1、 - 1 - 福建师大附中福建师大附中 2012019 9- -20202020 学年上学年上学期期学期期中中考试考试 高高三数学试卷（文科）三数学试卷（文科） 试卷说明：试卷说明： （1 1）本卷共）本卷共三三大题，大题，2 22 2 小题，解答小题，解答写在写在答卷答卷的指定位置的指定位置上，考试结束后，只交答卷。上，考试结束后，只交答卷。 （2 2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。 第第卷（选择题，共卷（选择题，共 6060 分）分） 一、选择题一、选择题：每小题每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在在每
2、小题每小题给出的给出的四个选项四个选项中中，只有一个选项是符合题目要求的只有一个选项是符合题目要求的 1.1.已知集合已知集合 2 0 ,21 x Ax xxBx, ,则则 A.A. 0ABx x B BA BR C C1ABx x D DA B 2.2.设向量设向量 = =（1 1，- -2 2），）， = =（0 0，1 1），向量），向量+ + 与向量与向量 +3+3 垂直，则实数垂直，则实数 = = A. A. B. 1B. 1 C. C. D. D. 3 3是“直线是“直线和直线和直线垂直”的垂直”的 A A 充分不必要条件充分不必要条件 B B 必要不充分条件必要不充分条件 C C
3、 充要条件充要条件 D D 既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 4 4已知等差数列已知等差数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，若，若 32 6SS，则，则 5 S = A A15 B.B.30 C C40 D D60 5 5设设, l m是两条不同的直线，是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是是一个平面，以下命题正确的是 A A若若l，m，则，则lm B B若若l，ml，则，则m C C若若l，ml，则，则m D.D.若若l，m，则，则lm 6 6已知函数已知函数 3sincos0f xxx的最小正周期为的最小正周期为，将，将 fx的图象向右平移的图象向右平移 6 个个
4、单位长度得到函数单位长度得到函数 g x的图象，有下列四个结论：的图象，有下列四个结论： 1 p： g x在在 (,) 6 3 单调递增；单调递增； 2 p： g x为奇函数；为奇函数； 3 p： yg x的图象关于直线的图象关于直线 5 6 x 对称；对称； 4 p： g x在在 0, 2 的值域为的值域为 1,1 其中正确的结论是其中正确的结论是 A.A. 13 ,p p B B 14 ,p p C C 23 ,pp D D 34 ,pp 7.7.已知曲线已知曲线 22 1: 430cxyy 与与y y轴交于轴交于A A，B B两点，两点，P P为为 2: 10cxy 上任意一点，上任意一
5、点， - 2 - 则则| |PAPA|+|+|PBPB| |的最小值为的最小值为 A.2A.2 B.B. C. C. D. 4D. 4 8 8 已知直线 已知直线与直线与直线互相平行且距离为互相平行且距离为. .等差数列等差数列的公差为的公差为 ， 且， 且 ，令，令，则，则的值为的值为 A A 36 36 B B 44 C44 C 52 D52 D 6060 9 9函数函数 e 2 x fx x 的部分图象大致为的部分图象大致为 1 1 Ox y 1 1 y xO 1 1 y xO 1 1 y xO A.A. B. C. D.B. C. D. 10.10.已知函数已知函数 2sin 4 fx
6、wx 在区间在区间0, 8 上单调递增，则上单调递增，则w的最大值为的最大值为 A.A. B. 1B. 1 C. 2C. 2 D. 4D. 4 11.11.玉琮是古人祭祀的礼器如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆玉琮是古人祭祀的礼器如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆 外方，前后对穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想外方，前后对穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想该玉琮的三该玉琮的三 视图及尺寸数据（单位：视图及尺寸数据（单位：cm）如图所示根据三视图可得该玉琮的体积（单位：）如图所示根据三
7、视图可得该玉琮的体积（单位： 3 cm）为 ）为 A. A. 256 14 B B256 16 C C25629 D D25622 1212定义在定义在R上的奇函数上的奇函数( )f x满足满足(2)()f xfx，且当，且当0,1x时，时，( )2cos x f xx，则下列结则下列结 论正确的是论正确的是 - 3 - A A 20202019 ()()(2018) 32 fff B B 20202019 (2018)()() 32 fff C.C. 20192020 (2018)()() 23 fff D D 20192020 ()()(2018) 23 fff 卷（非选择题，共卷（非选择
8、题，共 9090 分）分） 二二、填空题：每小题填空题：每小题 5 5 分分, ,共共 2020 分分. . 1 13 3若若 x x，y y 满足约束条件满足约束条件，则，则 z=xz=x+ +2y2y 的最小值为的最小值为 1414若直线若直线1yx与函数与函数( )lnf xaxx的图像相切的图像相切，则则a的值为的值为 1 15 5. . 已 知 函 数已 知 函 数 211 3sin 2122 x f xx x ， 则， 则 122018 201920192019 fff 的 值的 值 为为 1 16 6. . 已知三棱锥已知三棱锥ABCD的所有顶点都在球的所有顶点都在球O的球面上，
9、的球面上，AD平面平面ABC，90BAC，2AD， 若若球球O 的表面积为的表面积为29，则三棱锥，则三棱锥ABCD的侧面积的最大值为的侧面积的最大值为 三三、解答题解答题: :共共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 1 17.7. （本题满分（本题满分 1 10 0 分）分） 数列数列 n a满足：满足：nn n aaa n 2 21 132 ， * Nn. . （）求）求 n a的通项公式；的通项公式； （）设）设 n n a b 1 ，数列，数列 n b的前的前n项和为项和为 n S，求满足，
10、求满足 20 9 n S的最小正整数的最小正整数n. . 1818 （本题满分 （本题满分 1 12 2 分）分） 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中中, ,曲线曲线C的参数方程为的参数方程为 2 3cos 2sin x y , ,其中其中a为参数为参数, ,在以坐标原点在以坐标原点O为极为极 - 4 - 点点, ,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中轴的正半轴为极轴的极坐标系中, ,点点P的极坐标为的极坐标为2 2, 4 , ,直线直线l的极坐标方程为的极坐标方程为 sin4 20 4 . . （）求直线求直线l的直角坐标方程与曲线的直角坐标方程与曲线C的普通方程的普通方程; ; （）若若Q
11、是曲线是曲线C上的动点上的动点, ,M为线段为线段PQ的中点，求点的中点，求点M到直线到直线l的距离的最大值的距离的最大值. . 1919 （本题满分 （本题满分 1 12 2 分）分） 已知函数已知函数35)(xxxf. . （）解关于解关于x的不等式的不等式1)( xxf； （）记函数记函数)(xf的最大值为的最大值为m，若，若 42 0,0, abab m abeee ，求，求ab的最小值的最小值. . 2 20 0 （本题满分本题满分 1212 分）分） 在如图所示的多面体中，面在如图所示的多面体中，面 ABCDABCD 是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形 BDEFBDEF 是矩
12、形。是矩形。 （）求证：求证：/ /AE平面平面BFC； （）若若 0 ,1,2,60ADDE ADDEABBDA， 求三棱锥求三棱锥FAEC的体积。的体积。 2 21 1. . （本题满分（本题满分 1 12 2 分）分） ABC的内角的内角, ,A B C的对边分别为的对边分别为, ,a b c，已知，已知sinsin 2 AC abA - 5 - （）求求B； （）若若ABC为锐角三角形，且为锐角三角形，且1c ，求，求ABC面积的取值范围面积的取值范围 2 22 2 （本题满分（本题满分 1 12 2 分）分） 已知函数已知函数 2 ( )e 2 x a f xxxax （）讨论讨论(
13、 )f x的单调性；的单调性； （）当）当1x 时，时， 2 10 2 a f xxa ，求，求a的取值范围的取值范围 - 6 - 福建师大附中福建师大附中 20201919- -20202020 学年第学年第一一学期学期期中期中考试卷考试卷 高高三三数学数学（文科）参考答案（文科）参考答案 1-12 DBABD ABCCC DC 132 2 ; 14.2 2; 15. 30273027 ; 16. 25 5 2+ 4 ； 1818. . 解： （1）直线l的极坐标方程为sin4 20 4 ，即sincos80rqrq-+ =. 由cosxrq=，sinyrq=，可得直线l的直角坐标方程为80
14、xy-=. 将曲线C的参数方程 2 3 2 xcos ysin 消去参数a，得曲线C的普通方程为 22 1 124 xy += （2）设 () 2 3cos ,2Qsinaa，0 2，.点P的极坐标2 2, 4 化为直角坐标为( ) 2,2. 则 () 3cos1,sin1Maa+.点M到直线l的距离 3cossin8 2 d aa- = 2sin8 3 2 5 2 . 当sin1 3 ，即 5 6 p a = 时，等号成立.点M到直线l的距离的最大值为5 2 - 7 - 1919. .解： （解： （1 1）当）当3x时，由时，由135xxx，得，得7x，所以，所以3x；当；当35x 时，时
15、，由由 135xxx，得，得 3 1 x，所以，所以 1 3 3 x ；当；当5x时，由时，由135xxx，得，得9x，无解，无解. . 综上可知，综上可知， 3 1 x，即不等式，即不等式1)( xxf的解集为的解集为 3 1 ,. . （2 2）因为）因为83535xxxx，当，当530xx即3x 时取等，所以函数所以函数)(xf的最大的最大 值值8m. .因为因为 824 abba eee，所以，所以8-24abba. .又又0,0ab，所以，所以ababba4424， 当且仅当当且仅当 4 428 ab abab 即 22 5 15 2 a b 时取等，所以所以0482abab，即，即
16、024abab. . 所以有所以有. .51- 2 ab. .又又0ab ， 所以， 所以舍去）或(5-151abab，526ab， 即， 即ab的的 最小值为最小值为526. . 20.解： - 8 - - 9 - - 10 - 21.解：(1)根据题意sinsin 2 AC abA ，由正弦定理得sinsinsinsin 2 AC ABA ，因为0A， 故sin0A，消去sinA得sinsin 2 AC B 。因为0 B，0 2 AC ，故 2 AC B 或者 2 AC B ，而根据题意ABC，故 2 AC B 不成立，所以 2 AC B ，又因为 ABC，代入得3B ，所以 3 B .
17、(2)因为ABC是锐角三角形，由（1）知 3 B ，ABC得到 2 3 AC， 故 0 2 2 0 32 C C ，解得 62 C .又应用正弦定理 sinsin ac AC ，1c ， 由三角形面积公式有： 22 2 sin() 111sin3 3 sinsinsin 222sin4sin ABC C aA SacBcBcB cCC 22 sincoscossin 33212313 33 (sincos) 4sin43 tan38 tan8 CC CCC . 又因 3 ,tan 623 CC ,故 33133 88 tan82C ，故 33 82 ABC S. 故 ABC S取值范围是 33
18、 (,) 82 - 11 - 22. 解法一： （1）( )ee xx fxxaxa(e)(1) x a x . 1 分 当0a 时， x , 1 1 1, ( )fx 0 ( )f x 极小值 所以( )f x在, 1 上单调递减，在1, 上单调递增 . 2 分 当0a 时，( )0fx的根为lnxa或1x 若ln1a ，即 1 e a ， x , 1 1 1,lna lna ln , a ( )fx 0 0 ( )f x 极大值 极小值 所以( )f x在, 1 ，ln , a 上单调递增，在1,lna上单调递减 3 分 若ln1a ，即 1 e a ， ( )0fx在, 上恒成立，所以(
19、 )f x在, 上单调递增，无减区间 4 分 若ln1a ，即 1 0 e a， x ,lna lna ln , 1a 1 1, ( )fx 0 0 ( )f x 极大值 极小值 所以( )f x在,lna， 1, 上单调递增，在ln , 1a 上单调递减 . 5 分 综上： 当0a 时，( )f x在, 1 上单调递减，在1, 上单调递增； 当 1 0 e a时，( )f x在,lna，1, 上单调递增，在ln , 1a 上单调递减； 当 1 e a 时，( )f x在, 上单调递增，无减区间； 当 1 e a 时，( )f x在, 1 ，ln , a 上单调递增，在1,lna上单调递减 6
20、 分 （2）因为e10 x xaxa ，所以(1)e1 x a xx - 12 - 当1x 时， 1 01 e 恒成立 7 分 当1x 时， e1 1 x x a x . 8 分 令 e1 ( ) 1 x x g x x ， 2 2 e (1) 1 ( ) (1) x xx g x x ， 9 分 设 2 ( )e (1) 1 x h xxx， 因为( )e (1)(2)0 x h xxx在1,x 上恒成立， 即 2 ( )e (1) 1 x h xxx在1,x 上单调递增 10 分 又因为(0)0h，所以 e1 ( ) 1 x x g x x 在1,0上单调递减，在0,上单调递增， 则 mi
21、n ( )(0)1g xg，所以1a . 11 分 综上，a的取值范围为,1 . 12 分 解法二： （1）同解法一； （2）令 2 g( )1 2 a xf xxae1 x xaxa， 所以( )eee (1) xxx g xxaxa， 当0a 时，( )0g x，则( )g x在1, 上单调递增， 所以 1 ( )( 1)10 e g xg ，满足题意 . 7 分 当01a时， 令( )ee xx h xxa， 因为( )2ee0 xx h xx，即( )ee xx h xxa在1, 上单调递增 又因为( 1)0ha ，(0)10ha ， 所以( )ee0 xx h xxa在1,0上有唯一的解，记为 0 x， 8 分 x 0 1,x 0 x 0, x ( )g x 0 ( )g x 极小值 0 min000 ( )()e1 x g xg xxaxa 00000 0000 e(ee )(ee ) 1 xxxxx xxxx 0 2 0 13 e()1 24 x x 0 e10 x ，满足题意 10 分 - 13 - 当1a 时，(0)10ga ，不满足题意 11 分 综上，a的取值范围为,1 12 分
