1、 - 1 - 2020 届甘肃省张掖市第二中学高三 9 月月考 数学（文科） 第第 I I 卷（选择题卷（选择题) ) 一、单选题（每小题 5 分，共 60 分） 1设全集UR，集合 |3, |05,Ax xBxx则集合 U C AB= （ ） A |03xx B |03xx C |03xx D |03xx 2若命题:,1 x pxZ e ，则 p 为（ ） A,1 x xZ e B,1 x xZ e C,1 x xZ e D,1 x xZ e 3已知(3,1)AB ，向量( 4, 3)AC ，则向量BC ( ) A( 7, 4) B(7,4) C( 1, 2) D(1,2) 4已知命题 :p
2、 “0,1, x xae ”，命题 :q “ 2 ,40xR xxa ”，若命题“p q ”是真命题， 则实数a的取值范围是（ ） A(4,) B1,4 C(,1 D ,4e 5若tan2， 3 , 2 ，则cos( ) A 5 5 B 5 5 C 2 5 5 D 2 5 5 6在等差数列 n a中，若 34567 45aaaaa，则 9 S （ ） A45 B162 C135 2 D81 7函数 sin ( ) ln(2) x f x x 的图象可能是（ ） A B C D - 2 - 8若双曲线1 2 2 2 b y x的一个焦点F到其一条渐近线的距离为3则双曲线的离心率为（ ） A 2
3、B3 C2 D5 9某单位安排甲乙丙三人在某月 1 日至 12 日值班，每人 4 天. 甲说：我在 1 日和 3 日都有值班 乙说：我在 8 日和 9 日都有值班 丙说：我们三人各自值班日期之和相等。 据此可判断丙必定值班的日期是（ ） A10 日和 12 日 B2 日和 7 日 C4 日和 5 日 D6 日和 11 日 10已知函数 fx是定义在R上的奇函数， 0)()3(xfxf ，且 3 ,0 2 x 时， 2 ( )log ( 31)f xx，则(2020)f( ) A4 B 2 log 7 C2 D2 11已知函数 xaexf x ln3)( 在 1 ,3 2 上单调递减，则a的取值
4、范围是（ ） A 3 9,e B 3 ,9e C 2 4,e D 2 ,4e 12当 1 0 2 x时, 4log x ax ,则a的取值范围是( ) A 2 0, 2 B 2 ,1 2 C1, 2 D2,2 第第 IIII 卷（非选择题卷（非选择题) ) 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13直线 1:3 210lxy 与 2:3 210lxy 间的距离为_ 。 14已知对于任意实数x满足sin3cossin()xxAx（其中0A，0,2 )） ，则有序实数对 ( , )A_ 15已知函数 2 ( )ln1f xxx ，若实数, a b满足( )(0)2f af b，则ab_. 1
5、6已知函数 2ln 1f xxx f ，则( )f x _. 三、解答题（共 70 分） 17 （12 分）已知等差数列 n a满足 32 3aa， 24 14aa. （）求 n a的通项公式； （）设 n S是等比数列 n b的前n项和，若 22 ba， 46 ba，求 7 S - 3 - 18 （12 分） 近年来， 空气质量成为人们越来越关注的话题， 空气质量指数 （Air Quality Index， 简称AQI） 是定量描述空气质量状况的指数.环保部门记录了某地区 7 天的空气质量指数，其中，有 4 天空气质量 为优，有 2 天空气质量为良，有 1 天空气质量为轻度污染. （I）求从
6、这 7 天中随机抽取 1 天空气质量为优的概率； （）求从空气质量不为优中随机抽取 2 天中恰有 1 天空气质量为轻度污染的概率. 19 （12 分）如图，已知四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ADCD， / /ABCD，2CDAB. （1）求证：平面PAB 平面PAD； （2）在侧棱PC上是否存在点M，使得/ /BM平面PAD，若存在，确定点M位置； 若不存在，说明理由 20 （12 分）在平面直角坐标系中，已知圆P在x轴上截得线段长为2 2，在y轴上截得线段 长2 3. (1)求圆心P的轨迹方程； (2)若点P到直线y x 的距离为 2 2 ，求圆 P 的方程
7、. 21 （12 分）已知函数( )ln1f xaxx. （1）若1x 是函数 ( )f x的极值点，试求实数a的值并求函数( )f x的单调区间； （2）若( )0f x 恒成立，试求实数a的取值范围. 二选一二选一 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，将椭圆 2 2 1 4 y x 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来 的一半，得到曲线C以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 - 4 - (sincos )1 1写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； 2已知点(1,2)M，且直线l与曲线C交于A、B两点，求 11 |MAMB 的值 23 （1
8、0 分） 32fxxx （1）画出 fx的图象，并由图象写出 0f x 的解集； （2）若存在xR使不等式 210f xa成立，求实数a的取值范围 - 5 - 数学（文科）答案 1D 2B 3A 4D 5B 22 sin tan2 cos sincos1 5 cos 5 又 3 , 2 cos0 5 cos 5 6D 由等差中项的性质得 345675 545aaaaaa，得 5 9a ， 所以， 19 5 95 99 2 99 981 22 aaa Sa ，故选：D. 7A sin ( )(0)0 ln(2) x f xf x 排除 BD 1 sin sin1 2 ( )( )0 5 ln(2
9、)2 ln( ) 2 x f xf x 排除 C 8C 9D 由题意，1 至 12 的和为 78， 因为三人各自值班的日期之和相等， 所以三人各自值班的日期之和为 26， 根据甲说：我在 1 日和 3 日都有值班；乙说：我在 8 日和 9 日都有值 班，可得甲在 1、3、10、12 日值班，乙在 8、9、2、7 或 8、9、4、5， 据此可判断丙必定值班的日期是 6 日和 11 日， 10D 因为函数 ( )f x满足(3)( )f xf x ，即函数 ( )f x是以3为周期的周期函数，又函数 fx是定义 在R上的奇函数，且 3 ,0 2 x 时， 2 ( )log ( 31)f xx，所以
10、 2 (2020)(1)( 1)log 42fff 故选 D 11A 03)( x a exf x 在 1 ,3 2 上恒成立， 则 x xea3 在 1 ,3 2 上恒成立， ( )g x在 1 ,3 2 单调递增， 故g(x)的最大值为g(3)= 3 9e. 故 3 9ae. 12由题意，当 1 0 2 x时，函数4xy 的图象，如图所示， 若不等式4log x ax 恒成立， 则函数logayx的图象恒在函数4xy 的上方， 因为函数logayx的图象 与函数4xy 的图象交于 1 ( ,2) 2 点时，此时 2 2 a ，根据对数函数的性质可知函数logayx图象对应的 - 6 - 底
11、数a满足 2 1 2 a，故选 B. 13 2 13 13 因为直线 1:3 210lxy 与 2:3 210lxy 互相平行，所以根据平行线间的距离公式 12 22 cc d ab ，可以得到它们之间的距离 12 2222 1 12 13 13 32 cc d ab . 14(2, ) 3 13 sin3cos2( sincos )2(cossinsincos )2sin() 22333 sin() xxxxxxx Ax 2,. 3 A 152 对任意xR， 2 10xxxx ，函数 yf x的定义域为R， 22 ln1ln1ln10fxf xxxxx ，则函数 yf x为奇函数， 当0x
12、时，由于函数 2 1yxx 为增函数，所以，函数 yf x在0,上为增函数，由于该函数 为奇函数，则函数 yf x在,0上也为增函数， 所以，函数 yf x在R上为增函数， 由 20f af b，得 22f af bfb ，2ab ，可得出2ab. 故答案为：2. 162ln xx 对函数 yf x求导得 2 1fxf x ， 121ff ，解得 11 f ， 因此， 2lnf xxx，故答案为：2ln xx. 17(I)32 n an；() 7 254S ，或 7 86S (I)设等差数列 n a的公差为d， 3224 3,14aaaa3d ， 1 2414ad， 解得 1 1a ，3d ，
13、 1 3132 n ann ()设等比数列 n b的公比为q， 221 4babq， 3 461 16babq，联立解得 1 2bq， 1 2bq ， 7 7 221 254 2 1 S ，或 7 7 212 86 12 S 18 （1） 4 7 （2） 2 3 . - 7 - 19 （）见解析； （）见解析 （）证明：因为PD 平面ABCD，所以PDAB 又因为ADCD，/ /ABCD，所以ADAB 又ADPDDI，,AD PD 平面PAD可得AB平面PAD 又AB平面PAB，所以平面PAB 平面PAD （）当点M是PC的中点时，/ /BM平面PAD 证明如下：设PD的中点为N，连接MN，A
14、N，易得MN是PCD的中位线， 所以/MNCD， 1 2 MNCD 由题设可得/ /ABCD，2CDAB， 所以/MNAB，MNAB 所以四边形ABMN为平行四边形，所以/ /BMAN 又BM 平面PAD，AN 平面PAD，所以/ /BM平面PAD 20(1) 22 1yx (2) 22 (1)3xy或 22 (1)3xy. (1)设 00 (,)P xy，圆P的半径为r， 由题设可得 22 2yr， 22 3xr，从而 22 23yx， 故点P的轨迹方程为 22 1yx. (2)设 00 (,)P xy，由已知得 00 2 22 xy ，即 00 1xy， 又 P 点在双曲线 22 1yx上
15、，所以 00 22 00 1 1 xy yx ， 由 00 22 00 1 1 xy yx ，得 0 0 0 1 x y ，此时，圆P的半径3r ； 由 00 22 00 1 1 yx yx ，得 0 0 0 1 x y ，此时，圆P的半径3r ， 故圆P的方程为： 22 (1)3xy或 22 (1)3xy. 21 （1）函数的定义域为0, 又 1 fxa x ，由题意 11fa ，1a ， 当1a 时，令 1 10fx x 得1x ，令 1 10fx x 得1x ， 所以函数的单调减区间为0,1函数的单调增区间为1,， 此时函数 fx取极小值故1a 符合题意； - 8 - （2）由 0f x
16、 恒成立得ln10axx 恒成立，又定义域为0,， 所以 ln1x a x 恒成立即 max ln1x a x ， 令 ln1x g x x 则 2 2lnx gx x ，令 2 2ln 0 x gx x 得 2 xe所以函数 g x在 2 0,e上单调增， 在 2, e单调减，函数 2 2 max 1 g xg e e ， 所以 2 1 a e . 22 1将椭圆 2 2 1 4 y x 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线 2 2 2 1 4 : xC y 得到圆 22 1xy的图象，故曲线C的普通方程为 22 1xy； 直线l的极坐标方程为sincos1 故直线l的直角坐标方程为1yx，即10xy ； 2直线过点1,2M且倾斜角为 4 ，故直线l的参数方程为： 2 1 2 2 2 2 xt yt (t为参数） 代入方程 22 1xy化为： 2 3 240tt ， 121 2 3 2,4ttt t 根据t的几何意义可得： 12 12 113 4 2tt MAMBt t 23 （1） fx的图象如图所示： 由图象可得 0f x 的解集为：| 31xx （2） max3f x，从而只需 max21f xa，即：321a 解得：12a 实数a的取值范围为1,2
