1、2017-2018学年广东省东莞市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确、请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑.）1（5分）已知集合A1，0，1，2，Bx|x213，xN，则AB等于（）A1，0，1，2B0，1，2，3C1，2D0，1，22（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）Ay1，yByx2，y（x+1）2Cyx，yDy|x|，y3（5分）若函数yax1+2（a0，a1）的图象经过定点P，则点P的坐标是（）A（1，3）B（1，1）C（3，1）D（2，2）4（5分）已知底面半径为1的圆锥侧面展开图是一个半圆
2、，则该圆锥的体积是（）ABCD5（5分）已知直线经过点（1，2）且与直线2x+3y1垂直，则l的方程为（）A2x+3y+40B2x+3y80C3x2y70D3x2y106（5分）函数f（x）log3x的零点所在的区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）7（5分）已知a，b，c，则a，b，c的大小关系是（）AcabBabcCbacDcba8（5分）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为40，则侧视图中的a（）A5B6C12D189（5分）若函数f（x）ax3+bx+1（ab0）的图象上有两点A，B，且它们的坐标分别为A（2017，2018）和B（2017，m），则实
3、数m的值为（）A2016B2018C2017D201610（5分）如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面A1B1C1，AA11，底面三角形A1B1C1是边长为2的正三角形，E是BC中点，则下列说法正确的是（）CC1与AB1所成角的余弦值为AB平面ACC1A1三角形AB1E为直角三角形A1C1平面AB1EABCD11（5分）对于任意x，x表示不超过x的最大整数，如1.11，2.13）定义R上的函数，f（x）2x+4x，且Ay|yf（x），0x1，则集合A中所有元素的和为（）A13B14C15D1612（5分）已知函数yf（x）为R上的偶函数，当x0时，函数f（x），若关于x的方程f
4、（x）2+af（x）+b0（a，bR）有且仅有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A（2，1）B（2，）C（，0）D（1，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡中相应的位置上.）13（5分）函数f（x）ln（2x+1）的定义域是 14（5分）已知两条平行直线l1：3x+my+50，l2：6x8y+250，则直线l2，l2之间的距离是 15（5分）已知四棱锥PABCD满足PAPBPCPDAB2，且底面ABCD为正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为 16（5分）已知函数f（x），若不等式f（kx2）+f（2x1）0对任意xR恒成立，则实数k的取值范围是 三、
5、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知集合Ax|22x15，集合Bx|xa（1）当a1时，求（RB）A；（2）若ABB、求实数a的取值范围18（10分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x0时，f（x）x2x（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）（x0），求证：函数g（x）在（0，+）单调递增19（12分）某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为300元，每桶水的进价是8元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元91011121314日均销售量/桶550500450400350300请根据以上数据分析，这个店怎样
6、定每桶水的单价才能获得最大利润？最大利润是多少？20（12分）已知ABC的边AB所在直线方程为y3x，BC所在直线方程为yax+12，AC边上的高BD所在直线方程为yx+8（1）求实数a的值；（2）若AC边上的高BD，求边AC所在的直线方程21（12分）如图，四棱锥EABCD中，底面ABCD为菱形，BE平面ABCD（1）求证：AC平面BED；（2）若ABC120，AEEC，AB2，求三棱锥EABD的体积22（14分）已知函数f（x）x|xa|+2x（aR）（1）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若存在实数a4，4使得关于x的方程f（x）tf（a）0恰有三个不相等的实数根，
7、求实数t的取值范围2017-2018学年广东省东莞市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确、请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑.）1（5分）已知集合A1，0，1，2，Bx|x213，xN，则AB等于（）A1，0，1，2B0，1，2，3C1，2D0，1，2【分析】分别求出集合A，B，由此能求出AB【解答】解：集合A1，0，1，2，Bx|x213，xN0，1，2，3，AB0，1，2故选：D【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（5分）下列各组函数
8、中，表示同一函数的是（）Ay1，yByx2，y（x+1）2Cyx，yDy|x|，y【分析】可以看出选项A的两函数的定义域不同，不是同一函数；选项B，D的函数解析式不同，不是同一函数，从而只能选C【解答】解：Ay1的定义域为R，的定义域为x|x0，定义域不同，不是同一函数；Byx2和y（x+1）2的解析式不同，不是同一函数；Cyx的定义域为R，的定义域为R，定义域和解析式都相同，是同一函数；D.，解析式不同，不是同一函数故选：C【点评】考查函数的定义，判断两函数是否为同一函数的方法：看定义域和解析式是否都相同3（5分）若函数yax1+2（a0，a1）的图象经过定点P，则点P的坐标是（）A（1，3
9、）B（1，1）C（3，1）D（2，2）【分析】根据指数函数恒过定点（1，0），即可求得函数y的图象所过定点坐标【解答】解：函数yax1+2中，令x10，解得x1，此时y3；所以函数y的图象恒过定点P（1，3）故选：A【点评】本题考查了指数函数图象恒过定点的应用问题，是基础题4（5分）已知底面半径为1的圆锥侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积是（）ABCD【分析】利用底面半径为1的圆锥的侧面展开图是一个半圆，求出圆锥的母线长，求出高，即可求此圆锥的体积【解答】解：设圆锥的母线长为l，则l21，l2，圆锥的高为：圆锥的体积是12故选：A【点评】本题考查圆锥的体积，考查学生的计算能力，求出圆锥的母线
10、长是关键5（5分）已知直线经过点（1，2）且与直线2x+3y1垂直，则l的方程为（）A2x+3y+40B2x+3y80C3x2y70D3x2y10【分析】由条件利用两条直线垂直的性质求得要求直线的斜率，再用点斜式求得要求直线的方程【解答】解：由题意可得，要求直线的斜率为，再根据所求直线过点（1，2），可得它的方程为y+2（x1），即3x2y70，故选：C【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题6（5分）函数f（x）log3x的零点所在的区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【分析】连续函数f（x）log3x在（0，+）上单调递增，推出f（1）
11、0，f（3）0，根据函数的零点的判定定理可求【解答】解：连续函数f（x）log3x在（0，+）上单调递增，f（1）10，f（2）log32log30f（x）log3x的零点所在的区间为（1，2）故选：B【点评】本题主要考查了函数零点的定义及判定定理的应用，属于基础试题7（5分）已知a，b，c，则a，b，c的大小关系是（）AcabBabcCbacDcba【分析】根据指数函数的图象与性质，判断0a1，b1，0c1，结合选项得出cab【解答】解：由指数函数的图象与性质知，a1，b1，又c1，结合选项知a，b，c的大小关系是cab故选：A【点评】本题看出来指数函数的图象与性质的应用问题，是基础题8（5
12、分）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为40，则侧视图中的a（）A5B6C12D18【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据利用几何体的体积，求出高h即可【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长5，a的矩形，一条侧棱垂直底面高为4，所以四棱锥的体积为：54a40，所以a6故选：B【点评】本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查几何体的体积的计算，考查计算能力9（5分）若函数f（x）ax3+bx+1（ab0）的图象上有两点A，B，且它们的坐标分别为A（2017，2018）和B（2017，m），则实数m的值为（）A2016B2018C2017D2016【分析】根据点
13、A（2017，2018）在f（x）的图象上可以得出a20173+b20172017，再根据点B（2017，m）在f（x）的图象上可得出m（a20173+b2017）+12016【解答】解：函数f（x）的图象上有两点A（2017，2018），B（2017，m），a20173+b2017+12018，a20173+b20172017，ma20173b2017+1（a20173+b2017）+12017+12016故选：D【点评】考查奇函数的定义，函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系10（5分）如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面A1B1C1，AA11，底面三角形A1B1C1是边长
14、为2的正三角形，E是BC中点，则下列说法正确的是（）CC1与AB1所成角的余弦值为AB平面ACC1A1三角形AB1E为直角三角形A1C1平面AB1EABCD【分析】根据线面垂直、线面平行定理逐一进行判断即可【解答】解：对于，因为CC1AA1，所以CC1与AB1所成角即为B1AA1，根据题意，可求得，所以cosB1AA1，故对；对于，由题意ABC是等边三角形，所以不可能使得AB平面ACC1A1对于，根据题意可求AE，B1E，则B1E2+AE2，所以三角形AB1E是直角三角形，故对；对于，由图可知A1C1平面AB1E不成立故选：C【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于
15、中档题11（5分）对于任意x，x表示不超过x的最大整数，如1.11，2.13）定义R上的函数，f（x）2x+4x，且Ay|yf（x），0x1，则集合A中所有元素的和为（）A13B14C15D16【分析】根据新定义，x表示不超过x的最大整数，要求yf（x）2x+4x，需要分类讨论有几个界点x，对其进行讨论，从而进行求本题【解答】解：由条件知集合Ay|yf（x），0x1，f（x）2x+4x，当x0，）时，2x0，），4x0，1），f（x）2x+4x0+00；当x，）时，2x，1），4x1，2），f（x）2x+4x0+11；当x，）时，2x1，），4x2，3），f（x）2x+4x1+23；当x，1）
16、时，2x，2），4x3，4），f（x）2x+4x1+34；当x1时，2x2，4x4，f（x）2x+4x2+46；所以集合A中所有元素的和为：0+1+3+4+614故选：B【点评】本题主要考查函数的值，需要分类进行讨论，新定义一般需要认真读题，理解题意，是一道基础题12（5分）已知函数yf（x）为R上的偶函数，当x0时，函数f（x），若关于x的方程f（x）2+af（x）+b0（a，bR）有且仅有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A（2，1）B（2，）C（，0）D（1，0）【分析】根据函数的奇偶性，作出函数f（x）的图象，设tf（x），判断方程tf（x）的根的个数，将条件方程转化为关于t的
17、方程t2+at+b0（a，bR）有且仅有2个不同的实数根，结合一元二次方程根与系数之间的关系进行转化求解即可【解答】解：yf（x）为R上的偶函数，作出函数f（x）的图象如图：设tf（x），则由图象知当t1时，f（x）1，有3个不同的根，当t1时，f（x）t，有4个不同的根，当0t时，f（x）t，有2个不同的根，若关于x的方程f（x）2+af（x）+b0（a，bR）有且仅有7个不同的实数根，等价为关于t的方程t2+at+b0（a，bR）有且仅有2个不同的实数根，且满足t11或t21，则t1+t2a，即a2，则2a，即实数a的取值范围是（2，），故选：B【点评】本题主要考查函数与方程的应用，结合函
18、数奇偶性以及分段函数的表达式作出函数的图象，利用换元法转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系进行转化是解决本题的关键综合性较强二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡中相应的位置上.）13（5分）函数f（x）ln（2x+1）的定义域是【分析】可看出，要使得函数f（x）有意义，则需满足2x+10，解出x的范围即可【解答】解：要使f（x）有意义，则2x+10，解得，f（x）的定义域是故答案为：【点评】考查函数定义域的定义及求法，描述法表示集合的定义14（5分）已知两条平行直线l1：3x+my+50，l2：6x8y+250，则直线l2，l2之间的距离是【分析】利用两平
19、行线间的距离公式直接求解【解答】解：两条平行直线l1：3x+my+50，l2：6x8y+250，l1：6x8y+100，直线l2，l2之间的距离：d故答案为：【点评】本题考查两平行线间的距离的求法，考查平行线间的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15（5分）已知四棱锥PABCD满足PAPBPCPDAB2，且底面ABCD为正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为【分析】根据正四棱锥PABCD的外接球的球心在它底面的高上，画出示意图，利用勾股定理即可解决【解答】解：根据题意可知：该四棱锥为正四棱锥，所以外接球的球心在底面的高上，如图，PO，设球的半径为R，所以MOR，AO，AMR则在RtA
20、MO中，AM2AO2+MO2，即R22+（R）2，解得R，所以该四棱锥则外接球表面积为故答案为【点评】本题考查四棱锥外接球的表面积，判断出球心在正四棱锥底面的高上是关键，属于中档题16（5分）已知函数f（x），若不等式f（kx2）+f（2x1）0对任意xR恒成立，则实数k的取值范围是（，1）【分析】容易求出f（x）f（x），并且分离常数得出，这样可判断出f（x）在R上是增函数，这样即可由原不等式可得出不等式kx2+2x10对任意的xR恒成立，从而得出，解出k的范围即可【解答】解：，又，f（x）在R上单调递增，由f（kx2）+f（2x1）0得，f（kx2）f（2x+1），kx22x+1，即kx2
21、+2x10对任意xR恒成立，解得k1，实数k的取值范围是（，1）故答案为：（，1）【点评】考查奇函数的定义及判断，分离常数法的运用，考查指数函数、反比例函数和复合函数的单调性，增函数的定义，以及一元二次不等式ax2+bx+c0恒成立时，a，b，c所满足的条件三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知集合Ax|22x15，集合Bx|xa（1）当a1时，求（RB）A；（2）若ABB、求实数a的取值范围【分析】（1）可求出集合，a1时求出集合B，然后进行交集、补集的运算即可；（2）根据ABB即可得出AB，从而得出a【解答】解：（1），a1时，Bx
22、|x1，RBx|x1，；（2）ABB，AB，实数a的取值范围为【点评】考查描述法的定义，以及交集、补集和并集的运算，并集和子集的定义18（10分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x0时，f（x）x2x（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）（x0），求证：函数g（x）在（0，+）单调递增【分析】（1）根据函数奇偶性的性质，利用转化法进行转化求解即可（2）求出g（x）在x0时的解析式结合函数单调性的定义进行证明即可【解答】解：（1）若x0，则x0，则f（x）x2+x，f（x）是奇函数，f（x）x2+xf（x），即f（x）x2x，即f（x）（2）证明：当x0时，g（x）x1，设0x1x
23、2，则g（x1）g（x2）x1x2+（x1x2）（1+），0x1x2，x1x20，x1x20，则g（x1）g（x2）0，即g（x1）g（x2），则函数g（x）在（0，+）为增函数【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，结合奇偶性的性质以及函数单调性的性质是解决本题的关键19（12分）某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为300元，每桶水的进价是8元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元91011121314日均销售量/桶550500450400350300请根据以上数据分析，这个店怎样定每桶水的单价才能获得最大利润？最大利润是多少？【分析】求出日均销售量关于单价x的函
24、数，在得出利润关于x的函数f（x），根据二次函数的性质得出结论【解答】解：设销售单价为x元，日均销售量为y桶，由表格数据可知销售价每增加1元，日均销售量就减少50桶，故y是关于x的一次函数，不妨设ykx+b，则，解得，即y50x+1000设桶装水经营部的每日利润为f（x），则f（x）（50x+1000）（x8）30050（x14）2+1500，xN，且x8当x14时，f（x）取得最大值1500所以当每桶水定价14元时，利润最大，最大利润为1500元【点评】本题考查了函数解析式，函数最值的计算，属于基础题20（12分）已知ABC的边AB所在直线方程为y3x，BC所在直线方程为yax+12，AC边
25、上的高BD所在直线方程为yx+8（1）求实数a的值；（2）若AC边上的高BD，求边AC所在的直线方程【分析】（1）联立，解得x，y，代入yax+12，可得a（2）设D（b，c），则，解得b，c利用点斜式即可得出边AC所在的直线方程【解答】解：（1）联立，解得x2，y6，代入yax+12，可得：62a+12，解得a3（2）设D（b，c），则，解得b0，c8，或b4，c4边AC所在的直线方程为：y8x，或y4x4化为：xy8，或xy0【点评】本题考查了直线的交点、两点之间的距离公式、点斜式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题21（12分）如图，四棱锥EABCD中，底
26、面ABCD为菱形，BE平面ABCD（1）求证：AC平面BED；（2）若ABC120，AEEC，AB2，求三棱锥EABD的体积【分析】（1）证明ACBD，ACBE，即可证明AC平面BED；（2）由已知求解三角形可得BE，再由棱锥体积公式求解【解答】（1）证明：四边形ABCD为菱形，ACBD，BE平面ABCD，ACBE，又BDBEB，AC平面BED；（2）解：ABC120，AB2，ABDB2，AG，DG1，AEEC，EGAC，则BE，【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法属于中档题22（14分）已知函数f（x）x|xa|+2x（aR）（1）若函数f
27、（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若存在实数a4，4使得关于x的方程f（x）tf（a）0恰有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围【分析】（1）由题意知f（x）在R上是增函数，则，即即2a2，则a范围（2）当2a2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）tf（a）不可能有三个不等的实数根；当a（2，4时和当a4，2）时，等价转化f（x）的表达式，利用函数的单调性能得到实数t的取值范围【解答】解：（1）f（x）x|xa|+2x，由f（x）在R上是增函数，则，即2a2，则a范围为2a2；（2）当2a2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）tf（a）0不可能有三个
28、不等的实数根；则当a（2，4时，由f（x），得xa时，f（x）x2+（2a）x对称轴x，则f（x）在xa，+）为增函数，此时f（x）的值域为f（a），+）2a，+），xa时，f（x）x2+（2+a）x对称轴x，则f（x）在x（，为增函数，此时f（x）的值域为（，f（x）在x，+）为减函数，此时f（x）的值域为（2a，；由存在a（2，4，方程f（x）tf（a）2ta有三个不相等的实根，则2ta（2a，），即存在a（2，4，使得t（1，）即可，令g（a），只要使t（g（a）max即可，而g（a）在a（2，4上是增函数，g（a）maxg（4），故实数t的取值范围为（1，）；同理可求当a4，2）时，t的取值范围为（1，）；综上所述，实数t的取值范围为（1，）【点评】本题考查函数恒成立问题的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点解题时要认真审题，仔细解答
