1、北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（文） 第 1 页 共 15 页 绝密绝密启封启封前前机密机密 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 数数 学学（文文） （北京（北京卷卷） （本试卷共（本试卷共 150 分，考试时长分，考试时长 120 分钟）分钟） 一、选择题一、选择题共共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题列出在每小题列出的四个选项中的四个选项中，选出符合题目要求选出符合题目要求 的一项的一项. 1设集合 |02Axx，1 | |Bxx，则集合AB （A）(0,1) （B）(0,1 （C）(1,2) （D）1,2)
2、 2复数z满足(1)2zii，则复数z的实部与虚部之和为 （A）2 （B） 2 （C） 1 （D） 0 3执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 （A） 3 4 （B） 4 5 （C） 5 6 （D）1 4. 设 aR，b 0，则“3ab”是“ 3 logab”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 5. 若变量, x y满足约束条件 1 236 x yx xy ，2zxy的最小值为 （A） 18 5 （B） 10 3 （C）3 （D） 1 6. 若曲线 22 1axby为焦点在x轴上的椭圆，则实数a,b满足 （A） 22 ab （B）
3、 11 ab （C）0ab （D）0ba i=1，S=0 开始 i=i+1 输出S 结束 否 是 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（文） 第 2 页 共 15 页 7. 在ABC中，已知90BAC，6AB ，若D点在斜边BC上，2CDDB，则 ADAB的值为 （A）48 （B） 24 （C）12 （D）6 8. 若( )f x是定义域为 R 的奇 函数 ，且(2)( )f xf x ，则下列表述错误错误 的是 （A） ( )f x的值域为 R （B） ( )f x为周期函数，且 4 为其一个周期 （C）( )f x的图像关于 x 1 对称 （D）函数 (1
4、)yf x的图像与函数(1)yfx的图像关于 y 轴对称 二二、填空题、填空题共共 6 道小道小题题，每小题每小题 5 分分，共，共 30 分分 9. 设 1 2 0.82a ，sin1b ，ln3c ，则 , ,a b c三数的大小顺序是_ 10. 已知双曲线 2 2 1 3 x y ，则该双曲线离心率 e=_，渐近线方程为_ 11已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图为如图所 示的正三角形，那么此三棱柱正（主）视图的面积为_ 12写出一个满足“(0,)x ，(1)( )f xf x均成立，( )f x在 (0,)上不是增函数”的具体函数_ 13. 在ABC中，3a ，2 6b ，
5、2BA cosA 的值为 ； c 的值为_ 14. 已知函数1)( axxf与xaxg) 1()(的图像没有 交点，那么实数a的取值范围是_ 侧(左)视图 2 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（文） 第 3 页 共 15 页 三三、解答题、解答题共共 6 道道小题，共小题，共 80 分分 15. （本小题 13 分） 已知向量( 3cos ,0)ax，(0,sin )bx，记函数 2 ( )()3sin2f xabx求： () 函数 f(x)的最小值及取得最小值时 x 的集合； () 函数 f(x)的单调递增区间 16. （本小题 13 分） 设an是等差
6、数列，其前 n 项和为 Sn(nN*)；bn是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和 为 Tn(nN*)已知 b11，b3b22，b4a3a5，b5a42a6. ()求 Sn和 Tn； ()若 Sn(T1T2Tn)an4bn，求正整数 n 的值 17.（本小题 13 分） 某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销， 准备为员工办理手机流量套餐为了解员工 手机流量使用情况，通过抽样，得到100位员 工每人手机月平均使用流量L(单位:M)的数 据，其频率分布直方图如图 （）求a的值； （）从该企业的100位员工中随机抽取1人，求手机月平均使用流量不超过900M的概率； （）据了解，某网络运营商推出两款
7、流量套餐，详情如下： 套餐名称 月套餐费(单位:元) 月套餐流量(单位:M) A 20 700 B 30 1000 流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要 购买流量叠加包， 每一个叠加包(包含200M的流量)需要10元， 可以多次购买， 如果当月流量有 剩余，将会被清零 该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月 费用若以平均费用为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？ 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（文） 第 4 页 共 15 页 18. （本小题 14 分） 如图，在三棱锥 P
8、ABC 中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D 为线段 AC 的 中点，E 为线段 PC 上一点 （）求证：PABD； （）求证：平面 BDE平面 PAC； （）当 PA平面 BDE 时，求三棱锥 EBCD 的体积 19(本小题 13 分) 已知椭圆 22 22 :1 xy M ab （ab0）的一个顶点坐标为（2，0） ，离心率为 3 2 ，直线 y=x+m 交椭圆于不同的两点 A，B （）求椭圆 M 的方程； （）设点 C（1，1） ，当ABC 的面积为 1 时，求实数 m 的值 20.（本小题满分 14 分） 已知函数( )ln2f xxx. （）求曲线( )yf x
9、在点(1, (1)f处的切线方程； （）若函数 ( )yf xax 在区间( , )e上单调递增，求实数a的取值范围； （）设函数 2 ( )g xx x ，其中0x . 证明：( )g x的图象在( )f x图象的下方. 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（文） 第 5 页 共 15 页 答 题 纸 班级_ 姓名_ 成绩_ 一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，请将答案填涂在答题卡上 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9 10 11 12 13 14 三、解答
10、题：本大题共 6 小题，共 80 分 （请在指定的区域内答题，超出范围答题无效） 15 （本小题满分 13 分） 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（文） 第 6 页 共 15 页 16 （本小题满分 14 分） 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（文） 第 7 页 共 15 页 （请在指定的区域内答题，超出范围答题无效） 17 （本小题满分 13 分） 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（文） 第 8 页 共 15 页 18 （本小题满分 13 分） 北京四中 20182019 学年度
11、第二学期高三年级考前热身练习数学学科（文） 第 9 页 共 15 页 （请在指定的区域内答题，超出范围答题无效） 19. （本小题满分 13 分） 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（文） 第 10 页 共 15 页 20 （本小题满分 14 分） 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（文） 第 11 页 共 15 页 参考答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B C C C B A T8:提示，(2)( )f xf x，是一个恒等式，等式两边
12、的 x 同时取 x+2，可得 (4)(2)( )f xf xf x；由奇函数，等式可变为(2)()f xfx，再在两边 x 同取 x-1，既 得(1)(1)fxfx； 选项 4D 中涉及了两个新函数， 分别由 f （x） 变换可得， 令(1)( )f xg x， 可得()(1)gxfx，( ), ()g x gx关于 y 轴对称 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9 bac 10 3 2; 3 yx 11 2 3 12 2 1 () 2 yx，不唯一 13 6 3 ；5 14 1 ( ,1) 2 T14 提示：数形结合画图 三、解答题 15. （本小题满分 13 分
13、） 解： （） 2 ( )()3sin2f xabx 2 1 2cos3sin2cos23sin22xxxx 2sin(2)2 6 x 当且仅当 3 22 62 xk ，即 2 () 3 xkkZ 时，f(x)min=0 此时 x 的集合是 2 |, 3 x xkkZ 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（文） 第 12 页 共 15 页 （）由222() 262 kxkkZ ，所以() 36 kxkkZ ， 所以函数 f(x)的单调递增区间为,() 36 kkkZ 16.（本小题满分 14 分） 解：()设等比数列bn的公比为 q.由 b11，b3b22，可
14、得 q2q20. 因为 q0，所以 q2，故 bn2n 1，Tn12 n 12 2n1.(4 分) 设等差数列an的公差为 d，由 b4a3a5，可得 a13d4； 由 b5a42a6，可得 3a113d16，从而 a11，d1，故 ann，所以 Snn（n1） 2 .(7 分) ()由()，知 T1T2Tn(21222n)n2（12 n） 12 n2n 1n2.(10 分) 由 Sn(T1T2Tn)an4bn，可得n（n1） 2 2n 1n2n2n1， 整理得 n23n40，解得 n1(舍去)或 n4. 所以正整数 n 的值为 4.(14 分) 17. （本小题满分 13 分） 解： （）由
15、题意(0.00020.00080.00250.00350.0008) 10010.0022 aa. （） 100 位员工每人手机月平均使用流量不超过 900M 的概率为1 (0.00020.0008) 1000.9 -6 分 （）若该企业选择A套餐，则100位员工每人所需费用可能为20元，30元，40元，每月 使用流量的平均费用为20 (0.080.22)30 (0.250.35)40 (0.080.02)28 若该企业选择B套餐，则100位员工每人所需费用可能为30元，40元，每月使用流量的平均费用 为30 (0.080.220.250.350.08)40 0.0230.2 所以该企业订购
16、A 套餐更经济. -13 分 18. （本小题满分 13 分） 解： （I）因为PAAB，PABC，所以PA平面ABC， 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（文） 第 13 页 共 15 页 又因为BD平面ABC，所以PABD. （II）因为ABBC，D为AC中点，所以BDAC， 由（I）知，PABD，所以BD 平面PAC. 所以平面BDE 平面PAC. （III）因为PA平面BDE，平面PAC平面BDEDE， 所以PADE. 因为D为AC的中点，所以 1 1 2 DEPA，2BDDC. 由（I）知，PA平面ABC，所以DE 平面PAC. 所以三棱锥EBCD
17、的体积 11 63 VBD DC DE. 19.（本小题满分 13 分） 解： （1）由题意得，a=2， 3 ,3 2 c ec a ， 222 1bac 所以椭圆 M 的方程为： 2 2 1 4 x y （2）解：设 1122 (,) , (,)A xyB xy， 联立方程 22 1 41 xy yxm ，得 22 58440xmxm， 2 1212 844 , 55 mm xxx x ， 222 644 5(44)16800mmm ， 2 5m ，即55m 线段 AB 的长度 2 2 1212 280 16 |2 ()4 5 m ABxxx x ， 点 C 到直线 AB 的距离 | 2 m
18、 d ， 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（文） 第 14 页 共 15 页 2 11280 16 |1 2252 ABC mm SAB d 得 10 2 m ，满足55m 综上所述， 10 2 m 20.（本小题满分 14 分） （）解解：求导，得 ( )ln1f xx， 1 分 又因为(1)2f，(1)1 f ， 所以曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程为10xy . 3 分 （）解解：设函数( )( )ln2F xf xaxxxax， 求导，得( )ln1F xxa， 因为函数 ( )( )F xf xax 在区间( , )e上单调递增
19、， 所以 ( )ln1 0F xxa 在区间(e,)上恒成立， 4 分 即ln1ax恒成立. 5 分 又因为函数 ( )ln1h xx 在区间(e, )上单调递减， 所以 ( )(e)2h xh ， 所以2a. 8 分 （）证明证明：设 2 ( )( )( )ln2h xf xg xxxx x ，0x . 9 分 求导，得 2 2 ( )lnh xx x 设 2 2 ( )( )lnm xh xx x ，则 3 14 ( )0m x xx （其中0x ）. 所以当(0,)x时，( )m x（即( )h x）为增函数. 10 分 又因为(1)20 h ， 2 2 (e)10 e h ， 所以，存
20、在唯一的 0 (1,e)x ，使得00 2 0 2 ()ln0h xx x 11 分 北京四中 20182019 学年度第二学期高三年级考前热身练习数学学科（文） 第 15 页 共 15 页 且 ( )h x 与 ( )h x 在区间(0, ) 上的情况如下： x 0 (0,)x 0 x 0 (,)x ( )h x 0 ( )h x 0 ()h x 所以，函数 ( )h x在 0 (0,)x 上单调递减，在 0 (,)x 上单调递增， 所以 0 ( )()h xh x 12 分 又因为 0 (1,e)x ，00 2 0 2 ()ln0h xx x ， 所以0000 0 2 ()ln2h xxxx x 0 0 4 2x x 4 2e0 e ， 所以( ) 0h x ，即 ( )g x的图象在( )f x图象的下方. 14 分
