1、 - 1 - 2020 届高三（上）半期考试届高三（上）半期考试 （理科）数学试题（理科）数学试题 考试时间：120 分钟 全卷满分：150 分 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符 合题目要求的，把答案填涂在答题卡相应位置上）合题目要求的，把答案填涂在答题卡相应位置上） 1.若集合 A=0,1,2,3，B=x21,xmmA，则AB=( ) A. 0,3 B.1,3 C. 0,1 D. 3 2.若sin0,sin20，则是第（ ）象限的角 A
2、. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3.已知命题 P：,sin10 x xR ex 。则P 是（ ） A. ,sin10 x xR ex B. ,sin10 x xR ex C. ,sin10 x xR ex D. ,sin10 x xR ex 4函数 3 ( )22log (1) x f xx的定义域为( ) A. 1,1 B. 1,1) C. ( 1,1 D.( 1,1) 5.已知4tan()30 ，则cos2的值为（ ） A. 7 25 B. 7 25 C. 9 25 D. 9 25 6.函数 3 log2 (0) ( ) 5(0) x xx f x mx 有且只有一个零点的充分不必要
3、条件是（ ） A. 0m B. 1 1 2 m C. 1 0 2 m D. 01mm或 7.已知 1 sin() 124 ，则 17 cos() 12 的值等于 A. 1 4 B. 1 4 C. 15 4 D. 15 4 8.已知34 xy k，且 21 2 xy ，则实数k的值为（ ） A. 12 B. 2 3 C. 3 2 D. 6 - 2 - 9.设实数ln7ln3a ， 0.2 2.1b ， 1 6 4 log 9 c ，则, ,a b c的大小关系是（ ） A. bac B. cba C. bca D. abc 10.设有限集合 A= 123 , n a a aa，则称 123An
4、Saaaa为集合 A 的和。若集合 M=x 2 ,6xt tNt ,集合 M 的所有非空子集分别记为 123 , k P P PP，则 123k PPPP SSSS= （ ） A. 540 B. 480 C. 320 D. 280 11.设(0,) 2 ，(,0) 2 ，且costan(1 sin)，则下列式子中为定值的是（ ） A. B. 2 C. 2 D. 2 12.已知函数( )log2 (0,1) m f xxmm，若abcd且( )( )( )( )f af bf cf d，则 1111 1111abcd 的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D.4m 二、填空题（本大题共二、
5、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。只要求将最终结果直分。只要求将最终结果直接填写在答题卡相应的横接填写在答题卡相应的横 线上）线上） 13.已知 2 (1)lg2fxx x ，则(3)f 14.奇函数( )f x的定义域为 R，若(1)f x为偶函数，且(1)3f，则(19)(20)ff 15.已知函数( )sin()(0,0)f xAxA是偶函数，且对任意xR，都有 2 ( )() 3 f xf 成立， 则的最小值是 16.已知函数 2 ( )lnf xxxxx，且 0 x是函数( )f x的极值点。给出以下几个结论： 0 01ex 00 12e
6、xx 00 ()0f xx 00 1 ()0 4 f xx 其中正确的结论是 （填上所有正确结论的序号） 。 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，满分个小题，满分 70 分。解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分 12 分（1）问 4 分， （2）问 8 分） 现代社会的竞争，是人才的竞争，各国、各地区、各单位都在广纳贤人，以更好更快的促进国家、地 区、单位的发展。某单位进行人才选拔考核，该考核共有三轮，每轮都只设置一个项目问题，能正确解决 - 3 - 项目问题者才能进入下一轮考核；不能正确解决者
7、即被淘汰。三轮的项目问题都正确解决者即被录用。已 知 A 选手能正确解决第一、二、三轮的项目问题的概率分别为 4 5 、 2 3 、 1 2 ，且各项目问题能否正确解决 互不影响。 （1）求 A 选手被淘汰的概率； （2）设该选手在选拔中正确解决项目问题的个数为，求的分布列与数学期望。 18. （本小题满分 12 分（1）问 6 分， （2）问 6 分） 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合。 （1）若角的终边所在的方程为2 (0)yx x ，求5cos2tan的值； （2）若角的终边经过点 P（sin,cos 55 ） ，且0，求的最大值。 19. （本小题满分 12 分（1）问
8、6 分， （2）问 6 分） 已知二次函数( )f x满足( )0f x 的解集为 3,1，且在区间0,2的最小值为6。 （1）求( )f x的解析式； （2）求函数( )( ) x g xf xxe的极值。 20. （本小题满分 12 分（1）问 6 分， （2）问 6 分） - 4 - 已知直线 12 ,xxxx分别是函数( )2sin(2) 6 f xx 与 3 ( )sin(2) 2 g xx 图像的对称轴。 （1）求 12 ()f xx的值； （2）若关于x的方程( )( ) 1g xf xm 在区间0, 3 上有两解，求实数m的取值范围。 21. （本小题满分 12 分（1）问 6
9、 分， （2）问 6 分） 已知0a ，函数( )ln21f xxxxa ，( )(2)g xaxb。 （1）求 7 ( )( )(1)ln 3 h xf xxxx在区间 ,2a a的最大值( )M a； （2）若关于x不等式( )( )f xg x在(0,)x恒成立，求证： 4 5 b a 。 选做题：请考生在第选做题：请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题记分。的第一题记分。 22.（本小题满分 10 分， （1）小 问 5 分， （2）小 问 5 分） 选修 44：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，以原点 O
10、 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1 C的参数方 程为 3sin 2cos x y （为参数） ；曲线 2 C是过点 Q（1，0） ，斜率为 2 的直线，且与曲线 1 C相交于 A、B 两点。 （1）求曲线 1 C的极坐标方程和曲线 2 C的参数方程； （2）求 22 QAQB的值。 23.（本小题满分 10 分， （1）小 问 5 分， （2）小 问 5 分） 选修 45：不等式选讲 已知函数( )213f xxx - 5 - （1）求不等式( )26f xx的解集； （2）已知m是函数( )f x的最小值，若正数, a b满足2abm， 求证： 22 7 ba ab - 6
11、- 重庆市重庆市 2020 届高三（上）半期考试届高三（上）半期考试 （理科）数学试题（理科）数学试题 答案 一、 选择题 1-6 B B C C A A 7-12 B D A B C A 二、填空题 13 2 14 3 15 3 2 16 三、解答题： 17 题（1）所求概率 4 2 111 1 5 3 215 P 。 （2）由题知：可取值为 0,1,2,3 41 (0)1 55 P 424 (1)(1) 5315 P 4 214 (2)(1) 5 3215 P 4 2 14 (3) 5 3 215 P 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 1 5 4 15 4 15 4 15 所以 8 (
12、 ) 5 E 18 题（1）在角的终边取一点( 1,2)Q ，则5rOQ， 由三角函数的定义知 1 cos,tan2 5 ，5cos2tan1 43 （2）由三角函数的定义知 3 sincossin()sin 52510 3 2 10 k 或 37 22() 1010 kkkZ 又0，所以得最大值为 13 10 。 19 题（1）由题可设( )(3)(1) (0)f xa xxa， 2 ( )(23)f xa xx在区间0,2单调递增， min ( )(0)3 ,f xfa 36,2aa 2 ( )246f xxx。 （2） 2 ( )246 x g xxxxe，( )44 (1)(1)(4)
13、 xx g xxxexe - 7 - 由 ( )01g xx 或 ln4x ，由 ( )01ln4g xx ， ( )g x在(, 1) 单减，在( 1,ln4)单增，(ln4,)单减， 1 ( )( 1)8g xg e 极小 ， 2 ( )(ln4)2(ln4)6g xg 极大 。 20 题（1）由题知： 112212 3 2, 2, (,) 6222 xkxkkZ kZ 1212 2()() 3 xxkk ， 121212 ()2sin ()2cos() 36 f xxkkkk ， 12 kkZ， 12 ()2f xx 。 （2）由( )( ) 1g xf xm 3 sin(2) 2 x
14、2sin(2) 6 x +1m 3sin21mx， 2 0,20, 33 xx ， ( )( ) 1g xf xm 在0, 3 上有两个不同实数解， 3 sin21 2 x， 5 sin231 2 x。 21 题（1） 7 ( )( )(1)ln 3 h xf xxxx= 1 ln1 3 xxa 113 ( )(0) 33 x h xx xx ，由( )003h xx，由( )03h xx ( )h x在（0,3）上递增，在(3,)单减， 当23a即01a时，( )h x在 ,2a a上递增， 25 ( )(2)ln(2) 33 m ah aaa 当32aa即13a时，( )h x在 ,3a上
15、递增，在3,2a单减， ( )(3)ln32m aha 当3a 时，( )h x在 ,2a a上单减， 2 ( )( )ln1 3 m ah aaa - 8 - 综上： 25 ln(2)(01) 33 ( )ln32 (13) 2 ln1(3) 3 aaa m aaa aaa （2）由( )( )f xg xln41bxxaxxa 在(0,)x恒成立， 令( )ln41p xxxaxxa ，( )ln3p xxa 在(0,)上单减， 由 3 ( )0 a p xxe ，所以( )p x在（0, 3 a e ）上递增，在 3 (,) a e 单减， 33 max ( )()1 aa p xp e
16、ea ， 3 1 a bea 3 41 1 55 a baea ，令 3 1 ( )1(0) 5 a R aeaa ， 3 1 ( ) 5 a R ae 在在(0,)上递增，令 3 1 ( )0 5 t R te ，且( )R a在（0,t）上递减，在( ,)t 单 增，所以 3 114 ( )( )1 555 t R aR tett 。 又 3 4 111 (4)0 55 Re e ， 3 5 2 111 (5)0 55 Re e ，45t 14 ( )0 55 R at， 44 0, 55 baba ，又 4 0, 5 b a a 22 题（1）由 22 2222 3sin 14cos9s
17、in36 2cos94 x xy y 22 (45sin)36 ，所以曲线 1 C的极坐标方程为： 2 2 36 45sin 曲线 2 C的参数方程为： 1 2 xt yt (t为参数) （2）将 1 2 xt yt 代入 22 1 94 xy 中得 22 4(1)9(2 )36tt， 2 540tt 设 A、B 两点对应的参数分别为 12 ,t t，则 1212 14 , 55 ttt t ， 22 222 12121 2 1841 555 ()25() 2555 QAQBttttt t 。 23 题（1）由 22 ( )26213(21)(3)f xxxxxx 2 2 310804 3 xxx ，所以原不等式的解集为 2 4, 3 。 - 9 - （2） 1 23() 2 1 ( )2134 (3) 2 32 (3) xx f xxxxx xx 所以( )f x在 1 (,) 2 单减，在 1 (,) 2 单增， 17 () 22 mf， 22 2 7 ,()()()49 ba ababba ab ， 22 7 ba ab 。
