1、 - 1 - 永春一中高三年（上）期初考永春一中高三年（上）期初考 数学数学( (文文) )科试卷科试卷（2019.082019.08） 考试时间：120120 分钟 试卷总分：150150 分 本试卷分第本试卷分第 I I 卷和第卷和第 IIII 卷两部分卷两部分 第第 I I 卷（选择题，共卷（选择题，共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求，每小题选出答案后，要求，每小题选出答案后，请把答案填写在
2、答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上 。 1若 11 0 ba ，则下列不等式错误 的是（ ） A. 11 aba B.ab C.|ab D. 22 ab 2若复数1 22zii的模是（ ） A. 25 B. 5 C. 5 D. 前三个答案都不对 3 用反证法证明命题“Nba,，ab可被 5 整除，则ba,中至少有一个能被 5 整除”时，假设的内容应 为 Aba,都能被 5 整除 Bba,都不能被 5 整除 Cba,至多有一个不能被 5 整除 Dba,至多有一个能被 5 整除 4 “ 1 cos2 2 ”是“ 6 ”的（ ） A 充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C 充分必要条件
3、 D既不充分也不必要条件 5 已知 m,n 是两条不同的直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若， 则 D. 若，则 6有 n 位学生的某班都参加了某次高三复习检测，第 i 个学生的某科成绩记为 i x（i=1,2,3，n） ， 定义 i p=（不超过成绩 i x的该科该班人数）n 为第 i 个学生的该科成绩的百分位。现对该班的甲、乙两同 学的该次检测成绩作对比分析， 若甲、 乙两同学的各科成绩的百分位如图所示，则以下分析不正确不正确的是( ) A.甲同学的语文、数学、英语、综合总分高于乙同学 B.甲同学的语文、数学、英语成绩都好于乙同学 C.甲同学
4、的各科成绩都居该班的上等水平 D.乙同学的语文分数不一定比数学分数高 7已知函数( )3sincos(0)f xxx ，( )yf x的 图像与直线2y 的两个相邻交点的距离等于，则( )f x的单调递增区间是（ ） - 2 - P Q M N A B C D A 5 , 1212 kkkZ B 511 , 1212 kkkZ C , 36 kkkZ D 2 , 63 kkkZ 8在正四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 AA=2AB， E为 1 AA中点，则异面直线BE与 1 CD所形成角的正正 切值切值为( ) A3 B 1 3 C 3 10 10 D 10 10 9如图，在四面体
5、ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误 的为（ ） A. AC BD B. AC截面PQMN C. AC BD D. 异面直线PM与BD所成的角为45 10要得到函数ysin（2x+ 9 ）的图象， 只需将函数ycos（2x 9 ）的图象上所有点（ ） A向右平移 18 5 个单位长度 B向左平移 18 5 个单位长度 C向右平移 36 5 个单位长度 D向左平移 36 5 个单位长度 11若函数( )sin23cos2f xxx在0, t上的值域为3,2，则t的取值范围为（ ） A 5 , 36 B, 3 C. 55 , 126 D 5 , 12 12 偶函数 fx定义域为
6、, 2 2 ，其导函数是 fx当0 2 x时，有 cossin0fxxfxx ，则关于x的不等式 2cos 4 fxfx 的解集( ) A(,) 4 4 B(, 4 3 ) C.(, 4 ) D前三个答案都不对 二、填空题二、填空题 ：本大题共：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分，分，请把答案填在答题卡的横线上请把答案填在答题卡的横线上 。 13计算 16cos 74cos346sin2 ; 14下列正确命题 的个数为 ; （1）复数21i虚部是 2； （2）复数21i的共轭复数为21i； （3）若 2 0zCz，则； （4）若 121212 ,z
7、zCzzz z，且,则为实数. - 3 - 15某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设。 已知仓库每月占用费 y1与仓库到车站的距离成反比， 而每月车载货物的运费 y2与仓库到车站的距离成正 比。据测算，如果在距离车站 10 千米处建仓库，这两项费用 y1，y2分别是 2 万元和 8 万元，那么要使这 两项费用之和最小，仓库应建在离车站 千米处 16在三棱锥 PABC 中，ABC 与PBC 都是等边三角形，侧面 PBC底面 ABC，AB=2， 则该三棱锥的外接球的表面积为 第第 IIII 卷（非卷（非选择题，共选择题，共 9090 分分） 三、
8、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 请在答题卡各自题目的答题区域内作答请在答题卡各自题目的答题区域内作答 。 1717( (本本小小题满分题满分 1 12 2 分分) ) 某市随机抽取一年（365 天）内 100 天的空气质量指数API的检测数据，结果统计如下： API 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 天数 4 13 18 30 9 11 15 记某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元） ，空气质量指数API为x在区间0,
9、100对企业 没有造成经济损失；在区间(100,300对企业造成经济损失成直线模型（当API为 150 时造成的经济损失 为 500 元，当API为 200 时，造成的经济损失为 700 元） ；当API大于 300 时造成的经济损失为 2000 元 （）求( )S x的表达式； （）若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季，其中有 8 天为重度污染，其它非供暖季有 7 天为重 度污染，完成下面2 2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 100 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd a
10、c bd 附： 2 0 ()P kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 - 4 - 1818 （本题满分（本题满分 1212 分）分） 已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边， a c a b A B2 cos cos . （1）求角A的大小； （2）若2a，ABC的面积为3，求边b，c. 19 （本题满分 （本题满分 12 分）分） 如图，直四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 / /,1 2 ABCD ADAB ABADCD. 点 P 为线段 11 C D的中点. （I）求证：AP
11、/平面 1 BDC； （II）求证：平面 1 BCC 平面 1 BDC. - 5 - 2 20 0( (本题满分本题满分 1 12 2 分分) ) 已知椭圆M：1 3 2 2 2 y a x (0a)的一个焦点为)0 , 1(F，左右顶点分别为BA,，经过点F的直线 l与椭圆M交于DC,两点. （）求椭圆M的方程； （）记ABD与ABC的面积分别为 1 S和 2 S，求| 21 SS 的最大值. 2 21 1( (本小题满分本小题满分 1212 分）分） 已知函数( )cossin ,0, 2 f xxxx x ， （1）求函数( )f x的最大值； （2）若 sin x ab x 在(0,)
12、 2 上恒成立，求实数a的最大值与实数b的最小值. 请考生在请考生在 2223 题中任选一题作答题中任选一题作答, 如果多做如果多做, 则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分。 22 （本小题满分（本小题满分 10 分）分）选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为02 22 yxx，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立 极坐标系，直线l的极坐标方程为）（R 4 . （I）写出C的极坐标方程，并求l与C的交点NM,的极坐标； （II）设P是椭圆1 3 2 2 y x 上的动点，求PMN面积的最大值. - 6 - 23( (本本小小题满分题满分 1 10 0 分分)
13、 )选修 45：不等式选讲 已知函数 32f xaxx () 若2a ，解不等式( )3f x ； （）若存在实数x，使得不等式( )12|2|f xax 成立，求实数a的取值范围 - 7 - 永春一中高三年上学期期初月考数学永春一中高三年上学期期初月考数学( (文文) )科试卷科试卷（2019.082019.08） 参考答案参考答案 一、选择题： （每题一、选择题： （每题 5 5 分，满分分，满分 6060 分）分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A B B B B B B D D A A C C B B C C C C C C A A 二、填空题：
14、 （每题二、填空题： （每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分）分） 13. 1； 142； 155； 1620. 三、解答题：三、解答题： 1717( (本本小小题满分题满分 1 12 2 分分) ) 解： （） （1）由题意得，当时，； 当时，可设，且有，解得，所以； 当时，综上所述可得， 0,0,100 4100,100,300 2000,300, x S xxx x （6 分） （）根据题意，2 2列联表为： 因为 2 2 100(22 78 63) 4.5753.841 30 70 85 15 K ， 所以可以判断有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关。 （12 分）
15、 1 18 8. . ( (本本小小题满分题满分 1 12 2 分分) ) (1)由 a c a b A B2 cos cos 及正弦定理得 A C A B A B sin sin2 sin sin cos cos ， 整理得，ACBABAcossin2sincoscossin, ACBAcossin2)sin( 因为CCBAsin)sin()sin(，且0sinC， 所以, 2 1 cosA, 又 A0，所以， 3 A. -6 分 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计 85 15 100 - 8 - (2)因为ABC的面积3 3 sin 2 1
16、sin 2 1 bcAbcS，所以，4bc 由余弦定理得，Abccbacos2 222 ， 3 cos22 222 bccb, 所以，8 22 cb 联立解得，2 cb. -12 分 19 （本 （本小小题满分题满分 12 分）分） 2 20 0( (本本小小题满分题满分 1 12 2 分分) ) （） 点)0 , 1(F为椭圆的一个焦点，1c，又3 2 b， 4 222 cba， 椭圆方程为1 34 22 yx 。 （4 分） （）当直线l斜率不存在时，直线方程为1x， 此时) 2 3 , 1(D，) 2 3 , 1(C，ABD与ABC的面积相等，所以0| 21 SS。 当直线l斜率存在时，
17、设直线方程为) 1( xky(0k)， 设),( 11 yxC，),( 22 yxD显然 21, y y异号. 由 ) 1( 1 34 22 xky yx ，得01248)43( 2222 kxkxk，显然0，方程有实根， - 9 - 且 2 2 21 43 8 k k xx ， 2 2 21 43 124 k k xx ， 此时 12212121 | 2| 2| 2| (1)(1)|SSyyyyk xk x 21 2 12| 2| ()2 | 34 k k xxk k ，由0k 可得3 |4 | 3 2 12 |4 | 3 12 43 |12 2 k k k k k k ，当且仅当 2 3
18、k时等号成立。 所以| 21 SS 的最大值为3。 （12 分） 2 21 1( (本小题满分本小题满分 1212 分）分） 解： （I）由( )cossinf xxxx得 ( )cossincossinfxxxxxxx 。 因为在区间(0,) 2 上( )fxsin0xx ，所以( )f x在区间0, 2 上单调递减。 从而 max ( )00f xf。 （4 分） （）当0x 时， “ sinx a x ”等价于“sin0xax” ， “ sin x b x ”等价于“sin0xbx” ， 令( )g xsin xcx，则( )g xcosx c， 当0c 时，( )0g x 对任意(0,
19、) 2 x 恒成立。 当1c 时，因为对任意(0,) 2 x ，( )g xcosx c0， 所以( )g x在区间0, 2 上单调递减。从而( )g x(0)0g对任意(0,) 2 x 恒成立。 当01c时，存在唯一的 0 (0,) 2 x 使得 0 ()g x 0 cosxc0。 ( )g x与( )g x在区间(0,) 2 上的情况如下： ( )g x在区间因为 0 0,x上 是增函数， 所以 0 ()(0)0g xg。 x 0 (0,)x 0 x 0 (,) 2 x ( )g x + 0 - ( )g x - 10 - 进一步， “( )0g x 对任意(0,) 2 x 恒成立” 当且
20、仅当( )10 22 gc ，即 2 0c ， 综上当且仅当 2 c 时，( )0g x 对任意(0,) 2 x 恒成立； 又当且仅当1c 时，( )0g x 对任意(0,) 2 x 恒成立。 所以，若 sinx ab x 对任意(0,) 2 x 恒成立， 则 a 最大值为 2 ，b 的最小值为 1. （12 分） 22 （本小题满分（本小题满分 10 分）分） ()因为sin,cosyx，所以C的极坐标方程为cos2， 直线l的直角坐标方程为xy ， 联立方程组 02 22 yxx xy ，解得 0 0 y x 或 1 1 y x ， 所以点NM,的极坐标分别为) 4 ,2(),0 , 0(
21、 . 5 分 （）由()易得|2MN 因为P是椭圆 2 2 1 3 x y上的点，设 P 点坐标为)sin,cos3(， 则P到直线xy 的距离 2 sincos3 d， 所以 1 2 ) 6 cos(2 2 sincos3 2 2 1 2 1 dMNS PMN ， 当cos()1 6 时， PMN S取得最大值 1. 10 分 23( (本本小小题满分题满分 1 10 0 分分) ) 解： （I）不等式( )3f x 化为2323xx， 则 2 2323 x xx ，或 2 2 3 2323 x xx ，或 2 3 3223 x xx ， 解得 37 42 x，所以不等式( )3f x 的解集为 3 7 , 4 2 （5 分） - 11 - （II）不等式( )12|2|f xax 等价于33 21axxa ， 即3361xaxa ， 由绝对值三角不等式知336|(3)(36)| |6|xaxxaxa 若存在实数a，使得不等式( )12|2|f xax 成立， 则|6| 1aa ，解得 5 2 a ， 所以实数a的取值范围是 5 ,) 2 （10 分）
