1、2018-2019学年广东省惠州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1（5分）已知ABC三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若C90，B30，c6，则b等于（）A3BCD2（5分）已知ABC三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若A120，b3，c8，则ABC的面积等于（）A6BC12D3（5分）从总数为N的一批零件中随机抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽中的可能性为25%，则N为（）A200B150C120D1004（5分）在等比数列an中，若a3a764，则a5的值为（）A8B8C4D
2、165（5分）已知ABC三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若b2asinB，则A等于（）A30B60C60或120D30或1506（5分）一条直线经过点，并且它的倾斜角等于直线倾斜角的2倍，则这条直线的方程是（）ABCD7（5分）若a、b、cR，ab，则下列不等式成立的是（）ABa2b2CDa|c|b|c|8（5分）已知函数，则不等式f（a24）f（3a）的解集为（）A（4，1）B（1，4）C（1，4）D（0，4）9（5分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，则异面直线AC1与CD所成角的大小为（）ABCD或10（5分）不等式的解集是（）ABCD11（5分）点（3，4）关于直线xy+6
3、0的对称点的坐标为（）A（4，3）B（2，9）C（4，3）D（2，9）12（5分）在明朝程大位算法统宗中，有这样一首歌谣，叫浮屠增级歌：远看巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问层三几盏灯这首古诗描述的浮屠，现称宝塔本浮屠增级歌意思是：有一座7层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，宝塔中共有灯381盏，问这个宝塔第3层灯的盏数有（）A12B24C48D96二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知球的表面积为4，则该球的体积为 14（5分）如图，长方体OABCD'A'B'C'中，|OA|3，|OC|4，|OD&#
4、39;|5，A'C'与B'D'相交于点P，则点P的坐标为 15（5分）已知x，求函数y4x2+的最小值是 16（5分）已知M（x，y）|y，y0，N（x，y）|yx+b，若MN，则b 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）等差数列an中，a24，a4+a715（1）求数列an的通项公式；（2）设，求数列bn前10项的和18（12分）已知锐角ABC三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且（1）求A的大小；（2）若，求ABC的面积19（12分）某工厂为了对研发的一种产
5、品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x元99.29.49.69.810销量y件1009493908578（1）若销量y与单价x服从线性相关关系，求该回归方程；（2）在（1）的前提下，若该产品的成本是5元/件，问：产品该如何确定单价，可使工厂获得最大利润附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回归直线的斜率的最小二乘估计值为；本题参考数值：20（12分）如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，ABBC，ABBC1，PA平面ABCD，CDPC（1）证明：CD平面PAC；（2）若PAAD，求点B到平面PAC的距离21（12分）已知数列an的前n
6、项和为，其中nN*（1）当2时，求数列an的通项公式；（2）当0时，令，求数列bn的前n项和Tn22（12分）已知圆O：x2+y24与圆B：（x+2）2+（y2）24（1）求两圆的公共弦长；（2）过平面上一点Q（x0，y0）向圆O和圆B各引一条切线，切点分别为C、D，设，求证：平面上存在一定点M使得Q到M的距离为定值，并求出该定值2018-2019学年广东省惠州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1（5分）已知ABC三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若C90，B30，c6，则b等
7、于（）A3BCD【分析】由已知利用正弦定理，特殊角的三角函数值即可求解b的值【解答】解：C90，B30，c6，由正弦定理，可得：b3故选：A【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题2（5分）已知ABC三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若A120，b3，c8，则ABC的面积等于（）A6BC12D【分析】由已知利用三角形的面积公式即可计算求解【解答】解：A120，b3，c8，故选：B【点评】本题主要考查了三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题3（5分）从总数为N的一批零件中随机抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽中的可能性为25%，则N为
8、（）A200B150C120D100【分析】根据题意，由等可能事件的概率公式，可得每个零件被抽到的可能性为，解可得N的值，即可得答案【解答】解：根据题意，由等可能事件的概率公式，可得每个零件被抽到的可能性为，解可得N120；故选：C【点评】本题结合抽样方法考查等可能事件的概率公式的应用，是简单题；灵活运用等可能事件概率公式解题即可4（5分）在等比数列an中，若a3a764，则a5的值为（）A8B8C4D16【分析】由等比数列定义，可知a3，a5 a7成等比数列，得到a3a7a52，题目可解【解答】解：a3，a5 a7成等比数列，根据等比中项的概念a3a7a5264，a58故选：B【点评】本题考
9、查等比数列的定义，等比中项的概念，属于基础题5（5分）已知ABC三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若b2asinB，则A等于（）A30B60C60或120D30或150【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，得出sinA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数【解答】解：由正弦定理化简已知的等式b2asinB得：sinB2sinAsinB，sinB0，sinA，A为三角形的内角，则A30或150故选：D【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键6（5分）一条直线经过点，并且它的倾斜角等于直线倾斜角的2倍，则
10、这条直线的方程是（）ABCD【分析】根据题意，分析直线线的斜率，即可得其倾斜角，进而可得所求直线的倾斜角与斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案【解答】解：根据题意，已知直线的斜率k，则其倾斜角为30，故所求直线的倾斜角为60，得出其斜率为，由直线的点斜式得y（）（x2），即故选：B【点评】本题考查直线的点斜式方程，涉及直线的倾斜角，属于基础题7（5分）若a、b、cR，ab，则下列不等式成立的是（）ABa2b2CDa|c|b|c|【分析】本选择题利用取特殊值法解决，即取符合条件的特殊的a，b的值，可一一验证A，B，D不成立，而由不等式的基本性质知C成立，从而解决问题【解答】解：对于A，取a1，b
11、1，即知不成立，故错；对于B，取a1，b1，即知不成立，故错；对于D，取c0，即知不成立，故错；对于C，由于c2+10，由不等式基本性质即知成立，故对；故选：C【点评】本小题主要考查不等关系与不等式、不等关系与不等式的应用、不等式的基本性质等基础知识，属于基础题8（5分）已知函数，则不等式f（a24）f（3a）的解集为（）A（4，1）B（1，4）C（1，4）D（0，4）【分析】可看出f（x）是R上的减函数，从而根据f（a24）f（3a）得出a243a，解出a的范围即可【解答】解：f（x）在R上单调递减；由f（a24）f（3a）得，a243a；解得1a4；原不等式的解集为（1，4）故选：B【点评
12、】考查指数函数的单调性，以及减函数的定义，一元二次不等式的解法9（5分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，则异面直线AC1与CD所成角的大小为（）ABCD或【分析】由CDAB，可知C1AB即为异面直线AC1与CD所成的角，在RTC1AB中求出C1AB即可【解答】解：如图，连接BC1，AC1，由CDAB，可知C1AB即为异面直线AC1与CD所成的角，在RTC1AB中，C1AB直线AC1与CD所成的角为故选：C【点评】本题考查异面直线所成角的大小，考查了数形结合思想和空间想象力，属中档题10（5分）不等式的解集是（）ABCD【分析】本题为选择题，可考虑用排除法，也可直接求解【解答】解：本小题主要
13、考查分式不等式的解法易知x1排除B；由x0符合可排除C；由x3排除A，故选D也可用分式不等式的解法，将2移到左边直接求解故选：D【点评】本题考查分式不等式的解法，注意分母不为0，属基本题11（5分）点（3，4）关于直线xy+60的对称点的坐标为（）A（4，3）B（2，9）C（4，3）D（2，9）【分析】设出对称点的坐标，利用斜率乘积为1，对称的两个点的中点在对称轴上，列出方程组，求出对称点的坐标即可【解答】解：设对称点的坐标为（a，b），由题意可知，解得a2，b9，点（3，4）关于直线xy+60的对称点的坐标是（2，9）故选：D【点评】本题考查了点关于直线的对称点的求法、中点坐标公式、相互垂直
14、的直线斜率之间的关系，属于基础题12（5分）在明朝程大位算法统宗中，有这样一首歌谣，叫浮屠增级歌：远看巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问层三几盏灯这首古诗描述的浮屠，现称宝塔本浮屠增级歌意思是：有一座7层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，宝塔中共有灯381盏，问这个宝塔第3层灯的盏数有（）A12B24C48D96【分析】从第1层到塔顶第7层，每层的灯数构成一个等比数列，公比为，前7项的和为381，利用等差数列前n项和公式求出第一层a1192，由此能求出这个宝塔第3层灯的盏数【解答】解：从第1层到塔顶第7层，每层的灯数构成一个等比数列，公比为，前7项的和为381，则，得第一层a
15、1192，则第三层，故选：C【点评】本题考查等比数列中第三项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知球的表面积为4，则该球的体积为【分析】由球的表面积是4，求出球的半径r1，由此能求出该球的体积【解答】解：一个球的表面积是4，球的半径r1，该球的体积是V故答案为：【点评】本题考查球的体积的求法，考查球的体积、表面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（5分）如图，长方体OABCD'A'B'C'中，|OA|3，|OC|4，|OD'|5，A'C'与
16、B'D'相交于点P，则点P的坐标为【分析】利用空间直角坐标系，以及中点坐标公式转化求解即可【解答】解：可知A'（3，0，5），C'（0，4，5），由中点坐标公式得P的坐标公式，即P故答案为：【点评】本题考查空间点的坐标的求法，空间向量的应用，考查计算能力15（5分）已知x，求函数y4x2+的最小值是5【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：x，4x50函数y4x2+（4x5）+35，当且仅当4x51，即x时取等号函数y4x2+的最小值是5故答案为：5【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题16（5分）已知M（x，y）|y，y0，N（x，y）|y
17、x+b，若MN，则b（3，3【分析】集合M表示以原点为圆心，3为半径的x轴上方的半圆，集合N中yx+b表示一条直线，由M与N交集不为空集得到两函数有交点，抓住两个关键点，当直线与半圆相切时，以及直线过（3，0）时，分别求出b的值，即可确定出b的范围【解答】解：画出图形，如图所示，当直线与半圆相切时，圆心（0，0）到切线的距离dr，即3，解得：b3或b3（舍去）；当直线过（3，0）时，将（3，0）代入直线解析式得：03+b，即b3，则b（3，3故答案为：（3，3【点评】此题考查了交集及其运算，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出
18、文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）等差数列an中，a24，a4+a715（1）求数列an的通项公式；（2）设，求数列bn前10项的和【分析】（1）解法1：设等差数列an的公差为d由已知得，求出首项与公差，然后求解通项公式解法2：依题意求出a24，得a911，然后求解公差，求出首项，然后求解通项公式（2）化简bn2n+n，利用分组求和求解即可【解答】解：（1）解法1：设等差数列an的公差为d由已知得，解得则ana1+（n1）dn+2所以数列an的通项公式ann+2（nN*）解法2：依题意：a4+a7a2+a915，且a24，得a911，则a13则ana1+（n1）dn+2所以数列an的
19、通项公式ann+2（nN*）（2）由（1）可得bn2n+n，所以b1+b2+b3+b10（2+1）+（22+2）+（23+3）+（210+10）（2+22+23+210）+（1+2+3+10）+（2112）+55211+532 101所以数列bn前10项的和是2 101注1：本解答过程，若结果计算错误，有明确的分组步骤，可给（1分）；等比求和或等差求和公式正确，可给（1分）注2：若计算出b1+b2+b3+bn，没有其它错误，第（2）问可得（4分）【点评】本题考查数列求和，等差数列与等比数列的应用，考查转化思想以及计算能力18（12分）已知锐角ABC三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且（
20、1）求A的大小；（2）若，求ABC的面积【分析】（1）由正弦定理得，结合sinB0，可求sinA的值，结合范围，可求A的值（2）由余弦定理可求，利用三角形的面积公式即可求解【解答】解：（1）由正弦定理得，sinB0，（2）由余弦定理a2b2+c22bccosA，得：21b2+c2bc，21（b+c）23bc，即，ABC的面积为【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题19（12分）某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x元99.29.49.69.810销量y件10094
21、93908578（1）若销量y与单价x服从线性相关关系，求该回归方程；（2）在（1）的前提下，若该产品的成本是5元/件，问：产品该如何确定单价，可使工厂获得最大利润附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回归直线的斜率的最小二乘估计值为；本题参考数值：【分析】（1）由题意求得b与a的值，可得线性回归方程；（2）设该产品的售价为x元，工厂利润为L元，由题意，x5，再由，得x14，故5x14，由L（x5）（20x+280）20（x5）（14x），然后利用基本不等式求最值【解答】解：（1）9.5，又，则故回归方程为；（2）设该产品的售价为x元，工厂利润为L元，当x5时，利润
22、L0，定价不合理，x5由，得x14，故5x14，L（x5）（20x+280）20（x5）（14x），当且仅当x514x，即x9.5时，L取得最大值因此，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为9.5元【点评】本题考查线性回归方程的求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题20（12分）如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，ABBC，ABBC1，PA平面ABCD，CDPC（1）证明：CD平面PAC；（2）若PAAD，求点B到平面PAC的距离【分析】（1）证明PACD结合PCCD，即可证明CD平面PAC（2）解法1，通过转化求解VPABCVBPAC，推出点B到平面PAC的距离为，解法2：取AC的中
23、点O，连接BO，说明点B到平面PAC的距离为线段BO的长，通过求解三角形求解即可【解答】（1）证明：PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD又PCCD，PAPCP，PA平面PAC，PC平面PAC，CD平面PAC（2）解法1：由已知得BACCAD45，所以，且由（1）可知CDAC，由勾股定理得ADPA2，PA平面ABCD，且，由VPABCVBPAC，得，即点B到平面PAC的距离为，解法2：取AC的中点O，连接BO，ABBC，则BOAC，由PA平面ABCD，BO平面ABCD，PABO，且PAACA，AC面PAC，PA面PACBO平面PAC即点B到平面PAC的距离为线段BO的长，ABBC1，AB
24、BC，即点B到平面PAC的距离为【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，空间点线面距离的计算，考查计算能力21（12分）已知数列an的前n项和为，其中nN*（1）当2时，求数列an的通项公式；（2）当0时，令，求数列bn的前n项和Tn【分析】（）利用数列的递推关系式求出数列的通项公式（）利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和【解答】解：（）数列an的前n项和为当2，n1时，当n2时，得：，（首相不符合通项），所以：（）当0时，当n2时，得：，所以：令bn，所以：，则：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列
25、求和中的应用主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型22（12分）已知圆O：x2+y24与圆B：（x+2）2+（y2）24（1）求两圆的公共弦长；（2）过平面上一点Q（x0，y0）向圆O和圆B各引一条切线，切点分别为C、D，设，求证：平面上存在一定点M使得Q到M的距离为定值，并求出该定值【分析】（1）解法1：求出两圆的公共弦所在直线方程为l：xy+20，求出点到直线的距离，然后求解公共弦长解法2：求出公共弦方程，然后求解两圆的交点E（0，2）和F（2，0），利用距离公式求解即可解法3：画出两圆图象（如右图），从图象可得两圆的交点坐标，然后利用距离公式求解即可解法4：设两圆的交点分别为E，
26、F，说明四边形OEBF为平行四边形，根据平行四边形的性质从而有OB2+EF2OE2+OF2+BE2+BF2，求解即可（2）通过推出，说明存在定点M（，）使得Q到M的距离为定值，求解即可【解答】（本小题满分12分）解：（1）解法1：由，相减得两圆的公共弦所在直线方程为l：xy+20，设（0，0）到l的距离为d，则d，公共弦长m2公共弦长为解法2：由，相减，得yx+2，再代入圆方程，可得或两圆的交点E（0，2）和F（2，0），则所以公共弦长为解法3：画出两圆图象（如右图），从图象可得两圆的交点E（0，2）和F（2，0），则所以公共弦长为解法4：设两圆的交点分别为E，F，因为两圆半径相等，所以有OEOFBEBE2，从而可得四边形OEBF为平行四边形，根据平行四边形的性质从而有OB2+EF2OE2+OF2+BE2+BF2，解得所以公共弦长为（2）证明：由题设得：化简得：，配方得：，存在定点M（，）使得Q到M的距离为定值，且该定值为【点评】本题考查直线与圆的方程的综合应用，公共弦的求法，考查数形结合以及计算能力
