1、3.2导数的应用考情考向分析考查函数的单调性、极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、数列、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用意识；题型以解答题为主，一般难度较大1函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；考查f(x)在方程f(x)0的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么
2、f(x)在这个根处取得极小值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值概念方法微思考1“f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f(x)0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？提示不正确，正确的说法是：可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零2对于可导函数f(x)，“f(x0)0
3、”是“函数f(x)在xx0处有极值”的_条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)提示必要不充分题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()(2)函数的极大值一定大于其极小值()(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()题组二教材改编2P29T1函数yx3x25x5的单调增区间是_答案，(1，)解析令y3x22x50，得x1.3P31T1函数y3x39x5的极大值为_答案11解析y9x29，令y0，得x1.当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1
4、(1，)y00y极大值极小值从上表可以看出，当x1时，函数y取得极大值为3(1)39(1)511.4P34T2函数f(x)x2sinx在(0，)上的单调增区间为_答案解析令f(x)12cosx0，得cosx，又x(0，)，所以x0；当x时，y0.当x时，ymax.题组三易错自纠6已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)3，且f(x)的导数f(x)在R上恒有f(x)2(xR)，则不等式f(x)2x1的解集为_答案(1，)解析令g(x)f(x)2x1，g(x)f(x)20，g(x)在R上为减函数，g(1)f(1)210.由g(x)1.不等式的解集为(1，)7函数f(x)x3ax2ax在R上单
5、调递增，则实数a的取值范围是_答案3,0解析f(x)3x22axa0在R上恒成立，即4a212a0，解得3a0，即实数a的取值范围是3,08若函数f(x)x3x2ax4恰在1,4上单调递减，则实数a的值为_答案4解析f(x)x23xa，且f(x)恰在1,4上单调递减，f(x)x23xa0的解集为1,4，1,4是方程f(x)0的两根，则a(1)44.9若函数f(x)x34xm在0,3上的最大值为4，m_.答案4解析f(x)x24，x0,3，当x0,2)时，f(x)0，所以f(x)在0,2)上是减函数，在(2,3上是增函数又f(0)m，f(3)3m.所以在0,3上，f(x)maxf(0)4，所以m
6、4.10已知函数f(x)x3x22ax1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为_答案解析f(x)x22x2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x1，则f(x)在(1,2)上是单调递增函数，因此解得a0，即8x0，解得x，函数y4x2的单调增区间为.2函数f(x)xexex1的单调增区间是_答案(e1，)解析由f(x)xexex1，得f(x)(x1e)ex，令f(x)0，解得xe1，所以函数f(x)的单调增区间是(e1，)3已知函数f(x)xlnx，则f(x)的单调减区间是_答案解析因为函数f(x)xln x的定义域为(0，)，所以f(x)ln x1(x0)，当f(x)0时
7、，解得0x0，则其在区间(，)上的解集为，即f(x)的单调增区间为和.思维升华确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域(2)求f(x)(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调增区间(4)解不等式f(x)0，所以令g(x)ax22x0，解得x0或x.当a0时，函数g(x)ax22x在(，0)和上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递减；函数g(x)ax22x在上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递增当a0，即f(x)0，函数yf(x)单调递增；函数g(x)ax22x在上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递减综上所述，当a0时，函数yf(x
8、)的单调增区间为(0，)，单调减区间为(，0)；当a0时，函数yf(x)的单调减区间为(，0)，单调增区间为；当a0，则由f(x)0得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0.故f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增若a0，则由f(x)0得xln.当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增综上所述，当a0时，f(x)在(，)上单调递增；当a0时，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增；当a0恒成立已知af(2)，bf(3)，c(1)f()，则a，b，c的大小关系为_(用“”连接)答案ca0，即函数g(x)单调递增又af(2)g(
9、2)，bf(3)g(3)，c(1)f()g()，因为123，所以g()g(2)g(3)，即cab.(2)已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f(x)，当x0时，xf(x)f(x)0.若a，b，c，则a，b，c的大小关系是_(用“”连接)答案cab解析设g(x)，则g(x)，又当x0时，xf(x)f(x)0，所以g(x)0，即函数g(x)在区间(，0)内单调递减因为f(x)为R上的偶函数，所以g(x)为奇函数，其定义域为(，0)(0，)，所以函数g(x)在区间(0，)内单调递减由0ln 2e3，可得g(3)g(e)g(ln 2)，即cab.(3)已知定义在(0，)上的函数f(x)满足xf(x
10、)f(x)(m2019)f(2)，则实数m的取值范围为_答案(2019,2021)解析令h(x)，x(0，)，则h(x).xf(x)f(x)0，h(x)(m2 019)f(2)，m2 0190，即h(m2 019)h(2)m2 0190，解得2 019m0时，有0的解集是_答案(，2)(0,2)解析当x0时，0，(x)在(0，)上为减函数，又(2)0，在(0，)上，当且仅当0x0，此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数，在(，0)上，当x0，此时x2f(x)0.故x2f(x)0的解集为(，2)(0,2)命题点2根据函数单调性求参数例3已知函数f(x)lnx，g(x)ax22x(a0)(1)若函
11、数h(x)f(x)g(x)存在单调减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围解(1)h(x)lnxax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在单调减区间，所以当x(0，)时，ax2有解设G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)21，所以G(x)min1.所以a1.又因为a0，所以a的取值范围为(1,0)(0，)(2)因为h(x)在1,4上单调递减，所以当x1,4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立由(1)知G(x)，所以aG(x)max，而G(x)21，因为x1,4，所以，所以G(x)max(此时x4)，
12、所以a，又因为a0，所以a的取值范围是(0，)引申探究本例(2)中，若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递增，求a的取值范围解因为h(x)在1,4上单调递增，所以当x1,4时，h(x)0恒成立，所以当x1,4时，a恒成立，又当x1,4时，min1(此时x1)，所以a1，即a的取值范围是(，1思维升华根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解(
13、3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题跟踪训练2(1)若f(x)x2alnx在(1，)上单调递增，则实数a的取值范围为_答案(，2解析由f(x)x2aln x，得f(x)2x，f(x)在(1，)上单调递增，2x0在(1，)上恒成立，即a2x2在(1，)上恒成立，当x(1，)时，2x22，a2.(2)已知函数f(x)alnxx2(a6)x在(0,3)上不是单调函数，则实数a的取值范围是_答案(0,2)解析函数f(x)2xa6.若函数f(x)aln xx2(a6)x在(0,3)上单调递增，则f(x)2xa60在(0,3)上恒成立，即a2在(0,3)上恒成立，令函数g(t)t，t(1
14、,4)，则g(t)4,5)，a2；若函数f(x)aln xx2(a6)x在(0,3)上单调递减，则f(x)2xa60在(0,3)上恒成立，即a2在(0,3)上恒成立，函数g(t)t，t(1,4)，则g(t)4,5)，a0，当函数f(x)在(0,3)上不是单调函数时，实数a的取值范围是(0,2)(3)(2019盐城模拟)已知函数f(x)(xa)lnx(aR)，若函数f(x)存在三个单调区间，则实数a的取值范围是_答案解析f(x)lnx(xa)lnx1，若函数f(x)存在三个单调区间，即f(x)0有两个不等正实根，即ax(lnx1)有两个不等正实根，转化为ya与yx(lnx1)的图象有两个不同的交
15、点，ylnx2，令lnx20，即x，即yx(lnx1)在上单调递减，在上单调递增ymin，当x时，y0，得0x1，由g(x)1.当a0时，令g(x)0，得x1或x，若，由g(x)0，得x1或0x，由g(x)0，得x1，即0a0，得x或0x1，由g(x)0，得1x，若1，即a，在(0，)上恒有g(x)0.综上可得：当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a时，函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，)上单调递增1函数f(x)x22lnx的单调减区间是_答案(0,1)解析f(x)2x(x0)，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数2函数f(x)(x3
16、)ex的单调增区间是_答案(2，)解析因为f(x)(x3)ex，所以f(x)ex(x2)令f(x)0，得x2，所以f(x)的单调增区间为(2，)3已知函数f(x)xsinx，xR，则f，f(1)，f的大小关系为_(用“”连接)答案ff(1)f解析因为f(x)xsin x，所以f(x)(x)sin(x)xsin xf(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以ff.又当x时，f(x)sin xxcos x0，所以函数f(x)在上是增函数，所以ff(1)f(1)f.4若函数f(x)x3bx2cxd的单调减区间为(1,3)，则bc_.答案12解析f(x)3x22bxc，由题意知，1x3是不等式3x22bx
17、c0”是“f(x)在R上单调递增”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析f(x)x2a，当a0时，f(x)0在R上恒成立，故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件6已知函数f(x)(xR)满足f(1)1，f(x)的导数f(x)，则不等式f(x2)的解集为_答案x|x1解析设F(x)f(x)x，F(x)f(x)，f(x)，F(x)f(x)0，即函数F(x)在R上单调递减f(x2)，f(x2)f(1)，F(x2)1，即不等式的解集为x|x17已知g(x)x22alnx在1,2上是减函数，则实数a的取值范围为_答案解析g(x)2x，由已
18、知得g(x)0在1,2上恒成立，可得ax2在1,2上恒成立又当x1,2时，min4.a的取值范围是.8若函数f(x)x312x在区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是_答案(3，1)(1,3)解析因为y3x212，由y0得函数的增区间是(，2)和(2，)，由y0，得函数的减区间是(2,2)，由于函数在(k1，k1)上不是单调函数，所以有k12k1或k12k1，解得3k1或1k3.9函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf，cf(3)，则a，b，c的大小关系为_(用“”连接)答案cab解析由题意得，当x0，f(x
19、)在(，1)上为增函数又f(3)f(1)，且101，因此有f(1)f(0)f，即有f(3)f(0)f，即ca0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是_答案(，1)(0,1)解析因为f(x)(xR)为奇函数，f(1)0，所以f(1)f(1)0.当x0时，令g(x)，则g(x)为偶函数，g(1)g(1)0.则当x0时，g(x)0，故g(x)在(0，)上为减函数，在(，0)上为增函数所以在(0，)上，当0xg(1)0，得0，所以f(x)0；在(，0)上，当x1时，由g(x)g(1)0，得0.综上知，使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)11已知函数f(x)(k为常数)，曲线yf(
20、x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求实数k的值；(2)求函数f(x)的单调区间解(1)f(x)(x0)又由题意知f(1)0，所以k1.(2)f(x)(x0)设h(x)lnx1(x0)，则h(x)0，所以h(x)在(0，)上单调递减由h(1)0知，当0x0，所以f(x)0；当x1时，h(x)0，所以f(x)0.综上，f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1，)12已知函数f(x)1(bR，e为自然对数的底数)在点(0，f(0)处的切线经过点(2，2)讨论函数F(x)f(x)ax(aR)的单调性解因为f(0)b1，所以过点(0，b1)，(2，2)的直线的斜率为k，而f(x)，
21、由导数的几何意义可知，f(0)b，所以b1，所以f(x)1.则F(x)ax1，F(x)a，当a0时，F(x)0时，由F(x)0，得x0，得xlna.故当a0时，函数F(x)在R上单调递减；当a0时，函数F(x)在(，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增13(2018江苏省南京九中质检)定义在R上的函数f(x)满足：f(x)1f(x)，f(0)0，f(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)ex1(其中e为自然对数的底数)的解集为_答案(0，)解析设g(x)exf(x)ex(xR)，则g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1f(x)1f(x)，f(x)f(x)10，
22、g(x)0，yg(x)在定义域R上单调递增exf(x)ex1，g(x)1.又g(0)e0f(0)e01，g(x)g(0)，x0，不等式的解集为(0，)14若函数f(x)x3x22ax在上存在单调增区间，则a的取值范围是_答案解析对f(x)求导，得f(x)x2x2a22a.由题意知，f(x)0在上有解，当x时，f(x)的最大值为f2a.令2a0，解得a，所以a的取值范围是.15对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导数，f(x)是f(x)的导数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数g(x)2x36x24，则ggg_.答案0解析g(x)6x212x，g(x)12x12，由g(x)0，得x1，又g(1)0，函数g(x)的对称中心为(1,0)，故g(x)g(2x)0，gggg(1)0.16已知函数f(x)ax2(a1)xlnx(a0)，讨论函数f(x)的单调性解f(x)ax(a1)(x0)，当0a1，由f(x)0，解得x或0x1，由f(x)0，解得1x1时，00，解得x1或0x，由f(x)0，解得x1.综上，当0a1时，f(x)在(1，)和上单调递增，在上单调递减17
