1、2018-2019学年广东省东莞市东华高中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑）1（5分）集合Ax|2x4，Bx|3x782x，则AB（）Ax|3x4Bx|3x4Cx|2x4Dx|x22（5分）下列函数中哪个与函数y|x|相等？（）Ay（）2ByCyDy3（5分）下列函数中，在（0，+）上为减函数的是（）Ayx+1BCy2xDy（x1）24（5分）已知函数f（x）4x2kx8在5，+）上单调递增，这位实数k的取值范围是（）A（，40）B（，40C（40，+）D40，+）5（5
2、分）设，则有（）AabcBcbaCcabDacb6（5分）函数f（x）lnx的零点所在的大致区间是（）A（1，2）B（2，3）C（1，）D（e，+）7（5分）圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120的扇形，则圆锥的表面积为（）A2B3C4D8（5分）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和DD1的中点，那么直线AM和CN所成角是（）A30B45C60D909（5分）若loga，则实数a的取值范围是（）A0BaC0或a1D10（5分）已知函数f（x）x5+ax3+bx8，且f（2）10，那么f（2）等于（）A10B18C26D1011（5分）已知f（x）为偶函数，当
3、x0，+）时，f（x）x1，则f（x1）0的解集为（）A（0，2）B（2，0）C（1，0）D1，212（5分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x1，x2R，有f（x1+x2）f（x1）+f（x2）+a（a为非零常数），则下列说法一定正确的是（）Af（x）为偶函数Bf（x）为奇函数Cf（x）+a为偶函数Df（x）+a为奇函数二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）函数f（x）+log2（x+1）的定义域是 14（5分）计算：log2log3+（） 15（5分）如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正
4、方体中相互异面的有 对16（5分）已知函数yf（x）+x2+x是奇函数，且f（1）1，若g（x）f（x）+2，则g（1） 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知全集UR，集合Ax|1x2，Bx|2x1，求：（1）求AB和AB；（2）若记符号ABx|xA，且xB，在图中把表示“集合AB”的部分用阴影涂黑；并求出AB18（12分）已知函数f（x）log2（x2+cx+1）（c为常数）（1）若函数f（x）是偶函数，求c的值；（2）在（1）的条件下，满足m+n2，（mn）的任意实数m，n，都有f（m）f（n）f（1
5、），求实数m的取值范围19（12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y+100（8x），其中4x8，a为常数已知销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品220千克（1）求a的值；（2）若该商品的进价为4元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值20（12分）已知二次函数关系式为f（x）2x2+ax6对称轴方程为x1；在R上的奇函数g（x）满足：当x0时，g（x）f（x）（1）求函数g（x）的解析式；（2）判断方程g（x）2x60的零点的个数，并说明理由21（12分）如图所示，在
6、边长为8的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，ADBC，EHBC，FGBC，D，H，G为垂足，若将ABC绕AD旋转180，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积22（12分）已知函数（1）判断并证明函数的单调性；（2）若函数为f（x）奇函数，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，若对任意的tR，不等式f（t2+2）+f（t2tk）0恒成立，求实数k的取值范围2018-2019学年广东省东莞市东华高中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑）1（5分）集
7、合Ax|2x4，Bx|3x782x，则AB（）Ax|3x4Bx|3x4Cx|2x4Dx|x2【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出AB【解答】解：集合Ax|2x4，Bx|3x782xx|x3，ABx|3x4故选：A【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用2（5分）下列函数中哪个与函数y|x|相等？（）Ay（）2ByCyDy【分析】直接利用两个函数为同一函数的判断标准：定义域相同，对应法则相同判断即可【解答】解：由于函数y|x|的定义域为R对应法则为一个数的绝对值而对于A答案来说定义域为0，+）故A答案错而对于B答案来说虽然定义域为R但对应法则为一个数的本
8、身而不是它的绝对值故B答案错而对于C答案来说定义域不仅为R而且对应法则也为一个数的绝对值故答案C正确而对于D答案来说定义域为（，0）（0，+）故D答案错故选：C【点评】本题主要考查如何判断两个函数是否为同一函数解题的关键是要仅仅抓住定义域相同，对应法则相同的两个函数才是同一函数！3（5分）下列函数中，在（0，+）上为减函数的是（）Ayx+1BCy2xDy（x1）2【分析】根据题意，依次分析所给函数在区间（0，+）的单调性，即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、函数yx+1是一次函数，在区间（0，+）上为增函数，不符合题意；对于B、函数y为对数函数，在区间（0，+）上为减函数，符
9、合题意；对于C、函数y2x为指数函数，在区间（0，+）上为增函数，不符合题意；对于D、函数y（x1）2为二次函数，在区间（，1）上为增函数，区间（1，+）上为减函数，不符合题意；故选：B【点评】本题考查函数单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性4（5分）已知函数f（x）4x2kx8在5，+）上单调递增，这位实数k的取值范围是（）A（，40）B（，40C（40，+）D40，+）【分析】根据题意，由f（x）的解析式分析函数f（x）的对称轴，结合二次函数的性质可得5，解可得k的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）4x2kx8为二次函数，其对称轴为x，若函数f（x）4x2kx8在（
10、，5上单调递增，必有5，解可得k40，即k的取值范围为（，40；故选：B【点评】本题考查二次函数的单调性，关键是掌握二次函数的性质，属于基础题5（5分）设，则有（）AabcBcbaCcabDacb【分析】由是减函数，知；由y3x是增函数，知b；由是减函数，知0c，由此能够得到正确选项【解答】解：是减函数，；y3x是增函数，b；是减函数，0c，acb故选：D【点评】本题考查对数值和指数值的大小的比较，是基础题解题时要认真审题，仔细解答6（5分）函数f（x）lnx的零点所在的大致区间是（）A（1，2）B（2，3）C（1，）D（e，+）【分析】直接通过零点存在性定理，结合定义域选择适当的数据进行逐一
11、验证，并逐步缩小从而获得最佳解答【解答】解：函数的定义域为：（0，+），有函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点又f（2）ln210，f（3）ln30f（2）f（3）0，函数f（x）lnx的零点所在的大致区间是（2，3）故选：B【点评】本题考查的是零点存在的大致区间问题在解答的过程当中充分体现了定义域优先的原则、函数零点存在性定理的知识以及问题转化的思想值得同学们体会反思7（5分）圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120的扇形，则圆锥的表面积为（）A2B3C4D【分析】由题意画出图形，设圆锥的底面半径为r，由展开后所得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长求得底面半径，进一步求出圆锥的高
12、，代入圆锥表面积公式求解【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则2r3，得r1则圆锥的高h2l3，圆锥的表面积Srl+r213+124故选：C【点评】本题考查圆锥体积的求法，考查剪展问题的求解方法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题8（5分）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和DD1的中点，那么直线AM和CN所成角是（）A30B45C60D90【分析】由题意画出图形，找出直线AM和CN所成角，利用证明三角形全等求解【解答】解：如图，取AA1中点H，连接BH，可证BHCN，则AM与BH所成角为直线AM和CN所成角，在RtBAH与RtAA1M中，由ABAA1，A
13、HA1M，得ABHA1AM，得AHBA1MA，HAM+A1MA90，HAF+AHF90，则AFH90，即直线AM和CN所成角是90故选：D【点评】本题考查异面直线所成角，考查数学转化思想方法，是中档题9（5分）若loga，则实数a的取值范围是（）A0BaC0或a1D【分析】对a分类讨论，由对数式的单调性求解【解答】解：当0a1时，logalogaa，得0a；当a1时，logalogaa，得a1实数a的取值范围是0或a1故选：C【点评】本题考查对数不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法，是基础题10（5分）已知函数f（x）x5+ax3+bx8，且f（2）10，那么f（2）等于（）A10B18C
14、26D10【分析】令g（x）x5+ax3+bx，由函数奇偶性的定义得其为奇函数，根据题意和奇函数的性质求出f（2）的值【解答】解：令g（x）x5+ax3+bx，易得其为奇函数，则f（x）g（x）8，所以f（2）g（2）810，得g（2）18，因为g（x）是奇函数，即g（2）g（2），所以g（2）18，则f（2）g（2）818826，故选：C【点评】本题考查函数奇偶性的应用，以及整体代换求函数值，属于基础题11（5分）已知f（x）为偶函数，当x0，+）时，f（x）x1，则f（x1）0的解集为（）A（0，2）B（2，0）C（1，0）D1，2【分析】根据题意，由函数在0，+）上的解析式计算可得此时f
15、（x）0的解集为0，1），结合函数的奇偶性可得当x0时f（x）0的解集为（1，0，综合2种情况可得f（x）0的解集为（1，1）；由此可得若f（x1）0，则有1x11，解可得x的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，当x0，+）时，f（x）x1，若f（x）0，即x10，解可得0x1，又由f（x）为偶函数，则当x（，0时，f（x）0的解集为（1，0，综合可得：f（x）0的解集为（1，1），若f（x1）0，则有1x11，解可得0x2，即f（x1）0的解集为（0，2）；故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析f（x）0的解集12（5分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任
16、意的x1，x2R，有f（x1+x2）f（x1）+f（x2）+a（a为非零常数），则下列说法一定正确的是（）Af（x）为偶函数Bf（x）为奇函数Cf（x）+a为偶函数Df（x）+a为奇函数【分析】利用抽象函数的关系，结合函数奇偶性的定义进行判断即可【解答】解：令x1x20，则由f（x1+x2）f（x1）+f（x2）+a得f（0）f（0）+f（0）+a，则f（0）a，a0，f（0）a0，即f（x）不是奇函数，排除B，令x1x，x2x，则由f（0）f（x）+f（x）+a，得af（x）+f（x）+a，即f（x）f（x）+2a，则f（x）f（x）不成立，即f（x）不是偶函数，排除A，f（x）+af（x）
17、af（x）+a，即f（x）+a是奇函数，故排除C，故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，结合抽象函数关系以及利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）函数f（x）+log2（x+1）的定义域是（1，+）【分析】可看出，要使得函数f（x）有意义，则需满足，解出x的范围即可【解答】解：要使f（x）有意义，则：；x1；f（x）的定义域是（1，+）故答案为：（1，+）【点评】考查函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域14（5分）计算：log2log3+（）4【分析】利用指数与对数运算性质即可得出【解答】解：原式log22+（2）+4故答案为
18、：4【点评】本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题15（5分）如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有3对【分析】展开图复原几何体，标出字母即可找出异面直线的对数【解答】解：画出展开图复原的几何体，所以C与G重合，F，B重合，所以：四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有：AB与GH，AB与CD，GH与EF，共有3对故答案为：3【点评】本题考查几何体与展开图的关系，考查异面直线的对数的判断，考查空间想象能力16（5分）已知函数yf（x）+x2+x是奇函数，且f（1）1，若g（x）f（x）+2
19、，则g（1）1【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（1）+2+f（1）+00，分析可得f（1）的值，进而计算可得答案【解答】解：根据题意，数yf（x）+x2+x是奇函数，则f（1）+2+f（1）+00，又由f（1）1，则f（1）3，又由g（x）f（x）+2，则g（1）f（1）+21；故答案为：1【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知全集UR，集合Ax|1x2，Bx|2x1，求：（1）求AB和AB；（2）若记符号ABx|xA，且xB，在图中把表示“集合A
20、B”的部分用阴影涂黑；并求出AB【分析】（1）全集UR，集合Ax|1x2，Bx|2x1x|x0，由此能求出AB和AB（2）记符号ABx|xA，且xB，由此能在图中把表示“集合AB”的部分用阴影涂黑，并求出AB【解答】解：（1）全集UR，集合Ax|1x2，Bx|2x1x|x0，ABx|0x2ABx|x1（2）记符号ABx|xA，且xB，在图中把表示“集合AB”的部分用阴影涂黑，如下图：ABx|1x0【点评】本题考查交集、并集、差集的求法，考查交集、并集、差集的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题18（12分）已知函数f（x）log2（x2+cx+1）（c为常数）（1）若函数f（x）是偶函数
21、，求c的值；（2）在（1）的条件下，满足m+n2，（mn）的任意实数m，n，都有f（m）f（n）f（1），求实数m的取值范围【分析】（1）根据题意，由偶函数的定义可得f（x）f（x），即log2（x2+cx+1）log2（x2cx+1），变形解可得c的值，即可得答案；（2）根据题意，由函数的解析式可得f（m）f（n）f（1）即log2（m2+1）log2（n2+1）log22，变形可得2，又由m+n2可得m2+12（2m）2+2，变形可得m28m+90，解可得m的取值范围，即可得答案【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）log2（x2+cx+1），若函数f（x）是偶函数，则f（x）f（x），
22、即log2（x2+cx+1）log2（x2cx+1），变形可得x2+cx+1x2cx+1，分析可得：c0，（2）根据题意，f（x）log2（x2+1），则f（m）log2（m2+1），f（n）log2（n2+1），f（1）log22，f（m）f（n）f（1），即log2（m2+1）log2（n2+1）log22，变形可得2，即m2+12n2+2，又由m+n2，则有m2+12（2m）2+2，变形可得m28m+90，解可得：4m4+；即m的取值范围为（4，4+）【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及对数的运算性质，关键是求出c的值19（12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售
23、量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y+100（8x），其中4x8，a为常数已知销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品220千克（1）求a的值；（2）若该商品的进价为4元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值【分析】（1）根据x6时，y220，带入关系式即可求解（2）利润x进价，根据数量即可求解出利润的最大值【解答】解：（1）由题意x6时，y220，带入y+100（8x），可得a40；（2）利润x进价，总利润Q（x4）y（x4）+100（8x）40+100（8x）（x4）40100（x212x+32）；中4x8，当x6时，
24、总利润Q取得最大值为：440故得销售价格为6时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，其最大值为440元【点评】本题考查二次函数的最值的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题20（12分）已知二次函数关系式为f（x）2x2+ax6对称轴方程为x1；在R上的奇函数g（x）满足：当x0时，g（x）f（x）（1）求函数g（x）的解析式；（2）判断方程g（x）2x60的零点的个数，并说明理由【分析】（1）由二次函数的对称轴分析可得1，则a4，即可得f（x）的解析式，由奇函数的性质可得g（0）0，设x0，则x0，由函数的解析式以及奇偶性可得g（x）的表达式，综合即可得答案；（2）根据题意，分析
25、可得方程g（x）2x60的个数为函数yg（x）与y2x+6的图象交点的个数，在同一坐标系中作出作出两个函数的草图，分析其交点的个数即可得答案【解答】解：（1）根据题意，二次函数f（x）2x2+ax6对称轴方程为x1，即1，则a4，则f（x）2x2+4x6，g（x）为R上的奇函数，则g（0）0，设x0，则x0，此时g（x）f（x）2x24x6，又由g（x）为奇函数，则g（x）g（x）2x2+4x+6，则g（x）；（2）方程g（x）2x60即g（x）2x+6，其根的个数为函数yg（x）与y2x+6的图象交点的个数，作出两个函数的草图：分析可得两个函数的图象有3个交点，即方程g（x）2x60有3个根
26、【点评】本题考查函数零点的判定以及函数奇偶性的性质以及应用，涉及二次函数解析式的求法，属于基础题21（12分）如图所示，在边长为8的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，ADBC，EHBC，FGBC，D，H，G为垂足，若将ABC绕AD旋转180，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积【分析】旋转后几何体是一个圆锥，从上面挖去一个圆柱，根据数据利用面积公式公式，可求其表面积与体积【解答】解：由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从上面挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为4，高为4，圆柱的底面半径为2，高为2所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面S圆锥的底面16，S圆锥侧32
27、，S圆柱的侧8故所求几何体的表面积为：16+32+848+8阴影部分形成的几何体的体积：VV圆锥V圆柱【点评】本题考查组合体的面积问题，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题22（12分）已知函数（1）判断并证明函数的单调性；（2）若函数为f（x）奇函数，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，若对任意的tR，不等式f（t2+2）+f（t2tk）0恒成立，求实数k的取值范围【分析】（1）函数f（x）为R上的增函数，利用函数单调性的定义进行证明；（2）函数f（x）为奇函数，则f（0）a10，可得a1，再进行验证即可；（3）因为f（x）是奇函数，从而不等式f（t2+2）+f（t2
28、tk）0对任意的tR恒成立等价于不等式f（t2+2）f（tkt2）对任意的tR恒成立【解答】解：（1）函数f（x）为R上的增函数证明如下：（1分）证明：函数f（x）的定义域为R，对任意x1，x2R，设x1x2，则（3分）因为y2x是R上的增函数，且x1x2，所以0，所以f（x1）f（x2）0即f（x1）f（x2），所以函数f（x）为R上的增函数（4分）（2）函数f（x）为奇函数，f（0）a10，a1（6分）当a1时，f（x）f（x），（8分）此时，f（x）为奇函数，满足题意，所以，a1（8分）（3）因为f（x）是奇函数，从而不等式f（t2+2）+f（t2tk）0对任意的tR恒成立等价于不等式f（t2+2）f（tkt2）对任意的tR恒成立（9分）又因为在（，+）上为增函数，所以等价于不等式t2+2tkt2对任意的tR恒成立，即不等式2t2kt+20对任意的tR恒成立（10分）所以必须有k2160，即4k4，所以实数k的取值范围k|4k4（12分）【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
