1、2018-2019学年浙江省金华一中高一（下）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）不等式|3x12|9的整数解个数是（）A7B6C5D42（4分）已知an是等差数列，且a2+a3+a10+a1148，则a6+a7（）A12B16C20D243（4分）在ABC中，若a7，b3，c8，则其面积等于（）A12BC28D4（4分）若三角形的三个内角之比为1：2：3，则它们所对的边长之比为（）A1：2：3B1：2C1：4：9D1：5（4分）已知等比数列an的各项均为正，且5a3，a2，3a4成等差数列，则数列an的
2、公比是（）AB2CD6（4分）非零实数x，y满足|x+y|+|xy|x+yxy|的充要条件是（）Ax+y0Bxy0C（x+y）xy0D（x+y）xy07（4分）已知正项等比数列an满足a7a6+2a5，若存在两项am，an使得，则的最小值为（）ABCD不存在8（4分）若钝角三角形ABC的三边长a，8，b（ab）成等差数列，则该等差数列的公差d的取值范围是（）A（2，4）B（0，4）C（2，6）D（1，4）9（4分）已知等差数列an的前n项和为Sn，S100，且Sn5对一切nN*恒成立，则此等差数列an公差d的取值范围是（）A（，B0，C，0）D0，10（4分）若函数，在等差数列an中，a10，
3、a20191，bn|gk（an+1）gk（an）|（k1，2，3，4），用pk表示数列bn的前2018项的和，则（）AP41P1P2P32BP41P1P2P32CP41P1P2P32DP41P1P2P32二、填空题：（本大题共7小题，11-14题每小题6分，15-17题每小题6分，共36分）11（6分）已知过原点的直线l1和l2关于直线yx对称，若直线l1的斜率为，则直线l2的斜率为 ；倾斜角为 12（6分）ABC中，BC7，AB3，且，则AC ；A 13（6分）若等差数列an满足a7+a8+a90，a7+a100，则当n
4、时，an的前n项和最大；当Sn0时n的最大值为 14（6分）已知正实数x，y满足x+2y4，则xy的最大值为 ，的最大值为 15（4分）已知an是公差不为0的等差数列，bn是等比数列，其中a12，b11，a2b2，2a4b3，且存在常数、，使得anlogbn+对每一个正整数n都成立，则 16（4分）在ABC中，若b2ac，则cos（AC）+cosB+cos2B的值是 17（4分）若正数a，b，c满足a2+b2+c2abbc1，则c的最大值是 三、解答题（本大题共5小题，共74分）18（14分）（1）已知函数f（
5、x）ax2+a2，若f（x）0有解，求实数a的取值范围；（2）已知f（x）x2+4x，当x1，1时，若f（x）a恒成立，求实数a的取值范围19（15分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足：a2（bc）2+（2）bc，又sinAsinB（）求角A的大小；（）若a2，求ABC的面积S20（15分）已知等比数列an的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，等差数列bn中，b12，点P（bn，bn+1）在直线yx+2上；（）求a1和a2的值；（）求数列an，bn的通项an和bn；（）设cnanbn，求数列cn的前n项和Tn21（15分）已知函数f（x）x2+（a4）x+3a（
6、1）若f（x）在区间0，1上不单调，求a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间0，1上的最大值；（3）若对于任意的a（0，4），存在x00，2，使得|f（x0）|t，求t的取值范围22（15分）设数列an是各项均为正数的等比数列，a12，a2a464数列bn满足：对任意的正整数n，都有（1）分别求数列an与bn的通项公式；（2）若不等式对一切正整数n都成立，求实数的取值范围；（3）已知kN*，对于数列bn，若在bk与bk+1之间插入ak个2，得到一个新数列cn设数列cn的前m项的和为Tm，试问：是否存在正整数m，使得Tm2019？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由2018-2019学
7、年浙江省金华一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）不等式|3x12|9的整数解个数是（）A7B6C5D4【分析】利用绝对值不等式的解法：若|x|a（a0），则axa将3x12看成一个整体，去掉绝对值符号化成整式不等式即可【解答】解：原不等式|3x12|9可化为：93x129，1x7又xZ，x7不等式|3x12|9的整数解的个数为：7故选：A【点评】本题主要考查了绝对值不等式及其解法，解决与绝对值有关的问题（如解绝对值不等式，解绝对值方程，研究含有绝对值符号的函数等等），其关键
8、往往在于去掉绝对值的符号2（4分）已知an是等差数列，且a2+a3+a10+a1148，则a6+a7（）A12B16C20D24【分析】利用等差数列的性质可得：a2+a11a3+a10a6+a7代入已知即可得出【解答】解：an是等差数列，a2+a11a3+a10a6+a7又a2+a3+a10+a1148，2（a6+a7）48，解得a6+a724故选：D【点评】本题考查了等差数列的性质，属于基础题3（4分）在ABC中，若a7，b3，c8，则其面积等于（）A12BC28D【分析】已知三条边长利用余弦定理求得cosC，再利用同角三角函数的基本关系求得 sinC，代入ABC的面积公式进行运算【解答】解
9、：在ABC中，若三边长分别为a7，b3，c8，由余弦定理可得6449+9273 cosC，cosC，sinC，SABC，故选：D【点评】本题考查余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，求出sinC的值是解题的关键4（4分）若三角形的三个内角之比为1：2：3，则它们所对的边长之比为（）A1：2：3B1：2C1：4：9D1：【分析】由三角形的内角和公式求得三角形的三内角的值，再根据正弦定理求得对应的三边之比【解答】解：设最小的角为，则三内角分别为、2、3，再由+2+3，可得 ，故三内角的值分别为 、，故由正弦定理可得三角形的对应三边之比为sin：sin：sin：11：2，故选：B【点评】本题主要考
10、查三角形的内角和公式、正弦定理的应用，属于中档题5（4分）已知等比数列an的各项均为正，且5a3，a2，3a4成等差数列，则数列an的公比是（）AB2CD【分析】利用各项均为正数的等比数列an，5a3，a2，3a4成等差数列，建立方程，即可求出等比数列an的公比【解答】解：设等比数列an的公比为q，则各项均为正数的等比数列an，5a3，a2，3a4成等差数列，2a25a3+3a4，3q2+5q20，q0，q，故选：C【点评】本题考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，比较基础6（4分）非零实数x，y满足|x+y|+|xy|x+yxy|的充要条件是（）Ax+y0Bxy0C（x+y）xy0D（x+
11、y）xy0【分析】根据绝对值的应用，利用平方法进行判断即可【解答】解：等式两边平方得：|x+y|2+|xy|2+2|x+y|xy|（x+y）22xy（x+y）+（x+y）2，即|x+y|xy|xy（x+y），则xy（x+y）0，即|x+y|+|xy|x+yxy|的充要条件是xy（x+y）0，故选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用平方法结合绝对值的意义是解决本题的关键7（4分）已知正项等比数列an满足a7a6+2a5，若存在两项am，an使得，则的最小值为（）ABCD不存在【分析】把所给的数列的三项之间的关系，写出用第五项和公比来表示的形式，求出公比的值，整理所给的条件，写出
12、m，n之间的关系，用基本不等式得到最小值【解答】解：a7a6+2a5，a5q2a5q+2a5，q2q20，q2，存在两项am，an使得，aman16a12，qm+n21624，而q2，m+n24，m+n6，（m+n）（）（5+）（5+4），当且仅当m2，n4时等号成立，的最小值为，故选：A【点评】本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和8（4分）若钝角三角形ABC的三边长a，8，b（ab）成等差数列，则该等差数列的公差d的取值范围是（）A（2，4）B（0，4）C（2，6）D（1，4
13、）【分析】根据等差数列与余弦定理，以及三角形两边之和大于第三边，求出a的取值范围，再求公差d的取值范围【解答】解：由题意可知，a+b16，且a8b，三角形为钝角三角形，a2+64b20，a2+64（16a）20，a6，a+8b；a+816a，解得a4，4a6，又d8a，2d4故选：A【点评】本题考查了解三角形与等差数列的性质应用问题，是中档题9（4分）已知等差数列an的前n项和为Sn，S100，且Sn5对一切nN*恒成立，则此等差数列an公差d的取值范围是（）A（，B0，C，0）D0，【分析】设出等差数列an的首项，由S100得到首项和公差的关系，把等差数列的前n项和用含有公差d和n的代数式表
14、示，再由关于n的函数对一切nN*恒成立列式求得d的取值范围【解答】解：设等差数列an的首项为a1，由S100，得，由Sn5，得：由Sn5对一切nN*恒成立，得dn210dn+100对一切nN*恒成立，d0且0，即100d240d0解得0d公差d的取值范围是0，故选：B【点评】本题考查等差数列的前n项和，考查了数列的函数特性，训练了利用二次不等式恒成立的条件求解参数的范围，是中档题10（4分）若函数，在等差数列an中，a10，a20191，bn|gk（an+1）gk（an）|（k1，2，3，4），用pk表示数列bn的前2018项的和，则（）AP41P1P2P32BP41P1P2P32CP41P1
15、P2P32DP41P1P2P32【分析】根等差数列的性质和函数的单调性即可求出P1，P2，P3，P4的范围，问题得以判断【解答】解：等差数列an中，a10，a20191，可知该数列为递增数列，且a1010，a505，a506，对于g1（x）2x，该函数在0，1上单调递增，于是有g1（an+1）g1（an）0，于是bng1（an+1）g1（an），p1g1（a2019）g1（a1）211，对于g2（x），该函数在0，上递增，在（，1上递减，于是P2g2（a1010）g2（a1）+g2（a1010）g2（a2019）0+01；对于g3（x），该函数在0，上递减，在（，1上为常数，类似有P3g3（a
16、1）g3（a1010）g3（0）g3（）312；对于g4（x），该函数在0，和，递增，在，和，1上递减，且是以为周期的周期函数，故只需讨论0，的情况，再2倍即可，仿前可知，P42g4（a505）g4（a1）+g4（a506）g4（a1010）2（sinsin0+sinsin）1，故P41，综上所述P41P1P2P32，故选：A【点评】本题考查了等差数列的性质，函数的单调性，绝对值的性质，考查了学生的转化能力和运算能力，属于难题二、填空题：（本大题共7小题，11-14题每小题6分，15-17题每小题6分，共36分）11（6分）已知过原点的直线l1和l2关于直线yx对称，若直线l1的斜率为，则直线
17、l2的斜率为；倾斜角为30【分析】推导出直线l1和直线l的夹角与直线l2和直线l的夹角相等，直线l的倾斜角为45，直线l1的倾斜角为60，由此能求出直线l2的倾斜角和直线l2的斜率【解答】解：如图，过原点的直线l1和l2关于直线yx对称，直线l1和直线l的夹角与直线l2和直线l的夹角相等，直线l的倾斜角为45，直线l1的斜率为，直线l1的倾斜角为60，直线l2的倾斜角为30，直线l2的斜率为故答案为：，30【点评】本题考查直线的斜率和倾斜角的求法，考查直线与直线对称、直线的倾斜角、斜率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题12（6分）ABC中，BC7，AB3，且，则AC5；A【分析】由已知结合
18、正弦定理，可求AC，由余弦定理可得cosA，进而可求A【解答】解：BC7，AB3，且，由正弦定理可得，AC5，由余弦定理可得，cosA，0A，故答案为：5；【点评】本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题13（6分）若等差数列an满足a7+a8+a90，a7+a100，则当n8时，an的前n项和最大；当Sn0时n的最大值为15【分析】由等差中项、下标定理结合前n项和公式，可得结论【解答】解：a7+a8+a93a80，a7+a10a8+a90，a80，a90，n8时，an的前n项和最大；S1515a80，S168（a8+a9）0，当Sn0时n的最大值为15故答案为：8；
19、15【点评】本题考查了等差数列的性质及前n项和公式，考查了推理能力，属基础题14（6分）已知正实数x，y满足x+2y4，则xy的最大值为2，的最大值为3【分析】由xyx（2y）可求xy的最大值；由可求的最大值【解答】解：正实数x，y满足x+2y4，则xyx（2y）2，当且仅当x2y即x2，y1时取等号，xy的最大值为2；3，当且仅当且x+2y4即x3，y时取等号，故答案为：2；3【点评】本题在主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是利用和定积最大的条件15（4分）已知an是公差不为0的等差数列，bn是等比数列，其中a12，b11，a2b2，2a4b3，且存在常数、，使得anlogbn+对
20、每一个正整数n都成立，则4【分析】首先利用等差数列和等比数列的性质以及已知条件求出q2+d，进而根据2a4b3，求出d、和q的值，即可求出数列an和bn的通项公式，再根据anlogbn+得出2nlog4n1+（n1）log4+，令n1求出2，令n2求出2，即可求出结果【解答】解：a2a1+d2+db21qqa2b2q2+da4a1+3d2+3db31q2q22a4b32（2+3d）q2（2+d）2 即 d22d0公差不为0d2q4ana1+（n1）d2+2（n1）2nbna1qn14n1anlogbn+2nlog4n1+（n1）log4+式对每一个正整数n都成立n1时，得2 n2时，得log4
21、+24，得2224【点评】本题考查了对数的运算性质、等差数列和等比数列的性质，根据条件求出d、和q的值，是解题的关键，属于中档题16（4分）在ABC中，若b2ac，则cos（AC）+cosB+cos2B的值是1【分析】由正弦定理可知，sin2BsinAsinC，利用三角形的内角和，两角和与差的三角函数化简cos（AC）+cosB+cos2B，然后利用二倍角公式化简即可【解答】解：b2ac，利用正弦定理可得sin2BsinAsinCcos（AC）+cosB+cos2Bcos（AC）cos（A+C）+cos2B2sinAsinC+cos2B2sin2B+（12sin2B）1故答案为：1【点评】本题
22、考查三角函数的化简和正弦定理的运用，解题时要注意公式的合理选用，考查计算能力，属于中档题17（4分）若正数a，b，c满足a2+b2+c2abbc1，则c的最大值是【分析】因为关于a的一元二次方程有正数解，所以判别式大于等于0得3b24bc+4c240有解，再次判别式大于等于0可得c，解得即可【解答】解：依题意a2ba+b2+c2bc10有正数解，因为对称轴 a0，所以（b）24（b2+c2bc1）0，即3b24bc+4c240有解，因为对称轴为 b0，所以1（4c）243（4c24）0，解得c2，c，故答案为：【点评】本题考查了基本不等式及其应用，属中档题三、解答题（本大题共5小题，共74分）
23、18（14分）（1）已知函数f（x）ax2+a2，若f（x）0有解，求实数a的取值范围；（2）已知f（x）x2+4x，当x1，1时，若f（x）a恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）f（x）0有解等价于f（x）的最小值f（x）min0，讨论a0和a0时，分别求出a的取值范围即可；（2）f（x）a恒成立，即af（x）min，求出x1，1时f（x）的最小值即可【解答】解：（1）函数f（x）ax2+a2，若f（x）0有解，则f（x）的最小值f（x）min0；当a0时显然成立，当a0时，f（x）mina20，解得a2，即0a2；综上，实数a的取值范围是a2；（2）f（x）a恒成立，即af（x）min
24、，当x1，1时，f（x）x2+4x是单调增函数，最小值为f（x）minf（1）145，所以实数a的取值范围是a5【点评】本题考查了函数的性质与不等式恒成立应用问题，也考查了分类讨论与等价转化问题，是基础题19（15分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足：a2（bc）2+（2）bc，又sinAsinB（）求角A的大小；（）若a2，求ABC的面积S【分析】（1）由已知整理可得，利用余弦定理可求cosA，即可解得A的值（2）利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得cos（AB）1，可得A，B，C的值，利用三角形面积公式即可得解【解答】解：（1），又，（7分）（2），2sinAsi
25、nB1+cosC1cos（A+B），cosAcosB+sinAsinB1即cos（AB）1（12分），又，（15分）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查20（15分）已知等比数列an的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，等差数列bn中，b12，点P（bn，bn+1）在直线yx+2上；（）求a1和a2的值；（）求数列an，bn的通项an和bn；（）设cnanbn，求数列cn的前n项和Tn【分析】（I）由于an是Sn与2的等差中项，可得2anSn+2，分别令n1，2即可得出a1，a2；（II）设等比数列an的公比为q，则2，利用通
26、项公式即可得出；由于点P（bn，bn+1）在直线yx+2上，可得bn+1bn+2，即bn+1bn2，利用等差数列的通项公式就看得出（III），利用“错位相减法”即可得出【解答】解：（I）an是Sn与2的等差中项，2anSn+2，当n1时，2a1a1+2，解得a12；当n2时，2a2a1+a2+2，a22+24（II）设等比数列an的公比为q，则2，22n12n点P（bn，bn+1）在直线yx+2上，bn+1bn+2，即bn+1bn2；bn2+（n1）22n（III），Tn122+223+n2n+1，2Tn123+224+（n1）2n+1+n2n+2，Tn22+23+2n+1n2n+2n2n+2
27、2n+24n2n+2（1n）2n+24，【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，属于难题21（15分）已知函数f（x）x2+（a4）x+3a（1）若f（x）在区间0，1上不单调，求a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间0，1上的最大值；（3）若对于任意的a（0，4），存在x00，2，使得|f（x0）|t，求t的取值范围【分析】（1）由二次函数f（x）x2+（a4）x+3a的对称轴，并结合条件，即可得到对称轴满足的关系式，解之即得实数a的取值范围；（2）f（x）maxf（0），f（1），比较分类讨论即可求出（3）由题意可得对于任意的
28、a（0，4），由f（1）0，可得|f（x）|min0，|f（x）|max|f（x）|min|t对任意的a（0，4），|f（x）|maxt（x0，2），解法一、讨论对称轴和区间0，2的关系，可得最大值和最小值，解法二、运用绝对值不等式的性质，可得|f（x）|的最大值，即可得到t的范围【解答】解：（1）：函数f（x）x2+（a4）x+3a的对称轴为x，由于已知f（x）在区间0，1上不单调，则01，解得2a4，故a的范围为（2，4）；（2）f（0）3a，f（1）0，当3a0时，即a3时，最大值为f（0）3a，当3a0时，即a3时，最大值为f（1）0，（3）解法一（i）当01时，即2a4时，f（）f（
29、x）f（2），|f（2）|a1|a1，所以|f（x）|maxa1；（ii）当时，即0a2时，|f（0）|3a|3a，|f（x）|max3a，综上，|f（x）|max，故|f（x）|max1，所以t1，解法二：|f（x）|（x1）2+（a2）（x1）（x1）2+|（a2）（x1）|1+|a2|，当且仅当x0时等号成立，又（1+|a2|）min1，t1【点评】本题考查二次函数的图象和性质的运用，主要考查不等式恒成立问题，注意运用分类讨论和绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于难题22（15分）设数列an是各项均为正数的等比数列，a12，a2a464数列bn满足：对任意的正整数n，都有（1）分别求数
30、列an与bn的通项公式；（2）若不等式对一切正整数n都成立，求实数的取值范围；（3）已知kN*，对于数列bn，若在bk与bk+1之间插入ak个2，得到一个新数列cn设数列cn的前m项的和为Tm，试问：是否存在正整数m，使得Tm2019？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式（2）利用数列的单调性求出参数的取值范围（3）利用数列的赋值的应用求出m的存在性进一步求出m的值【解答】解：（1）数列an是各项均为正数公比为q的等比数列，a12，a2a464则：，解得：a38，故：q2，所以：数列bn满足：对任意的正整数n，都有所以：当n时，2，得：
31、anbnn2n，所以：bnn，由于：a1b12，则：b11（首项符合通项），故：bnn（2），所以：当0时，不等式成立当0时，原不等式可化为：，设tn，则：tn0，故：，所以：1，所以：数列an单调递减则：，解得：（3）由题意知：设bk是数列cn中的项为ct，由题意可知：t2+22+2k1+k，2k+k2，所以：当m2k+k2时，设，解得：k10，当k9时，m29+9229+7，所以：，因为201910659542477，且29+7+477996所以，当m996时，Tm2019【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，单调性在数列中的应用，数列的求和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型
