1、2018-2019学年广东省佛山一中高一（下）第一次段考数学试卷（4月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）cos（2370）（）ABCD2（5分）在ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sinA：sinB：sinC3：5：7，则C（）A90B120C135D1503（5分）已知ABC中，a1，A30，则B等于（）A30B30或150C60D60或1204（5分）函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）5（5分）若cos（），则sin2（）ABCD6（5分）已知平
2、面向量（1，3），（x，3），且，则|+2|（）A10BC5D7（5分）已知，点C（1，0），D（4，5），则向量在方向上的投影为（）ABCD8（5分）如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若+，则+（）A2BCD9（5分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2a2+bc若sinBsinCsin2A，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形10（5分）已知向量，|0，若对任意的tR，|t|恒成立，则必有（）AB（）C（）D（+）（）11（5分）设O在ABC的内部，且，ABC的面积与AOC的面积之比为（）A3：1B4：1C5
3、：1D6：112（5分）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，bc，且满足若点O是ABC外一点，AOB（0），OA2OB2，平面四边形OACB面积的最大值是（）ABC3D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13（5分）已知数列an满足递推关系：，则a2019 14（5分）已知锐角，满足，则等于 15（5分）给出下列六个命题：若R，则（）（）；0，若，则；若，均为非零向量，则（）（）；若，则；若，则A、B、C、D必为平行四边形的四个顶点；若|，且，同向，则其中正确的命题序号是 16（5分）如图，在同一个平面内，向量，的模分别
4、为1，1，与的夹角为，且tan7，与的夹角为45若m+n（m，nR），则m+n 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知向量，（1）设与的夹角为，求cos的值；（2）若与垂直，求实数的值.18（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a2，c3，且满足（2ac）cosBbcosC，（1）求B；（2）求b及ABC的面积19（12分）已知向量（cosx，1），（sinx，）（1）当时，求sin2x（2）当时，求tan（2x）20（12分）如图所示，近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西20方
5、向有一个海面观测站B，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40方向，以40海里/小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D处，此时观测站测得B，D间的距离为21海里（）求sinBDC的值；（）试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A？21（12分）已知（sinx，cosx），（sinx，sinx），函数f（x）（1）求f（x）的对称轴方程；（2）求f（x）的单调区间；（3）若对任意实数x，不等式f（x）m2恒成立，求实数m的取值范围22（12分）如图所示，在平面内，四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内
6、部，AB1，ACCD，ACCD，记ABC（1）若45，求对角线BD的长度（2）当变化时，求对角线BD长度的最大值2018-2019学年广东省佛山一中高一（下）第一次段考数学试卷（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）cos（2370）（）ABCD【分析】利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解【解答】解：cos（2370）cos（6360+210）cos（180+30）cos30故选：C【点评】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思
7、想，属于基础题2（5分）在ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sinA：sinB：sinC3：5：7，则C（）A90B120C135D150【分析】利用正弦定理把已知比例中的角的正弦化成边，分别设出三边的长，利用余弦定理求得答案【解答】解：由正弦定理知2R，sinA，sinB，sinC，sinA：sinB：sinC3：5：7，a：b：c3：5：7，设a3t，b5t，c7t，cosC，0C180，C120故选：B【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用解题的巧妙之处是利用正弦定理和余弦定理完成角和边的问题的转化，属于基础题3（5分）已知ABC中，a1，A30，则B等于（）A30B30或1
8、50C60D60或120【分析】根据题意和正弦定理求出sinB的值，由边角关系、内角的范围、特殊角的三角函数值求出B【解答】解：由题意得，ABC中，a1，A30，由得，sinB，又ba，0B180，则B60或B120，故选：D【点评】本题考查正弦定理，以及边角关系的应用，注意内角的范围，属于基础题4（5分）函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）ABCD【分析】由题意求出A，T，利用周期公式求出，利用当x时取得最大值2，求出，即可得到函数的解析式【解答】解：由题意可知A2，T4（），2，因为：当x时取得最大值2，所以：22sin（2+），所以
9、：2+2k+，kZ，解得：2k，kZ，因为：|，所以：可得，可得函数f（x）的解析式：f（x）2sin（2x）故选：D【点评】本题是基础题，考查由yAsin（x+）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力，常考题型5（5分）若cos（），则sin2（）ABCD【分析】法1：利用诱导公式化sin2cos（2），再利用二倍角的余弦可得答案法：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sin+cos的值，再平方，即得sin2的值【解答】解：法1：cos（），sin2cos（2）cos2（）2cos2（）121，法2：cos（）（sin+cos），（1+sin2），sin221，故选：D【
10、点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档题6（5分）已知平面向量（1，3），（x，3），且，则|+2|（）A10BC5D【分析】根据向量平行求出x的值，结合向量模长的坐标公式进行求解即可【解答】解：（1，3），（x，3），且，则x1，即（1，3），则+2（1，3）+2（1，3）（12，36）（1，3），则|+2|，故选：D【点评】本题主要考查向量模长的计算，根据向量平行的坐标公式求出x的值是解决本题的关键7（5分）已知，点C（1，0），D（4，5），则向量在方向上的投影为（）ABCD【分析】运用向量的加减运算可得（5，5），运用向量的数量积的
11、坐标表示，以及向量在方向上的投影为，即可得到所求值【解答】解：，点C（1，0），D（4，5），可得（5，5），25+1515，|5，可得向量在方向上的投影为：故选：A【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示，以及向量的投影的概念，考查运算能力，属于基础题8（5分）如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若+，则+（）A2BCD【分析】建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出，【解答】解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为1，则（1，），（，1），（1，1）+，解得+故选：D【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题9（5分）在ABC中，角A
12、、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2a2+bc若sinBsinCsin2A，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形【分析】b2+c2a2+bc，利用余弦定理可得cosA，可得由sin Bsin Csin2A，利正弦定理可得：bca2，代入b2+c2a2+bc，可得bc【解答】解：在ABC中，b2+c2a2+bc，cosA，A（0，），sin Bsin Csin2A，bca2，代入b2+c2a2+bc，（bc）20，解得bcABC的形状是等边三角形故选：C【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10
13、（5分）已知向量，|0，若对任意的tR，|t|恒成立，则必有（）AB（）C（）D（+）（）【分析】向量模的运算及平面向量数量积的运算得：4（）24（2）0，即（2）20，所以20，所以）0，得解【解答】解：因为因为|t|恒成立，两边平方化简得：t22t+220对任意的tR恒成立，又|0，则4（）24（2）0，即（2）20，所以20，所以）0，即（），故选：C【点评】本题考查了向量模的运算及平面向量数量积的运算，属中档题11（5分）设O在ABC的内部，且，ABC的面积与AOC的面积之比为（）A3：1B4：1C5：1D6：1【分析】由题意，可作出示意图，令D是AB的中点，由，可得出O是CD的中点，
14、从而得出O到AC的距离是点B到AC的距离的，即可求出ABC的面积与AOC的面积之比【解答】解：如图，令D是AB的中点，则有又，即C，O，D三点共线，且OCODO到AC的距离是点D到AC的距离的，O到AC的距离是点B到AC的距离的，ABC的面积与AOC的面积之比为4故选：B【点评】本题考查向量的线性运算及其几何意义，解题的关键是由所给的条件得出点O是AB边上中线的中点，再由三角形底同时面积比即为高的比直接得出答案12（5分）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，bc，且满足若点O是ABC外一点，AOB（0），OA2OB2，平面四边形OACB面积的最大值是（）ABC3D【分析】依题意
15、，可求得ABC为等边三角形，利用三角形的面积公式与余弦定理可求得SOACB2sin（）+（0），从而可求得平面四边形OACB面积的最大值【解答】解：ABC中，sinBcosA+cosBsinAsinA，即sin（A+B）sin（C）sinCsinA，AC，又bc，ABC为等边三角形；SOACBSAOB+SABC|OA|OB|sin+|AB|221sin+（|OA|2+|OB|22|OA|OB|cos）sin+（4+1221cos）sincos+2sin（）+，0，当，即时，sin（）取得最大值1，平面四边形OACB面积的最大值为2+故选：A【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查余弦定理
16、的应用，求得SOACB2sin（）+是关键，也是难点，考查等价转化思想与运算求解能力，属于难题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13（5分）已知数列an满足递推关系：，则a2019【分析】将已知递推式两边取倒数，结合等差数列的通项公式，计算可得所求值【解答】解：，可得+1，可得2+（n1）n+1，即有an，则a2019故答案为：【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查等差数列的通项公式，运算能力，属于基础题14（5分）已知锐角，满足，则等于【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos、cos（）的值，可得tan，tan（）的值，再利用两角和差的正切公式求得tantan（
17、）的值【解答】解：锐角，满足，cos，cos（），tan，tan（），tantan（）1，故，故答案为：【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式，属于基础题15（5分）给出下列六个命题：若R，则（）（）；0，若，则；若，均为非零向量，则（）（）；若，则；若，则A、B、C、D必为平行四边形的四个顶点；若|，且，同向，则其中正确的命题序号是【分析】利用向量的运算法则平行，模长等相关知识逐一判断即可【解答】解：若R，则（）（）；由向量运算法则可知正确0，若，则；向量点乘时数量，如：（1，1），（0，1）；（1，0）；有，则；错误若，均为非零向量，则（）（）；向量的运算法则没有交
18、换律错误若，则；若错误若，则A、B、C、D必为平行四边形的四个顶点；四点不一定就是平行四边形，可能在一条直线上错误若|，且，同向，则向量无法比较大小错误其中正确的命题序号是：故答案为：【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了向量的相关知识，难度不大，属于中档题16（5分）如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1，1，与的夹角为，且tan7，与的夹角为45若m+n（m，nR），则m+n3【分析】如图所示，建立直角坐标系A（1，0）由与的夹角为，且tan7可得cos，sinC可得cos（+45）sin（+45）B利用m+n（m，nR），即可得出【解答】解：如图所示，建立直角坐标系A（1，0）由与
19、的夹角为，且tan7cos，sinCcos（+45）（cossin）sin（+45）（sin+cos）Bm+n（m，nR），mn，0+n，解得n，m则m+n3故答案为：3【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知向量，（1）设与的夹角为，求cos的值；（2）若与垂直，求实数的值.【分析】（1）根据平面向量的坐标表示与数量积运算，即可求出、的夹角余弦值；（2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程求出的值【解答】解：（1）向量，则41+3210，且|5，|；
20、设与的夹角为，则cos；（2）若与垂直，则（）（2+）0，即2+（12）0，所以252+10（12）50，解得【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与数量积运算问题，是基础题目18（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a2，c3，且满足（2ac）cosBbcosC，（1）求B；（2）求b及ABC的面积【分析】（1）由已知利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinAcosBsinA，结合sinA0，可求cosB，结合范围B（0，），可求B的值（2）由（1）可求sinB的值，由已知根据三角形的面积公式即可计算得解【解答】解：（1）（2ac）cosBbcosC
21、，（2sinAsinC）cosBsinBcosC，2sinAcosBsinCcosB+sinBcosC，2sinAcosBsinA，A（0，），sinA0，cosB，B（0，），B（2）B，a2，c3，sinB，SABCacsinB【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题19（12分）已知向量（cosx，1），（sinx，）（1）当时，求sin2x（2）当时，求tan（2x）【分析】（1）根据平面向量垂直的坐标表示列出方程求得sinxcosx，即可得出sin2x的值；（2）根据平面向量的共线定理与三角恒
22、等变换公式，求出tanx、tan2x和tan（2x）的值【解答】解：（1）向量（cosx，1），（sinx，），当时，sinxcosx+0，sinxcosx，sin2x；（2）当时，cosx（1）sinx0，tanx，tan2x，tan（2x）【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与三角恒等变换应用问题，是基础题20（12分）如图所示，近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西20方向有一个海面观测站B，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40方向，以40海里/小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到
23、达D处，此时观测站测得B，D间的距离为21海里（）求sinBDC的值；（）试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A？【分析】（）由已知可得 CD20，BDC中，根据余弦定理求得 cosBDC 的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sinBDC 的值（）由已知可得BAD60，由此可得sinABDsin（BDC60）的值，再由正弦定理求得AD的值，由此求得海警船到达A的时间【解答】解：（）由已知可得 CD4020，BDC中，根据余弦定理求得 cosBDC，sinBDC（）由已知可得BAD20+4060，sinABDsin（BDC60）（）ABD中，由正弦定理可得AD15，t22.5分钟即海警船再向前
24、航行22.5分钟即可到达岛A【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系的应用，两角和差的正弦公式公式的应用，属于中档题21（12分）已知（sinx，cosx），（sinx，sinx），函数f（x）（1）求f（x）的对称轴方程；（2）求f（x）的单调区间；（3）若对任意实数x，不等式f（x）m2恒成立，求实数m的取值范围【分析】（1）利用向量数量积的定义求出函数f（x）的表达式，结合三角函数的对称性进行求解（2）利用三角函数的单调性的性质进行求解，（3）利用参数分离法将不等式进行转化，结合三角函数的有界性求出函数的最值即可【解答】解：（1）f（x）sin2x+sinxc
25、osxcos2x+sin2x+sin（2x），由2xk+，得x+，kZ，即f（x）的对称轴方程为x+，kZ；（2）由2k+2x2k+，kZ，即k+xk+，kZ，故函数的递增区间为k+，k+，kZ，由2k2x2k+，kZ，即kxk+，kZ，故函数的递减区间为k，k+，kZ，（3）若对任意实数x，不等式f（x）m2恒成立，则mf（x）2sin（2x）2sin（2x），2x，2x，又ysinx在上是增函数，sin又sinsin（）sincoscossin，f（x）在x，时的最大值是fmax（x）不等式f（x）m2恒成立，即f（x）2m恒成立，即m，所以，实数m的取值范围是【点评】本题考查向量的数量积
26、的计算两角和与差的三角函数正弦函数的对称轴方程以及单调性的应用，考查计算能力22（12分）如图所示，在平面内，四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部，AB1，ACCD，ACCD，记ABC（1）若45，求对角线BD的长度（2）当变化时，求对角线BD长度的最大值【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理即可求出（2）先根据余弦定理求出AC232cos，再根据正弦定理可得sinACB，再用诱导公式可得cosBCD，再根据余弦定理可得BD25+4sin（），根据正弦函数的图象和性质即可求出最值【解答】解：（1）在ABC中，AB1，BC，ABC45，由余弦定理可得：AC2AB2+BC22ABBCcosAB
27、C1，AC1，ABC为等腰直角三角形，BCD135，在BCD中，BC，CDAC1，BCD135，由余弦定理可得：BD2BC2+CD22CDBCcosBCD5，BD（2），在ABC中，AB1，BC，ABC，由余弦定理可得：AC2AB2+BC22ABBCcosABC32cos，又由正弦定理可得，即，sinACB，cosBCDcos（+ACB）sinACB，在BCD中，BC，CDAC，由余弦定理可得：BD2BC2+CD22CDBCcosBCD5+2（sincos）5+4sin（），当时，（BD2）max9，则BDmax3【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，以及正弦函数的图象和性质，属于中档题
