1、2017-2018学年广西桂林市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）与角终边相同的角是（）AB2k（kZ）C2k+（kZ）D（2k+1）+（kZ）2（5分）圆x2+y2+20的半径是（）AB2C2D43（5分）已知如图所示的矩形，其长为12，宽为5，在矩形内随机地撒1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为（）A31B32C33D344（5分）在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为（）弧度A1B2C3D45（5分）在如图所示空间直角坐标系内，正方体ABCD
2、A1B1C1D1的棱长为1，则棱BB1中点的坐标为（）A（1，1，）B（1，1）C（，1，1）D（）6（5分）若角A，B，C是ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是（）Acos（A+B）cosCBsin（A+B）sinCCcos（+C）sinBDsincos7（5分）已知tan2，则sin+cos（）ABCD8（5分）执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是（） A8B5C3D29（5分）已知向量与的夹角为120，则（）AB2CD410（5分）函数ysin2xcos2x的图象向右平移（0）个单位后，得到函数yg（x）的图象，若yg（x）为偶函数，则的值为（）ABCD1
3、1（5分）已知函数f（x）Asin（x+）（其中A0，0，0）的图象关于点M（）成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为N（），则对于下列判断：直线x是函数f（x）图象的一条对称轴；点（，0）是函数f（x）的一个对称中心；函数y1与yf（x）（）的图象的所有交点的横坐标之和为7其中正确的判断是（）ABCD12（5分）在ABC中，已知，若|+|2，且B，则的取值范围为（）A2，B1，C0，D1，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知向量（2，4），（1，1），则2 14（5分）生物兴趣小组的同学到课外调查某种植物的生长情况，共测量了30株该植物的高度（单位
4、：厘米），并画出样本频率分布直方图如图，则高度不低于25厘米的有 株15（5分）已知O的方程是x2+y220，O'的方程是x2+y28x+100，由动点P向O和O'所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是 16（5分）正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，AD上的点，若APQ的周长为2，则PCQ 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知，为两个不共线向量，|2，|1，2，（1）若，求实数k；（2）若k7，且，求18（12分）在桂林市某中学高中数学联赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名
5、学生的6次模拟测试成绩（百分制）的茎叶图分数在85分或85分以上的记为优秀（1）根据茎叶图读取出乙学生6次成绩的众数，并求出乙学生的平均成绩以及成绩的中位数；（2）若在甲学生的6次模拟测试成绩中去掉成绩最低的一次，在剩下5次中随机选择2次成绩作为研究对象，求在选出的成绩中至少有一次成绩记为优秀的概率19（12分）已知角，的顶点在O（0，0），点P（1，2cos2），Q（sin2，1）分别在角，的终边上，且1（1）求cos2的值；（2）求cos（+）的值20（12分）已知具有相关关系的两个变量x，y之间的几组数据如表所示：x246810y3671012（1）请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；（
6、2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程x+，并估计当x20时，y的值参考公式：，21（12分）已知函数f（x）4sin2（）sinx+（cosx+sinx）（cosxsinx）1（1）化简f（x）；（2）常数0，若函数yf（x）在区间上是增函数，求的取值范围；（3）若函数g（x）在的最大值为2，求实数a的值22（12分）已知直线l：4x+3y+100，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分ANB？若存在，请求出点N的坐标；
7、若不存在，请说明理由2017-2018学年广西桂林市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）与角终边相同的角是（）AB2k（kZ）C2k+（kZ）D（2k+1）+（kZ）【分析】根据终边相同的角的表示方法，即可得到答案【解答】解：与角终边相同的角2k+（kZ），故选：C【点评】本题主要考查终边相同的角的集合，注意集合的表示方法是解题的关键，属基础题2（5分）圆x2+y2+20的半径是（）AB2C2D4【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得它的半径【解答】解：圆x2+y2+20，即圆
8、（x+）2+y22 的半径为，故选：A【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题3（5分）已知如图所示的矩形，其长为12，宽为5，在矩形内随机地撒1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为（）A31B32C33D34【分析】由已知中矩形的长为12，宽为5，我们易计算出矩形的面积，根据随机模拟实验的概念，我们易得阴影部分的面积与矩形面积的比例约为黄豆落在阴影区域中的频率，由此我们构造关于S阴影的方程，解方程即可求出阴影部分面积【解答】解：矩形的长为12，宽为5，则S矩形60，S阴33，可以估计出阴影部分的面积约为：33故选：C【点评】本题考查的
9、知识点是几何概型与随机模拟实验，利用阴影面积与矩形面积的比例约为黄豆落在阴影区域中的频率，构造关于S阴影的方程，是解答本题的关键4（5分）在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为（）弧度A1B2C3D4【分析】利用面积公式求出弧长，然后求出扇形所对的圆心角【解答】解：扇形的面积为1，所以扇形的弧长为2，所以扇形所对圆心角的弧度是2故选：B【点评】本题是基础题，考查扇形的有关知识，考查计算能力，送分题5（5分）在如图所示空间直角坐标系内，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则棱BB1中点的坐标为（）A（1，1，）B（1，1）C（，1，1）D（）【分析】先求出B（1，1，0），B1（1，1，
10、1），由此能求出棱BB1中点的坐标【解答】解：在如图所示空间直角坐标系内，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，B（1，1，0），B1（1，1，1），则棱BB1中点的坐标为（1，1，）故选：A【点评】本题考查正方体中棱的中点坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题6（5分）若角A，B，C是ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是（）Acos（A+B）cosCBsin（A+B）sinCCcos（+C）sinBDsincos【分析】利用三角形的内角和公式、诱导公式逐一判断各个选项中的式子是否成立，从而得出结论【解答】解：角A，B，C是AB
11、C的三个内角，A+BC，cos（A+B）cos（C）cosC，故排除A；又sin（A+B）sin（C）sinC，故排除B；sinsincos ，故D满足条件；由于+C有可能为钝角，故cos（+C）可能小于零，而sinB0，故C不一定成立；故选：D【点评】本题主要考查三角形的内角和公式、诱导公式的应用，属于基础题7（5分）已知tan2，则sin+cos（）ABCD【分析】由已知可得sin0，cos0，且|sin|cos|，把sin+cos放入根号内化弦为切求解【解答】解：由tan2，得，sin0，cos0，且|sin|cos|，则sin+cos故选：A【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角
12、三角函数基本关系式的应用，是基础题8（5分）执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是（） A8B5C3D2【分析】根据输入的n是4，然后判定k1，满足条件k4，则执行循环体，依此类推，当k4，不满足条件k4，则退出执行循环体，求出此时p的值即可【解答】解：k1，满足条件k4，则执行循环体，p0+11，s1，t1k2，满足条件k4，则执行循环体，p1+12，s1，t2k3，满足条件k4，则执行循环体，p1+23，s2，t3k4，不满足条件k4，则退出执行循环体，此时p3故选：C【点评】根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即
13、要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模9（5分）已知向量与的夹角为120，则（）AB2CD4【分析】根据题意，由向量的坐标可得|1，进而计算可得的值，进而由数量积的计算公式可得（2+）242+4+2，变形即可得答案【解答】解：根据题意，（1，0），则|1，又由|2，且向量与的夹角为120，则21（）1，则有（2+）242+4+24，则2；故选：B【点评】本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式10（5分）函数ysin2xcos2x的图象向右平移（0）个单位后，得到函数yg（x）的图象，若yg（x）为偶函数，则的值为
14、（）ABCD【分析】由条件利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，求得的值【解答】解：函数ysin2xcos2x2（sin2xcos2x）2sin（2x），将函数ysin（2x）的图象向右平移（0）个单位后，得到函数f（x）sin2（x）sin（2x2）的图象，若函数f（x）是偶函数，则2k+，kZ，0，故选：B【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题11（5分）已知函数f（x）Asin（x+）（其中A0，0，0）的图象关于点M（）成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为N（），则对于下列判断：直线
15、x是函数f（x）图象的一条对称轴；点（，0）是函数f（x）的一个对称中心；函数y1与yf（x）（）的图象的所有交点的横坐标之和为7其中正确的判断是（）ABCD【分析】首先根据已知条件确定函数的解析式，进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程，对称中心及各个交点的特点，进一步确定答案【解答】解：函数f（x）Asin（x+）（其中A0，0，0）的图象关于点M（）成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为N（），则：，T，进一步解得：，A3由于函数f（x）Asin（x+）（其中A0，0，0）的图象关于点M（）成中心对称，2+k（kZ），解得：k，由于0，当k1时，f（x）3sin（2x+）当x时，f（）3
16、sin，故不正确；由2x+k，解得：x，当k0时，对称中心为：（，0），故正确；由于：x，则：02x+6，函数f（x）的图象与y1有6个交点根据函数的交点设横坐标为x1、x2、x3、x4、x5、x6，根据函数的图象的所有交点的横坐标之和为7故正确正确的判断是故选：C【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查正弦型函数的解析式的求法，主要确定A，、的值，三角函数诱导公式的变换，及相关性质得应用，属于中档题12（5分）在ABC中，已知，若|+|2，且B，则的取值范围为（）A2，B1，C0，D1，【分析】由B，知cosB，设|a，|+|2，|+|24，a2+a2+2a2cosB4，由此能够求出的取值
17、范围【解答】解：B，知cosB，设|a，|+|2，|+|24，a2+a2+2a2cosB4，a2cosB22，故选：A【点评】本题考查平面向量的综合运用解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知向量（2，4），（1，1），则2（5，7）【分析】利用向量的坐标运算即可得出【解答】解：向量（2，4），（1，1），22（2，4）（1，1）（5，7）故答案为：（5，7）【点评】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题14（5分）生物兴趣小组的同学到课外调查某种植物的生长情况，共测量了30株该植物的高度（单位：厘米），并画出样本频率分
18、布直方图如图，则高度不低于25厘米的有15株【分析】由样本频率分布直方图得到高度不低于25厘米的频率，由此能求出高度不低于25厘米的株数【解答】解：由样本频率分布直方图得到：高度不低于25厘米的频率为：（0.04+0.01）100.5，则高度不低于25厘米的株数为：300.515故答案为：15【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题15（5分）已知O的方程是x2+y220，O'的方程是x2+y28x+100，由动点P向O和O'所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是x【分析】首先由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F
19、0表示出圆心（，），半径；再由勾股定理分别表示出切线长|PA|、|PB|，然后建立方程，整理即可【解答】解：O：圆心O（0，0），半径r；O'：圆心O'（4，0），半径r'设P（x，y），由切线长相等得x2+y22x2+y28x+10，即所以动点P的轨迹方程是【点评】本题考查圆一般方程的圆心、半径的表示及勾股定理，同时考查方程的思想16（5分）正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，AD上的点，若APQ的周长为2，则PCQ【分析】设AQx，APy，利用直角三角形中的边角关系求得tanDCQ、tanBCP的值，再由两角和的正切公式求得tan（DCQ+BCP）的值，得
20、出DCQ+BCP，即可求得PCQ【解答】解：如图所示，设AQx，APy，则DQ1x，PB1y，（0x1，0y1），则tanDCQ1x，tanBCP1y，tan（DCQ+BCP），在RtAPQ中，PQ2AQ2+AP2x2+y2，又PQ2（x+y），（2xy）2x2+y2，即 xy2（x+y）2；把代入可得tan（DCQ+BCP）1，DCQ+BCP，PCQ故答案为：【点评】本题主要考查了直角三角形中的边角关系以及两角和的正切公式应用问题，是基础题三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知，为两个不共线向量，|2，|1，2，（1）若，求实数k；（2）
21、若k7，且，求【分析】（1）由向量平行的条件可知存在实数使得，结合向量的基本定理可求；（2）由，结合向量数量积的性质可求【解答】解：（1），存在实数使得（）因为不共线，（2）k7，又，（2）00又|2，|1，1【点评】本题在主要考查平面向量的基本定理及数量积的性质的综合应用，属于基本公式的简单应用18（12分）在桂林市某中学高中数学联赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩（百分制）的茎叶图分数在85分或85分以上的记为优秀（1）根据茎叶图读取出乙学生6次成绩的众数，并求出乙学生的平均成绩以及成绩的中位数；（2）若在甲学生的6次模拟测试成绩中去掉成绩最低的一次，在剩下5次中随机选
22、择2次成绩作为研究对象，求在选出的成绩中至少有一次成绩记为优秀的概率【分析】（1）由茎叶图求得乙的众数、中位数和平均数；（2）用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值【解答】解：（1）由茎叶图可以得出：乙六次成绩中的众数为94中位数为83；平均成绩为（71+73+82+84+94+94）83；（2）将甲六次中最低分64去掉，得五次成绩分别为78，79，83，88，95从五次成绩中随机选择两次有以下10种情形：（78，79），（78，83），（78，88），（78，95），（79，83），（79，88），（79，95），（83，88），（83，95），（88，95），其中满足选出的成绩中至少有一
23、次成绩记为优秀的有7种；设选出的成绩中至少有一次成绩记为优秀为事件A，则P（A）【点评】本题考查了列举法求古典概型的概率问题，也考查了利用茎叶图求众数、中位数和平均数的应用问题，是基础题19（12分）已知角，的顶点在O（0，0），点P（1，2cos2），Q（sin2，1）分别在角，的终边上，且1（1）求cos2的值；（2）求cos（+）的值【分析】（1）直接利用三角函数关系式的定义和向量的数量积的应用和三角函数关系式的恒变换求出结果（2）利用三角函数的诱导公式的应用求出结果【解答】解：（1）已知角，的顶点在O（0，0），点P（1，2cos2），Q（sin2，1）分别在角，的终边上，13cos2
24、，由于1所以：，则：（2）因为点分别在角和的终边上，所以，故【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，向量的数量积的应用，两角和的诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型20（12分）已知具有相关关系的两个变量x，y之间的几组数据如表所示：x246810y3671012（1）请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程x+，并估计当x20时，y的值参考公式：，【分析】（1）根据表中数据绘制散点图；（2）由题意计算平均数和回归系数，写出回归方程，利用方程计算x20时的值【解答】解：（1）根据表中数据，绘
25、制散点图如图所示；（2）由题意，计算（2+4+6+8+10）6，（3+6+7+10+12）7.6，22+42+62+82+102220，xiyi23+46+67+810+1012272，1.1，7.61.161；y关于x的线性回归方程为1.1x+1，当x20时，1.120+123【点评】本题考查了线性回归方程与散点图的应用问题，是基础题21（12分）已知函数f（x）4sin2（）sinx+（cosx+sinx）（cosxsinx）1（1）化简f（x）；（2）常数0，若函数yf（x）在区间上是增函数，求的取值范围；（3）若函数g（x）在的最大值为2，求实数a的值【分析】（1）使用降次公式和诱导公
26、式化简4sin2（），使用平方差公式和二倍角公式化简（cosx+sinx）（cosxsinx）；（2）求出f（x）的包含0的增区间U，令，U，列出不等式组解出；（3）求出g（x）解析式，判断g（x）的最大值，列方程解出a【解答】解：（1）f（x）21cos（+x）sinx+cos2xsin2x1（2+2sinx）sinx+12sin2x12sinx（2）f（x）2sinx，由x，解得+x+，f（x）的递增区间为+，+，kZf（x）在，上是增函数，当k0时，有，解得，的取值范围是（0，（3）g（x）sin2x+asinxacosxa1，令sinxcosxt，则sin2x1t2，y1t2+ata1
27、（t）2+，tsinxcosxsin（x），x，x，当，即a2时，ymax（）2+a2令a22，解得a（舍）当1，即2a2时，ymax，令，解得a2或a4（舍）当，即a2时，在t1处，由得a6因此，a2或a6【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的单调区间，三角函数的最值，属于中档题22（12分）已知直线l：4x+3y+100，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）设出圆心
28、C坐标，根据直线l与圆C相切，得到圆心到直线l的距离dr，确定出圆心C坐标，即可得出圆C方程；（2）当直线ABx轴，则x轴平分ANB，当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为yk（x1），联立圆与直线方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若x轴平分ANB，则kANkBN，求出t的值，确定出此时N坐标即可【解答】解：（1）设圆心C（a，0）（a），直线l：4x+3y+100，半径为2的圆C与l相切，dr，即 2，解得：a0或a5（舍去），则圆C方程为x2+y24；（2）当直线ABx轴，则x轴必平分ANB，此时N可以为x轴上任一点，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk（x1），（k0），N（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），由得（k2+1）x22k2x+k240，经检验0，x1+x2，若x轴平分ANB，设N为（t，0）则kANkBN，即+0，整理得：2x1x2（t+1）（x1+x2）+2t0，即+2t0，解得：t4，当点N（4，0），能使得ANMBNM总成立【点评】此题考查了直线与圆的方程的应用，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及斜率的计算，熟练掌握定理及公式是解本题的关键
