1、2018-2019学年广东省湛江一中高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每题5分，共12题60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目只有一项符合题目要求的）1（5分）设集合A0，2，4，6，8，10，B4，8，则AB（）A4，8B0，2，6C0，2，6，10D0，2，4，6，8，102（5分）函数y+的定义域为（）A，+）B（，3）（3，+）C，3）（3，+）D（3，+）3（5分）设Ax|0x2，By|1y2，下列图形表示集合A到集合B的函数的图象的是（）ABCD4（5分）设函数发，则f（f（4）（）A1B2C4D5（5分）a40.9、b80.48、c（）1.5的大小关系是（）Ac
2、abBbacCabcDacb6（5分）若，则a2017+b2017的值为（）A0B1C1D1或17（5分）若不等式ax2+2ax42x2+4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A（2，2）B（，2）（2，+）C（2，2D（，28（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x0，+）时，f（x）是增函数，且f（1）0则不等式f（x）0的解集为（）A（1，1）B（，1）（1，+）C（，1）（0，1）D（1，0）（0，1）9（5分）若f（x）x2+2ax与g（x）（a+1）1x在区间1，2上都是减函数，则a的取值范围是（）A（1，0）B（1，0）（0，1C（0，1D（0，1）10（5分
3、）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y2x23，值域为1，5的“孪生函数”共有（）A10个B9个C8个D4个11（5分）函数f（x）是R上的减函数，则a的取值范围是（）A（0，1）B（0，C）D（12（5分）已知f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足f（1x）f（1+x），若f（1）2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）（）A50B0C2D50二、填空题（每题5分，共4题20分）13（5分）不论a（a0且a1）为何值，函数f（x）ax2+1的图象一定经过点P，则点P的坐标为 14（5分）已知函数f（2x）的定义域为1，1，则
4、f（x）的定义域为 15（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）g（x）x3+x2+1，则f（1）+g（1） 16（5分）若关于x的函数f（x）（t0）的最大值为M，最小值为N，且M+N4，则实数t的值为 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）（1）求值：+；（2）已知，求的值18（12分）已知集合Ax|a1x2a+1，Bx|0x1（1）若a，求AB（2）若AB，求实数a的取值范围19（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x0时，f（x）x2+2x（1）现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如
5、图所示，请补全函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）（xR）的递增区间；（2）写出函数f（x）（xR）的值域；（3）写出函数f（x）（xR）的解析式20（12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）（1）分别写出两种产品的收益和投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大的收益，其最大收益为多少万元？21（12分）已知定义域为R的函数f（x）是奇函数（1）求b的值
6、；（2）用定义法证明函数f（x）在R上是减函数；（3）若对任意的tR，不等式f（t22t）+f（2t2k）0恒成立，求k的取值范围22（12分）对于区间a，b（ab），若函数yf（x）同时满足：f（x）在a，b上是单调函数；函数yf（x），xa，b的值域是a，b，则称区间a，b为函数f（x）的“保值”区间（1）求函数yx2的所有“保值”区间；（2）函数yx2+m（m0）是否存在“保值”区间？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由2018-2019学年广东省湛江一中高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共12题60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
7、只有一项符合题目要求的）1（5分）设集合A0，2，4，6，8，10，B4，8，则AB（）A4，8B0，2，6C0，2，6，10D0，2，4，6，8，10【分析】根据全集A求出B的补集即可【解答】解：集合A0，2，4，6，8，10，B4，8，则AB0，2，6，10故选：C【点评】本题考查集合的基本运算，是基础题2（5分）函数y+的定义域为（）A，+）B（，3）（3，+）C，3）（3，+）D（3，+）【分析】根据函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可【解答】解：函数y+，解得x且x3；函数y的定义域为，3）（3，+）故选：C【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是
8、基础题3（5分）设Ax|0x2，By|1y2，下列图形表示集合A到集合B的函数的图象的是（）ABCD【分析】仔细观察图形，正确选取中x的取值范围必须是0，2，y的取值范围必须是1，2，由此进行选取【解答】解：A 和B中y的取值范围不是1，2，不合题意，故A和B都不成立；C中x的取值范围不是0，2，y的取值范围不是1，2，不合题意，故C不成立；D中，0x2，1y2，符合题意，故选：D【点评】本题考查函数的图象和性质，解题时要认真审题，仔细求解4（5分）设函数发，则f（f（4）（）A1B2C4D【分析】先求出f（4）的值，再根据f（4）的值判断运用哪段解析式，即可求得f（f（4）的值【解答】解：，
9、40，f（4）16，f（f（4）f（16）4，f（f（4）4故选：C【点评】本题考查了分段函数的解析式，考查了分段函数的取值问题，对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题解题的关键在于确定选用哪一段函数的解析式进行求值属于基础题5（5分）a40.9、b80.48、c（）1.5的大小关系是（）AcabBbacCabcDacb【分析】利用有理指数幂的运算性质将a，b，c均化为2x的形式，利用y2x的单调性即可得答案【解答】解：a40.921.8，b80.4821.44，c21.5，y2x为单调增函数，而1.81.51.44，acb故选：D【点评】本题考查不等关系与不等式，考查有理数
10、指数幂的化简求值，属于中档题6（5分）若，则a2017+b2017的值为（）A0B1C1D1或1【分析】由集合相等的性质求出b0，a1，由此能求出a2017+b2017的值【解答】解：，b0，a1，a2017+b2017（1）2017+020171故选：C【点评】本题考查代数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意集合相等的性质的合理运用7（5分）若不等式ax2+2ax42x2+4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A（2，2）B（，2）（2，+）C（2，2D（，2【分析】根据题意，将原不等式恒等变形为（a2）x2+（2a4）x40，分2种情况讨论：，a2时，不等式（a2）x2+（2
11、a4）x40即40，易得其成立，a2时，由二次函数的性质分析可得，解可得a的取值范围，综合2种情况即可得答案【解答】解；根据题意，ax2+2ax42x2+4x（a2）x2+（2a4）x40，若不等式ax2+2ax42x2+4x对任意实数x均成立，即不等式（a2）x2+（2a4）x40对任意实数x均成立，分2种情况讨论：，a2时，不等式（a2）x2+（2a4）x40即40，对任意实数x均成立，a2时，不等式（a2）x2+（2a4）x40对任意实数x均成立，则有，解可得：2a2，综合可得：实数a的取值范围是（2，2；故选：C【点评】本题考查不等式的恒成立问题，涉及二次函数的性质，注意分析a的取值范
12、围8（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x0，+）时，f（x）是增函数，且f（1）0则不等式f（x）0的解集为（）A（1，1）B（，1）（1，+）C（，1）（0，1）D（1，0）（0，1）【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集【解答】解：偶函数f（x）在0，+）上为增函数，f（1）0，f（1）f（1）0，则函数f（x）对应的图象如图：则f（x）0的解为1x1，即不等式的解集为（1，1），故选：A【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用9（5分）若f（x）x2+2ax与g（
13、x）（a+1）1x在区间1，2上都是减函数，则a的取值范围是（）A（1，0）B（1，0）（0，1C（0，1D（0，1）【分析】f（x）为二次函数，单调性结合图象解决，而g（x）为指数型函数，单调性只需看底数与1的大小即可【解答】解：f（x）x2+2ax在区间1，2上是减函数，故对称轴xa1；g（x）（a+1）1x在区间1，2上是减函数，只需a+11，即a0，综上可得0a1故选：C【点评】本题考查已知函数单调性求参数范围，属基本题掌握好基本函数的单调性是解决本题的关键10（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y2x23，值域为1，5
14、的“孪生函数”共有（）A10个B9个C8个D4个【分析】与1对应的x有2个，与5对应的x有2个，所以一起有339【解答】解：由y2x231解得x1，由y2x235，解得x2，故依题意得，定义域中1至少一个，2中至少一个，所以共有（C+C）（C+C）9故选：B【点评】本题考查了函数的值域属基础题11（5分）函数f（x）是R上的减函数，则a的取值范围是（）A（0，1）B（0，C）D（【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得a的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）是R上的减函数，必有，解可得：0a，即a的取值范围为（0，；故选：B【点评】本题考查分段函数单调性的判定，关键是
15、掌握函数单调性的定义，属于基础题12（5分）已知f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足f（1x）f（1+x），若f（1）2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）（）A50B0C2D50【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可【解答】解：f（x）是奇函数，且f（1x）f（1+x），f（1x）f（1+x）f（x1），f（0）0，则f（x+2）f（x），则f（x+4）f（x+2）f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，f（1）2，f（2）f（0）0，f（3）f（12）f（1）f（1）2，f（4）f（0）0，则f（1）+f（2）+f
16、（3）+f（4）2+02+00，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）12f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（49）+f（50）f（1）+f（2）2+02，故选：C【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键二、填空题（每题5分，共4题20分）13（5分）不论a（a0且a1）为何值，函数f（x）ax2+1的图象一定经过点P，则点P的坐标为（2，2）【分析】令幂指数等于零，求得x、y的值，可得它的图象经过定点的坐标【解答】解：对于函数f（x）ax2+1，令x20，求得x2，y2，可得它的图象一定经过点P（2，2），故答案为：（2，2）
17、【点评】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题14（5分）已知函数f（2x）的定义域为1，1，则f（x）的定义域为，2【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可【解答】解：f（2x）的定义域为1，1，1x1，则2x2，即f（x）的定义域为，2，故答案为：，2【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，根据复合函数定义域之间的关系是解决本题的关键15（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）g（x）x3+x2+1，则f（1）+g（1）1【分析】将原代数式中的x替换成x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g（x），再令x1即可【解答】解：
18、由f（x）g（x）x3+x2+1，将所有x替换成x，得f（x）g（x）x3+x2+1，f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f（x）f（x），g（x）g（x），即f（x）+g（x）x3+x2+1，再令x1，得f（1）+g（1）1故答案为：1【点评】本题考查利用函数奇偶性求值，本题中也可以将原代数式中的x直接令其等于1也可以得到计算结果，属于基础题16（5分）若关于x的函数f（x）（t0）的最大值为M，最小值为N，且M+N4，则实数t的值为2【分析】化简f（x）t+，设g（x），判断g（x）的奇偶性，即可得到所求值【解答】解：函数f（x）（t0），即有f（x）t+，设g（x），g（
19、x）xg（x），可得g（x）为奇函数，即有g（x）的最大值S和最小值s互为相反数，M+N（S+t）+（s+t）4，即有2t4，解得t2，故答案为：2【点评】本题考查函数的最值求法，注意运用构造函数法，以及奇函数的性质，考查运算能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）（1）求值：+；（2）已知，求的值【分析】（1）根据有理指数幂的运算性质可得；（2）根据立方和公式以及完全平方公式可得【解答】解：（1）原式（）1（）+（）2+5（）1（）+51+5； （2）原式（a）3+（a）3（a+a）（a）2aa+（a）23（a+a）233（
20、323）18【点评】本题考查了有理指数幂及根式属基础题18（12分）已知集合Ax|a1x2a+1，Bx|0x1（1）若a，求AB（2）若AB，求实数a的取值范围【分析】（1）当a时，Ax|，可求AB（2）若AB，则A时，A时，有，解不等式可求a的范围【解答】解：（1）当a时，Ax|，Bx|0x1ABx|0x1（2）若AB当A时，有a12a+1a2当A时，有2a或a2综上可得，或a2【点评】本题主要考查了集合交集的求解，解题时要注意由AB时，要考虑集合A的情况，体现了分类讨论思想的应用19（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x0时，f（x）x2+2x（1）现已画出函数f（x）在y
21、轴左侧的图象，如图所示，请补全函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）（xR）的递增区间；（2）写出函数f（x）（xR）的值域；（3）写出函数f（x）（xR）的解析式【分析】（1）根据偶函数的图象关于y轴对称，能作出函数在R上的图象，结合图象可得函数的增区间（2）结合函数的图象可得，当x1，或 x1时，函数取得最小值为1，由此能求出函数的值域（3）当x0时，x0，再根据x0时，f（x）x2+2x，可得f（x）（x）2+2（x）x22x再根据函数f（x）为偶函数，可得f（x）x22x，由此能求出函数f（x）（xR）的解析式【解答】解：（1）根据偶函数的图象关于y轴对称，作出函数在R上的图象
22、，（2分）结合图象可得函数的增区间为（1，0），（1，+）（4分）（2）结合函数的图象可得，当x1，或 x1时，函数取得最小值为1，函数没有最大值，故函数的值域为1，+）（7分）（3）当x0时，x0，再根据x0时，f（x）x2+2x，可得f（x）（x）2+2（x）x22x再根据函数f（x）为偶函数，可得f（x）x22x（10分）综上可得，f（x）（12分）【点评】本题考查函数的图象的作法，考查函数的增区间的求法，考查函数的值域、函数解析式的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20（12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资
23、股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）（1）分别写出两种产品的收益和投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大的收益，其最大收益为多少万元？【分析】（1）利用待定系数法确定出f（x）与g（x）解析式即可；（2）设设投资债券类产品x万元，则股票类投资为（20x）万元，根据yf（x）+g（x）列出二次函数解析式，利用二次函数的性质判断即可得到结果【解答】解：（1）设f（x）k1x，g（x）k2，由题意，可得f（1）0.125k1，g（1）k20.5，则f（x）0.
24、125x（x0），g（x）0.5（x0）；（2）设投资债券类产品x万元，则股票类投资为（20x）万元，由题意，得yf（x）+g（20x）0.125x+0.5（0x20），令t，则有x20t2，y0.125（20t2）+0.5t0.125（t2）2+3，当t2，即x16万元时，收益最大，此时ymax3万元，则投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品4万元获得收益最大，最大收益为3万元【点评】此题考查了函数模型的选择与应用，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键21（12分）已知定义域为R的函数f（x）是奇函数（1）求b的值；（2）用定义法证明函数f（x）在R上是减函数；（3）若对任意的t
25、R，不等式f（t22t）+f（2t2k）0恒成立，求k的取值范围【分析】（1）利用f（0）0即可解出；（2）利用减函数的定义即可证明；（3）利用函数的奇偶性、单调性即可解出【解答】解：（1）定义域为R的函数f（x）是奇函数f（0）0，解得b1（2）由（1）可得：f（x）x1x2，则0，f（x1）f（x2）0，f（x1）f（x2）函数f（x）在R上是减函数（3）函数f（x）是R上的奇函数，对任意的tR，不等式f（t22t）+f（2t2k）0恒成立，f（t22t）f（2t2k）f（k2t2），函数f（x）在R上是减函数，t22tk2t2，k3t22t，任意的tR恒成立k因此k的取值范围是【点评】本
26、题考查了函数的奇偶性、单调性，考查了计算能力，属于基础题22（12分）对于区间a，b（ab），若函数yf（x）同时满足：f（x）在a，b上是单调函数；函数yf（x），xa，b的值域是a，b，则称区间a，b为函数f（x）的“保值”区间（1）求函数yx2的所有“保值”区间；（2）函数yx2+m（m0）是否存在“保值”区间？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由【分析】（1）由已知中保值”区间的定义，结合函数yx2的值域是0，+），我们可得a，b0，+），从而函数yx2在区间a，b上单调递增，则，结合ab即可得到函数yx2的“保值”区间（2）根据已知中保值”区间的定义，我们分函数yx2+m在区
27、间a，b上单调递减，和函数yx2+m在区间a，b上单调递增，两种情况分类讨论，最后综合讨论结果，即可得到答案【解答】解：（1）因为函数yx2的值域是0，+），且yx2在a，b的值域是a，b，所以a，b0，+），所以a0，从而函数yx2在区间a，b上单调递增，故有解得又ab，所以所以函数yx2的“保值”区间为0，1（3分）（2）若函数yx2+m（m0）存在“保值”区间，则有：若ab0，此时函数yx2+m在区间a，b上单调递减，所以 消去m得a2b2ba，整理得（ab）（a+b+1）0因为ab，所以a+b+10，即 ab1又所以 因为 ，所以 （6分）若ba0，此时函数yx2+m在区间a，b上单调递增，所以 消去m得a2b2ab，整理得（ab）（a+b1）0因为ab，所以 a+b10，即 b1a又所以 因为 ，所以 因为 m0，所以 （9分）综合 、得，函数yx2+m（m0）存在“保值”区间，此时m的取值范围是（10分）【点评】本题考查的知识点是函数单调性，函数的值，其中正确理解新定义的含义，并根据新定义构造出满足条件的方程（组）或不等式（组）将新定义转化为数学熟悉的数学模型是解答本题的关键
