1、2018-2019学年广东省揭阳市普宁市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知集合A2，1，1，2），Bx|1，则AB（）A2，1，2B2，1，1C2，2D22（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）ABCD3（5分）已知函数f（x），则f（f（2）（）A2B2C1D14（5分）下列函数中，值域为0，+）的是（）Ay2xBCytanxDycosx5（5分）根据如下样本数据得到的回归直线方程
2、bx+a，下列说法正确的是（）Aa0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b06（5分）矩形ABCD中，（3，1），（2，k），则实数k（）A16B6C4D7（5分）把函数ycosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移个单位，则所得图形对应的函数解析式为（）Aycos（）Bycos （2x+）Cycos（）Dycos（2x+）8（5分）五曹算经是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书，其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何？”其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？”已知
3、1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的稻谷约有（）A57.08斛B171.24斛C61.73斛D185.19斛9（5分）已知直线y2x+m与圆C相切于点（2，1），且圆C的圆心在y轴上，则圆C的标准方程为（）A（x2）2+y217Bx2+（y2）213Cx2+（y+2）25D（x+2）2+y2110（5分）如图所示，已知以正方体所有面的中心为顶点的多面体的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（）A12B15C16D1011（5分）已知函数f（x）ex+x，g（x）lnx+x，h（x）的零点分别为a，b，c，则（）AabcBbcaCcabDacb12（5分）
4、已知yf（x）+cosx是奇函数，且f（2019）1若g（x）f（x）+2，则g（2019）（）A1B2C3D4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.答题结果填写在答题卷中相应题号后的横线上）13（5分）已知（，），tan2，则cos 14（5分）直线yx+2与圆C：x2+y22y20交于A，B两点，则|AB| 15（5分）已知a0且a1，函数yloga（x+1）+1的图象恒经过定点A，若函数f（x）x2b（2x+1）的图象也经过点A，则f（x）的单调递增区间为 16（5分）如图，C是以AB为直径的半圆周上一点，已知在半圆内任取一点，该点恰
5、好在ABC内部的概率为，则ABC的较小的内角为 三、解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知a0，函数f（x），（xR）（1）证明：f（x）是奇函数；（2）如果方程f（x）1只有一个实数解，求a的值18（12分）已知函数f（x）2sin2x+2sinxcosx+1，xR（1）求f（x）的最小正周期；（2）若x，求 f（x）的最大值和最小值，并写出相应的x的值19（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，E和F分别是CD和PC的中点求证：（1）PA平面BEF；（2）平面BEF平面PCD
6、20（12分）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）（1）A类工人中和B类工人各抽查多少工人？（2）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2表1：生产能力分组100，110）110，120）120，130）130，140）140，150）人数48x53表2：生产能力分组110，120）120，130）130，140）140，150）人数6y3618先确定x，y，再在答题纸上
7、完成下列频率分布直方图就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）21（12分）已知函数f（x），g（x）1f（x），且g（x）是R上的奇函数（1）求实数a的值；（2）判断函数g（x）的单调性（不必说明理由），并求不等式g（2x1）+g（x）0的解集；（3）若不等式f（x）bg（x）对任意的x0，3恒成立，求实数b的取值范围22（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1：x2+y2mx14y+60
8、0，三个点A（2，4）、B、C均在圆O1上，（1）求该圆的圆心O1的坐标；（2）若，求直线BC的方程；（3）设点T（0，t）满足四边形TABC是平行四边形，求实数t的取值范围2018-2019学年广东省揭阳市普宁市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知集合A2，1，1，2），Bx|1，则AB（）A2，1，2B2，1，1C2，2D2【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出AB【解答】解：集合A2，1，1，2，x|x0或x1，AB2，1，2故选：A【点评】本题考查交集的求法，考查
9、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）ABCD【分析】先求出基本事件总数n10，再求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m4，由此能求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，基本事件总数n10，取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m4，取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p故选：C【点评】本小题
10、主要考查概率、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是基础题3（5分）已知函数f（x），则f（f（2）（）A2B2C1D1【分析】根据分段函数的表达式，直接代入即可得到结论【解答】解：由分段函数的表达式可知f（2）1020，则f（f（2）f（102）lg1022，故选：B【点评】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式是解决本题的关键4（5分）下列函数中，值域为0，+）的是（）Ay2xBCytanxDycosx【分析】此题考查求函数的定义域与值域，对应求出值域即可确定正确答案为B【解答】解：A，y2x的值域为（0，+），故A错B，y的定义域为0，+），值域也是0，
11、+），故B正确 C，ytanx的值域为（，+），故C错 D，ycosx的值域为1，+1，故D错故选：B【点评】本题目属于基础题型，准确求出每一个函数的值域，即可确定正确答案，考查学生的基础解题能力5（5分）根据如下样本数据x345678y4.02.50.50.52.03.0得到的回归直线方程bx+a，下列说法正确的是（）Aa0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b0【分析】由已知求得均大于0，再由x增大时，y呈现减少趋势知b0，结合线性回归方程可得a0【解答】解：0，0，由已知中的数据，x增大时，y呈现减少趋势，故y与x负相关，则b0，0故选：D【点评】本题考查线性回归方程，是基础的计算题6
12、（5分）矩形ABCD中，（3，1），（2，k），则实数k（）A16B6C4D【分析】根据题意即可得出，从而得出，进行数量积的坐标运算即可求出实数k【解答】解：据题意知，；k6故选：B【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算7（5分）把函数ycosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移个单位，则所得图形对应的函数解析式为（）Aycos（）Bycos （2x+）Cycos（）Dycos（2x+）【分析】函数ycosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），的系数变为原来的2倍，即为2，然后根据平移求出函数的解析式【解答】解：函数
13、ycosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），得到ycos2x，把图象向左平移 个单位，得到ycos2（x+）cos（2x+）故选：D【点评】本题考查函数yAsin（x+）的图象变换准确理解变换规则是关键8（5分）五曹算经是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书，其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何？”其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的稻谷约有（）A57.08斛B171.24斛C61.73斛D185.
14、19斛【分析】根据圆锥的周长求出底面半径，再计算圆锥的体积，从而估算堆放的稻谷数【解答】解：设圆锥形稻谷堆的底面半径为r尺，则底面周长为l2r30尺，解得r尺，又高为h4尺，所以圆锥的体积为Vr2h4100（立方尺）；又61.73（斛），所以估算堆放的稻谷约有61.73（斛）故选：C【点评】本题考查了椎体的体积计算问题，也考查了实际应用问题，是基础题9（5分）已知直线y2x+m与圆C相切于点（2，1），且圆C的圆心在y轴上，则圆C的标准方程为（）A（x2）2+y217Bx2+（y2）213Cx2+（y+2）25D（x+2）2+y21【分析】先代入点（2，1）可得m3，再根据斜率关系列式可得圆心
15、坐标，然后求出半径，写出标准方程【解答】解：将切点（2，1）代入切线方程可得：12（2）+m，解得m3，设圆心为（0，b），所以，解得b2，所以圆C的半径r，所以圆C的标准方程为x2+（y+2）25故选：C【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题10（5分）如图所示，已知以正方体所有面的中心为顶点的多面体的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（）A12B15C16D10【分析】设正方体的棱长为2a，则中间四棱锥的底面边长为，由已知多面体的体积求解a，得到正方体外接球的半径，则外接球的表面积可求【解答】解：设正方体的棱长为2a，则中间四棱锥的底面边长为，多面体的体积为，即a1正方体的对角线
16、长为则正方体的外接球的半径为表面积为S故选：A【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是基础题11（5分）已知函数f（x）ex+x，g（x）lnx+x，h（x）的零点分别为a，b，c，则（）AabcBbcaCcabDacb【分析】a，b，c分别为f（x）0，g（x）0，h（x）0的根，作出yex，ylnx，y的图象与直线yx，观察交点的横坐标的大小关系【解答】解：由题意可得a，b，c分别为f（x）0，g（x）0，h（x）0的根，作出yex，ylnx，y的图象与直线yx的交点的横坐标分别为a，b，c，由图象可得acb，故选：B【点评】解决函数的零点问题可以应用图象法，找
17、到交点的横坐标，数形结合思想是解决问题的常用方法12（5分）已知yf（x）+cosx是奇函数，且f（2019）1若g（x）f（x）+2，则g（2019）（）A1B2C3D4【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（x）+cosx+f（x）+cos（x）0，变形可得：f（2019）+f（2019）20，结合题意计算可得f（2019）的值，进而计算可得答案【解答】解：根据题意，yf（x）+cosx是奇函数，则f（x）+cosx+f（x）+cos（x）0，变形可得：f（x）+f（x）+2cosx0，则有f（2019）+f（2019）+2cos20190，即f（2019）+f（2019）20，又由f（2
18、019）1，则f（2019）1，g（2019）f（2019）+23，故选：C【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及诱导公式的应用，属于基础题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.答题结果填写在答题卷中相应题号后的横线上）13（5分）已知（，），tan2，则cos【分析】先利用的范围确定cos的范围，进而利用同脚三角函数的基本关系，求得cos的值【解答】解：a（，），cos0cos故答案为：【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用解题的关键是利用那个角的范围确定三角函数符号14（5分）直线yx+2与圆C：x2+y22y20交于A，B两点，则|AB|2【分析】根据圆心到
19、直线的距离d以及勾股定理可求得弦长【解答】解：圆C的圆心为（0，），半径为r2，圆心C到直线xy+20的距离d1，|AB|222故答案为：2【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题15（5分）已知a0且a1，函数yloga（x+1）+1的图象恒经过定点A，若函数f（x）x2b（2x+1）的图象也经过点A，则f（x）的单调递增区间为1，+）【分析】先求出A的坐标，可得f（x）的解析式，再利用二次函数的性质，可得f（x）的单调递增区间【解答】解：a0且a1，函数yloga（x+1）+1，令x+11，求得x0，y1，可得它的图象恒经过定点A（0，1），若函数f（x）x2b（2x+1）的图象也经
20、过点A，则f（0）10b，b1，则f（x）x2+（2x+1）x2+2x+1（x+1）2，故f（x）的增区间为1，+），故答案为：1，+）【点评】本题主要考查对数函数的特殊点，二次函数的性质，属于基础题16（5分）如图，C是以AB为直径的半圆周上一点，已知在半圆内任取一点，该点恰好在ABC内部的概率为，则ABC的较小的内角为【分析】由几何概型中的面积型、圆的面积公式，三角形的面积公式及直角三角形的射影定理可得：设AB2a，则S半圆，|CD|，又|CD|2|AD|BD|，不妨设|AD|BD|，即CBACAB，所以得：|BD|，所以tanCBA2，所以CBA，得解【解答】解：过C作CDAB，设AB2
21、a，则S半圆，由在半圆内任取一点，该点恰好在ABC内部的概率为，则SABCa2，则|AB|CD|，即|CD|，又|CD|2|AD|BD|，不妨设|AD|BD|，即CBACAB，所以得：|BD|，所以tanCBA2，所以CBA，故答案为：【点评】本题考查了几何概型中的面积型、圆的面积公式，三角形的面积公式及直角三角形的射影定理，属中档题三、解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知a0，函数f（x），（xR）（1）证明：f（x）是奇函数；（2）如果方程f（x）1只有一个实数解，求a的值【分析】（1）运用函数的奇偶性的定义即可得证；（2）由题意可得x2ax+
22、10有且只有两个相等的实根，可得判别式为0，解方程可得所求值【解答】解：（1）证明：由函数f（x），（xR），可得定义域为R，且f（x）f（x），可得f（x）为奇函数；（2）方程f（x）1只有一个实数解，即为x2ax+10，即a240，解得a2（2舍去），则a的值为2【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和二次方程有解的条件，考查方程思想和定义法，属于基础题18（12分）已知函数f（x）2sin2x+2sinxcosx+1，xR（1）求f（x）的最小正周期；（2）若x，求 f（x）的最大值和最小值，并写出相应的x的值【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式可得f（x）2cos（2x），再由周期公式，
23、可得所求值；（2）由x的范围，可得2x的范围，由于余弦函数的图象和性质，可得所求最值【解答】解：（1）函数f（x）2sin2x+2sinxcosx+1cos2x+sin2x2cos（2x），可得f（x）的最小正周期为T；（2）x，可得2x，可得2x0即x，可得f（x）2cos（2x）取得最大值2；由2x，可得x，可得f（x）2cos（2x）取得最小值【点评】本题考查二倍角公式和两角差的余弦函数，考查余弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于基础题19（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，E和F分别是CD和PC的中点求证：（1）PA平面B
24、EF；（2）平面BEF平面PCD【分析】（1）连接AC，交BE于H，结合平行四边形的性质可得PAFH，再由线面平行的判定定理，即可得证；（2）运用面面垂直的性质定理可得AB平面PAD，推得CDPD，CDFE，CDBE，再由线面垂直的判定定理和吗垂直的判定定理，即可得证【解答】证明：（1）连接AC，交BE于H，可得四边形ABCE为平行四边形，且H为AC的中点，可得FH为PAC的中位线，可得PAFH，PA平面BFE，FH面BFE，可得PA面BFE；（2）平面PAD底面ABCD，ABAD，可得AB平面PAD，即有ABPD，ABCD，可得CDPD，由EFPD，由ABAD，CD2AB，可得四边形ABED
25、为矩形，即有CDBE，又CDPD，FEPD，可得CDFE，即有CD平面BFE，而CD平面PCD，则平面BEF平面PCD【点评】本题考查线面平行和面面垂直的判定，注意运用线线平行和线面垂直的判定定理，考查推理能力，属于中档题20（12分）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）（1）A类工人中和B类工人各抽查多少工人？（2）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2表1：生产能力
26、分组100，110）110，120）120，130）130，140）140，150）人数48x53表2：生产能力分组110，120）120，130）130，140）140，150）人数6y3618先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）【分析】（1）先计算抽样比为，进而可得各层抽取人数（2）A类、B类工人人数之比为250：7501：3，按此比例确定两
27、类工人需抽取的人数，再算出x和y即可画出频率分布直方图，从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小 取每个小矩形的横坐标的中点乘以对应矩形的面积相加即得平均数【解答】解：（1）由已知可得：抽样比k，故A类工人中应抽取：25025人，B类工人中应抽取：75075人， （2）由题意知4+8+x+525，得x5，6+y+36+1875，得y15满足条件的频率分布直方图如下所示：从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小105+115+125+135+145123，115+125+135+145133.8123+133.8133.1A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全工
28、厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1【点评】本题考查等可能事件、相互独立事件的概率、频率分布直方图的理解以及利用频率分布直方图求平均数等知识、考查运算能力21（12分）已知函数f（x），g（x）1f（x），且g（x）是R上的奇函数（1）求实数a的值；（2）判断函数g（x）的单调性（不必说明理由），并求不等式g（2x1）+g（x）0的解集；（3）若不等式f（x）bg（x）对任意的x0，3恒成立，求实数b的取值范围【分析】（1）根据奇函数的性质可得g（x）+g（x）0，由此求得a值（2）函数g（x）在R上单调递增，根据单调性不等式g（2x1）+g（x）02x1x即可（
29、3）不等式f（x）bg（x）2x+1b（2x1）分离参数即可【解答】解：（1）g（x）1f（x）1，g（x）是R上的奇函数g（x）+g（x）01f（x）+1f（x）0f（x）+f（x）2+0，a+22，a0（2）由（1）得g（x）1函数g（x）在R上单调递增，不等式g（2x1）+g（x）0不等式g（2x1）g（x）02x1xx不等式g（2x1）+g（x）0的解集为（，+）（3）不等式f（x）bg（x）2x+1b（2x1）当x0时，bR，当x（0，3时，b令h（x），h（x）b【点评】本题主要考查指数型复合函数的性质以及应用，函数的奇偶性的应用，以及函数的恒成立问题，属于中档题22（12分）在平
30、面直角坐标系xOy中，已知圆O1：x2+y2mx14y+600，三个点A（2，4）、B、C均在圆O1上，（1）求该圆的圆心O1的坐标；（2）若，求直线BC的方程；（3）设点T（0，t）满足四边形TABC是平行四边形，求实数t的取值范围【分析】（1）将A点代入圆的方程可得m的值，继而求出半径和圆心；（2）可设直线BC方程为：y2x+b，可得圆心O1（6，7）到直线BC的距离，结合弦心距定理可得b的值，求出直线方程；（3）设B（x1，y1），C（x2，y2），因为平行四边形的对角线互相平分，得，于是点B既在圆O1上，又在圆（x8）2+（y+t11）225上，从而圆（x6）2+（y7）225与圆（x
31、8）2+（y+t11）225上有公共点，即可求解【解答】解：（1）将A（2，4）代入圆O1：x2+y2mx14y+600得4+162m56+600，解得m12，O1（6，7）半径r5（2），kBCkOA2，且|BC|OA|2，设直线BC：y2x+b，即2xy+b0，圆心O1到直线2xy+b0的距离d，由勾股定理得22，d220，20，5+b10，b5或b15，所以直线BC的方程为y2x+5或y2x15（3）设B（x1，y1），C（x2，y2），因为平行四边形的对角线互相平分，所以，因为点C在圆O1上，所以将代入，得，于是点B既在圆O1上，又在圆（x8）2+（y+t11）225上，从而圆（x6）2+（y7）225与圆（x8）2+（y+t11）225有公共点，所以55，解得因此，实数t的取值范围是44，4+4【点评】本题考查了直线与圆的关系，涉及了向量知识，弦心距公式，点到直线的距离公式等内容，综合性较强，难度较大
