平面A1BC【分析】（1）连结ED，推导出EDB1C，由此能证明B1C平面A1BD（2）推导出ABBC，ABBC，四边形ABB1A1是菱形，从而AB1A1B再求出BCBB1，从而BC平面ABB1A1，进而BCAB1，由此能证明AB1平面A1BC【解答】证明：（1）连结ED，直棱柱ABCA1B1C1中，E为A1B与AB1的交点，E为AB1中点，D为AC中点，EDB1C，又ED平面A1BD，B1C平面A1BD，B1C平面A1BD解：（2）BACBCA，ABBC，ABBC，BB1BC，四边形ABB1A1是菱形，AB1A1BBB1平面A
22、BC，BC平面ABC，BCBB1，ABBB1B，AB，BB1平面ABB1A1，BC平面ABB1A1，AB1平面ABB1A1，BCAB1，BCA1BB，BC，A1B平面A1BC，AB1平面A1BC【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20（12分）设数列an的前n项和为Sn，a12，an+12+Sn，（nN*）（I）求数列an的通项公式；（）设bnlog2（an）2，求数列的前n项和Tn【分析】（）根据数列的递推公式即可求出数列的通项公式，（）根据对数的运算性质，以及裂项求和，即可求出Tn【解答】解：（）an
23、+12+Sn，（nN*），当n1时，a22+S1，即a24，当n2时，an2+Sn1，由可得an+1anSnSn1an，即an+12an，ana22n22n，n2，当n1时，a1212，an2n，（nN*）（）由（）得bnlog2（an）22n，（），Tn（1+）（1）【点评】本题考查了数列的递推公式和裂项求和，考查了运算能力，属于中档题21（12分）已知以点A（1，2）为圆心的圆与直线m：x+2y+70相切，过点B（2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点（1）求圆A的方程（2）当|MN|2时，求直线l方程【分析】（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；（2）根据相交弦长
24、公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程【解答】解：（1）意知A（1，2）到直线x+2y+70的距离为圆A半径r，圆A方程为（x+1）2+（y2）220（5分）（2）垂径定理可知MQA90且，在RtAMQ中由勾股定理易知设动直线l方程为：yk（x+2）或x2，显然x2合题意由A（1，2）到l距离为1知3x4y+60或x2为所求l方程（7分）【点评】本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形ABC的边角地辟为植物新品种实验基地，图中D
25、E需把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上（1）设ADx（x10），EDy，试用x表示y的函数关系式；（2）如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应该在哪里？说明理由【分析】（1）三角形ADE中的A60，由余弦定理得y，x，AE三者的关系求出函数的解析式即可；（2）根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可【解答】解：（1）ABC的边长是20米，D在AB上，则10x20，SADESABC，xAEsin60（20）2，故AE，在三角形ADE中，由余弦定理得：y，（10x20）；（2）若DE作为输水管道，则需求y的最小值，y10，当且仅当x2即x10时“”成立【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查余弦定理的应用，是一道中档题
