1、北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（理） 第 1 页 共 16 页 绝密绝密启封启封前前机密机密 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 数数 学学（理）（理） （北京（北京卷卷） （本试卷共（本试卷共 150 分，考试时长分，考试时长 120 分钟）分钟） 一、选择题一、选择题共共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题列出在每小题列出的四个选项中的四个选项中，选出符合题目要求选出符合题目要求 的一项的一项. 1设集合 |02Axx，1 | |Bxx，则集合AB （A）(0,1) （B）(0,1 （C）(1,2) （D）1,
2、2) 2复数z满足(1)2zii，则复数z的实部与虚部之和为 （A）2 （B） 2 （C） 1 （D） 0 3执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 （A） 3 4 （B） 4 5 （C） 5 6 （D）1 4. 设 aR，b 0，则“3ab”是“ 3 logab”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 5. 若变量, x y满足约束条件 1 236 x yx xy ，2zxy的最小值为 （A） 18 5 （B） 10 3 （C）3 （D） 1 6. 在ABC中，已知90BAC，6AB ，若D点在斜边BC上，2CDDB，则 ADAB的值
3、为 （A）48 （B） 24 （C）12 （D）6 i=1，S=0 开始 i=i+1 输出S 结束 否 是 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（理） 第 2 页 共 16 页 7. 若点(2,4)P在直线 1, : 3 xt l yat （t为参数）上，则直线l的斜率为 （A）3 （B）2 （C）1 （D）1 8. 如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为2 3，动点 P 在对角线 1 BD上，过点 P 作垂直于 1 BD的平面，记这样得到的截面多边形 （含三角形）的周长为 y，设BP x，则当1,5x时， 函数( )yf x的值域为 （A）2 6
4、,6 6 （B）2 6,18 （C）3 6,18 （D）3 6,6 6 二二、填空题、填空题共共 6 道小道小题题，每小题每小题 5 分分，共，共 30 分分 9若等差数列 n a满足 1 1 2 a ， 46 5aa，则 2019 a_ 10 已知一个正三棱柱的所有棱长均相等， 其侧 （左） 视图如图所示， 那么此三棱柱正（主）视图的面积为_ 11甲、乙两名大学生从 4 个公司中各选 2 个作为实习单位，则两人 所选的实习单位中恰有 1 个相同的选法种数是_ （用数字作答） 12. 已知双曲线 2 2 1 3 x y ，则该双曲线离心率 e=_，渐近线方程为_ 13. 在ABC中，3a ，2
5、 6b ，2BA cosA 的值为 ； c 的值为_ 14. 已知函数 2 1,0 ( ) log,0 x x f x x x ，若关于x的方程( ( )f f xm恰有两个不同的实数根 12 ,x x， 则 12 xx的取值范围为_. 侧(左)视图 2 A B A1 B1 D C D1 C1 P 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（理） 第 3 页 共 16 页 三三、解答题、解答题共共 6 道道小题，共小题，共 80 分分 15. （本小题 13 分） 已知向量( 3cos ,0)ax，(0,sin )bx，记函数 2 ( )()3sin2f xabx求
6、： () 函数 f(x)的最小值及取得最小值时 x 的集合； () 函数 f(x)的单调递增区间 16. （本小题 14 分） 如图，平面PAD 平面ABCD，PAPD，四边形ABCD 为平行四边形，45ABC，2ABAC，M为线段AD 的中点，点N满足2PNND. （）求证：直线/ /PB平面MNC； （）求证：平面MNC 平面PAD； （）若平面PAB 平面PCD，求直线BP与平面PCD所成角的正弦值. 17.（本小题 13 分） 随着“中华好诗词”节目的播出， 掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大学生 对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了 40 名学生，记录他
7、们每天学习“中华 诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图： 图 1：甲大学 图 2：乙大学 根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级 : 分钟/天分钟/天 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 60504030 0.005 20 频率/组距频率/组距 10O 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 60504030 0.005 20 频率/组距频率/组距 分钟/天分钟/天 10O A D P B C M N 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（理） 第 4
8、页 共 16 页 学习时间 t (分钟/天) 20t 2050t 50t 等级 一般 爱好 痴迷 ()从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率； ()从两组“痴迷”的同学中随机选出 2 人，记为选出的两人中甲大学的人数，求的分 布列和数学期望； ()试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值X甲与X乙的大小，及方差 2 S 甲与 2 S 乙的大小(只需写出结论) 18(本小题 13 分) 已知椭圆 22 22 :1 xy M ab （ab0）的一个顶点坐标为（2，0） ，离心率为 3 2 ，直线 y=x+m 交 椭圆于不同的两点 A，B （）求椭圆 M 的方程；
9、（）设点 C（1，1） ，当ABC 的面积为 1 时，求实数 m 的值 19.（本小题满分 14 分） 已知函数( )ln2f xxx. （）求曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程； （）若函数 ( )yf xax 在区间( , )e上单调递增，求实数a的取值范围； （）设函数 2 ( )g xx x ，其中0x . 证明：( )g x的图象在( )f x图象的下方. 20.（本小题 13 分） 数列 n A：1 2 ,(2) n aaan满足：1 (1,2, ) k akn 记 n A的前k项和为 k S， 并规定 0 0S 定 义集合 * n EkN，|kn kj SS，0,
10、1,1jk （）对数列 5 A：0.3，0.7，0.1，0.9，0.1，求集合 5 E； （）若集合 12 , (1 nm Ek kkm， 12 ) m kkk，证明： 1 1 (1,2,1) ii kk SSim ； （）给定正整数C对所有满足 n SC的数列 n A，求集合 n E的元素个数的最小值 E 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（理） 第 5 页 共 16 页 答 题 纸 班级_ 姓名_ 成绩_ 一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，请将答案填涂在答题卡上 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二、填空题：本大题
11、共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9 10 11 12 13 14 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 （请在指定的区域内答题，超出范围答题无效） 15 （本小题满分 13 分） 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（理） 第 6 页 共 16 页 16 （本小题满分 14 分） A D P B C M N 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（理） 第 7 页 共 16 页 17 （本小题满分 13 分） 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（理） 第 8 页 共 16
12、页 18 （本小题满分 13 分） 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（理） 第 9 页 共 16 页 （请在指定的区域内答题，超出范围答题无效） 19 （本小题满分 14 分） 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（理） 第 10 页 共 16 页 20. （本小题满分 13 分） 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（理） 第 11 页 共 16 页 参考答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B C C B
13、 D D 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9 2019 2 10 2 3 11 24 12 3 2; 3 yx 13 6 3 ；5 14 2,3) 三、解答题 15. （本小题满分 13 分） 解： （1） 2 ( )()3sin2f xabx 2 1 2cos3sin2cos23sin22xxxx 2sin(2)2 6 x 当且仅当 3 22 62 xk ，即 2 () 3 xkkZ 时，f(x)min=0 此时 x 的集合是 2 |, 3 x xkkZ （2）由222() 262 kxkkZ ，所以() 36 kxkkZ ， 所以函数 f(x)的单调递增区间为
14、,() 36 kkkZ 16. （本小题满分 14 分） （）证明：连接BD，交MC于点O，连接NO 在平行四边形ABCD中，因为 1 2 MDBC， 所以 1 2 ODOB， 又因为2PNND，即 1 2 NDPN， 所以/ /ONPB， 又因为ON 平面MNC，PB 平面MNC， 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（理） 第 12 页 共 16 页 所以直线/ /PB平面MNC. （）证明：因为PAPD，M为线段AD的中点， 所以PMAD，又因为平面PAD 平面ABCD于AD，PM 平面PAD 所以PM 平面ABCD 在平行四边形ABCD中，因为45AB
15、C，2ABAC，所以ABAC 如图，以A为原点，分别以,AB AC所在直线为x轴，y轴，建立空间直角坐标系， 则(2,0,0), (0,2,0)BC，( 2,2,0),( 1,1,0)DM 因为PM 平面ABCD 设( 1,1, )Pt(0)t ，则( 1,1, )APt ，( 1, 1,0)CM ，( 2,2,0)AD 所以2200CM AD ，1 1 00CM AP 所以,CMAD CMAP，又因为APADA 所以CM 平面PAD，又因为CM 平面MNC 所以平面MNC 平面PAD. （）解：因为(2,0,0)AB ，( 1,1, )APt 设( , , )x y zm为平面ABP的一个法
16、向量 则 0 0 x xytz 不妨设(0, , 1)tm 因为(2,0,0)DC ，(1, 1, )DPt 设( , , )x y zn为平面DCP的一个法向量 则 0 0 x xytz 不妨设(0, ,1)tn 因为平面PAB 平面PCD，所以mn，所以 2 10t m n以为0t 所以1t 所以( 3,1,1)BP ，(0,1,1)n， 所以 222 sincos, 1111 2 BP n 所以直线BP与平面PCD所成角的正弦值为 22 11 . x y z O CB P D A M N 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（理） 第 13 页 共 16
17、 页 17. （本小题满分 13 分） 解： () 由图知， 甲大学随机选取的 40 名学生中，“爱好” 中华诗词的频率为(0.0300.0200.015) 100.65， 所以从甲大学中随机选出一名学生， “爱好”中华诗词的概率为. 3 分 () 甲大学随机选取的 40 名学生中“痴迷”的学生有人， 乙大学随机选取的 40 名学生中“痴迷”的学生有人， 所以，随机变量的取值为. 所以， ， . 所以的分布列为 0 1 2 P 的数学期望为 . 10 分 () X 甲X乙; 2 s 2 s. 13 分 18.（本小题满分 13 分） 解： （1）由题意得，a=2， 3 ,3 2 c ec a
18、， 222 1bac 所以椭圆 M 的方程为： 2 2 1 4 x y （2）解：设 1122 (,) , (,)A xyB xy， 联立方程 22 1 41 xy yxm ，得 22 58440xmxm， 2 1212 844 , 55 mm xxx x ， 0.65 400.005 102 400.015 106 0,1,2 (0)P 02 26 2 8 C C15 28C (1)P 11 26 2 8 C C123 287C (2)P 20 26 2 8 C C1 28C 15 28 3 7 1 28 15311 ( )012 287282 E 北京四中 20182019 学年度第二学期
19、高三年级考前热身练习数学学科（理） 第 14 页 共 16 页 222 644 5(44)16800mmm ， 2 5m ，即55m 线段 AB 的长度 2 2 1212 280 16 |2 ()4 5 m ABxxx x ， 点 C 到直线 AB 的距离 | 2 m d ， 2 11280 16 |1 2252 ABC mm SAB d 得 10 2 m ，满足55m 综上所述， 10 2 m 19（本小题满分 14 分） （）解解：求导，得 ( )ln1f xx ， 1 分 又因为(1)2f，(1)1 f ， 所以曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程为10xy . 3 分 （
20、）解解：设函数( )( )ln2F xf xaxxxax， 求导，得( )ln1F xxa， 因为函数 ( )( )F xf xax 在区间( , )e上单调递增， 所以 ( )ln1 0F xxa 在区间(e,)上恒成立， 4 分 即ln1ax恒成立. 5 分 又因为函数 ( )ln1h xx 在区间(e, )上单调递减， 所以 ( )(e)2h xh ， 所以2a. 8 分 （）证明证明：设 2 ( )( )( )ln2h xf xg xxxx x ，0x . 9 分 求导，得 2 2 ( )lnh xx x 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（理） 第
21、 15 页 共 16 页 设 2 2 ( )( )lnm xh xx x ，则 3 14 ( )0m x xx （其中0x ）. 所以当(0,)x时，( )m x（即( )h x）为增函数. 10 分 又因为(1)20 h ， 2 2 (e)10 e h ， 所以，存在唯一的 0 (1,e)x ，使得00 2 0 2 ()ln0h xx x 11 分 且 ( )h x 与 ( )h x 在区间(0, ) 上的情况如下： x 0 (0,)x 0 x 0 (,)x ( )h x 0 ( )h x 0 ()h x 所以，函数 ( )h x在 0 (0,)x 上单调递减，在 0 (,)x 上单调递增，
22、 所以 0 ( )()h xh x 12 分 又因为 0 (1,e)x ，00 2 0 2 ()ln0h xx x ， 所以0000 0 2 ()ln2h xxxx x 0 0 4 2x x 4 2e0 e ， 所以( ) 0h x ，即 ( )g x的图象在( )f x图象的下方. 14 分 20. （本小题满分 13 分） 解： （）因为 0 0S ， 1 0.3S ， 2 0.4S ， 3 0.3S ， 4 1.2S ， 5 1.3S ， 所以 5 2,4,5E （）由集合 n E的定义知 1ii kk SS ，且 1i k 是使得 i kk SS成立的最小的 k， 所以 1 1 ii
23、kk SS . 又因为 1 1 i k a ，所以 111 1 iii kkk SSa 1. i k S 所以 1 1 ii kk SS （）因为 0n SS，所以 n E非空 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（理） 第 16 页 共 16 页 设集合 12 , nm Ek kk，不妨设 12m kkk， 则由（）可知 1 1 (1,2,1) ii kk SSim ， 同理 1 0 1 k SS，且 m nk SS 所以 1211 0 ()()()() mmm nnkkkkkk SSSSSSSSS 1 0 1 11 1 m m 个 因为 n SC，所以 n E的元素个数 1mC 取常数数列 n A： 1 (1,2,1) 2 i C aiC C ，并令1nC， 则 22 (1)21 22 n CCC SC CC ，适合题意， 且 1,2,1 n EC，其元素个数恰为1C 综上， n E的元素个数的最小值为1C
