1、2018-2019学年四川省遂宁市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1（5分）设a，b，cR，且abc，则下列各不等式中恒成立的是（）AacbcB|b|c|Ca2b2Da+cb+c2（5分）已知各项均为正数的等比数列bn，若，则b5的值为（）A4B4C4D03（5分）已知，则（）ABCD4（5分）已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinAsinC且，则ABC（）A一定是等腰非等边三角形B一定是等边三角形C一定是直角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5（5分）在ABC中，D是BC上一
2、点，且，则（）ABCD6（5分）若，且，则sincos的值是（）ABCD7（5分）如图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）AB16CD8（5分）已知x0，y0，且2x+yxy，则4x+2y的最小值为（）A8B12C16D209（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则在方向上的投影为（）A1B2C3D410（5分）下面结论中，正确结论的是（）A存在两个不等实数，使得等式sin（+）sin+sin成立B（0x）的最小值为4C若Sn是等比数列an的前n项的和，则Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列D已知ABC的三个内角A，B
3、，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2c2，则ABC一定是锐角三角形11（5分）关于x的不等式x2（a+2）x+a+10的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（）A（3，4B（4，5C4，3）（3，4D3，2）（4，512（5分）已知数列an的前n项和为，令，记数列bn的前n项和为Tn，则T2019（）A2020B2019C2018D2017二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知向量，若，则x 14（5分） 15（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，若，则cos（a2+a4） 16（5分）一湖中有不在同一直线的三个
4、小岛A、B、C，前期为开发旅游资源在A、B、C三岛之间已经建有索道供游客观赏，经测量可知AB两岛之间距离为3公里，BC两岛之间距离为5公里，AC两岛之间距离为7公里，现调查后发现，游客对在同一圆周上三岛A、B、C且位于（优弧）一片的风景更加喜欢，但由于环保、安全等其他原因，没办法尽可能一次游览更大面积的湖面风光，现决定在上选择一个点D建立索道供游客游览，经研究论证为使得游览面积最大，只需使得ADC面积最大即可则当ADC面积最大时建立索道AD的长为 公里（注：索道两端之间的长度视为线段）三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知向量，且，（）求向量
5、与的夹角；（）求的值18（12分）已知等比数列an的公比q1，且a1，a3的等差中项为10，a28（）求数列an的通项公式；（）设，求数列bn的前n项和Sn19（12分）已知（）求的值；（）若，求cos的值20（12分）已知在直角三角形ABC中，ACBC，（如图所示）（）若以AC为轴，直角三角形ABC旋转一周，试说明所得几何体的结构特征并求所得几何体的表面积（）一只蚂蚁在问题（）形成的几何体上从点B绕着几何体的侧面爬行一周回到点B，求蚂蚁爬行的最短距离21（12分）已知ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（）求A；（）若a4，求ABC面积的最大值22（12分）已知数列an的前n项和为
6、Sn，满足且a11，数列cn的前n项和为Tn，满足（）设bnan+1，求证：数列bn为等比数列；（）求Tn的通项公式；（）若对任意的nN*恒成立，求实数的最大值2018-2019学年四川省遂宁市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1（5分）设a，b，cR，且abc，则下列各不等式中恒成立的是（）AacbcB|b|c|Ca2b2Da+cb+c【分析】运用不等式的性质和列举法，即可得到结论【解答】解：abc，若c0，可得acbc，则A错误；取b2，c3，可得|b|c|，故B错误；取a1，b2，可得
7、a2b2，故C错误；由不等式的可加性，可得a+cb+c，则D正确故选：D【点评】本题考查不等式的性质和反例法，考查运算能力，属于基础题2（5分）已知各项均为正数的等比数列bn，若，则b5的值为（）A4B4C4D0【分析】由等比数列的性质可得b52b3b7，解方程可得所求值【解答】解：各项均为正数的等比数列bn，若，可得b52b3b716，解得b54（负的舍去），故选：B【点评】本题考查等比数列的性质，以及方程思想和运算能力，是基础题3（5分）已知，则（）ABCD【分析】直接利用向量的数量积化简求解即可【解答】解：，则sin15cos30+sin75sin30sin15cos30+cos15si
8、n30sin45故选：A【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数的应用，是基本知识的考查4（5分）已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinAsinC且，则ABC（）A一定是等腰非等边三角形B一定是等边三角形C一定是直角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【分析】由已知利用正弦定理可得ac，根据三角形的面积公式可求sinA，可得：AC，根据三角形的内角和定理可求B，即可得解【解答】解：sinAsinC，由正弦定理可得：ac，bcsinA，可得：sinA，由ac，A（0，），可得：AC，BAC，即ABC，三角形一定是等边三角形故选：B【点评】本题主要考查了正弦
9、定理，三角形的面积公式，三角形的内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题5（5分）在ABC中，D是BC上一点，且，则（）ABCD【分析】利用平面向量的三角形法则，直接计算【解答】解：D是BC上一点，且，则+故选：C【点评】本题考查了平面向量的线性运算，属于基础题6（5分）若，且，则sincos的值是（）ABCD【分析】把已知等式两边平方，求得2sincos，再由求解【解答】解：由，得，2sincos，又，sincos故选：A【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题7（5分）如图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几
10、何体的三视图，则该几何体的体积为（）AB16CD【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为棱长为2的正方体截去一个三棱锥ABCD，由正方体的体积减去三棱锥的体积求解【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为棱长为2的正方体截去一个三棱锥ABCD，则该几何体的体积为V故选：D【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题8（5分）已知x0，y0，且2x+yxy，则4x+2y的最小值为（）A8B12C16D20【分析】由题意可得+1，则4x+2y（4x+2y）（+），展开后，运用基本不等式可得所求最小值【解答】解：x0，y0，且2x+yxy，即为+1，则4x+2y（
11、4x+2y）（+）8+8+216，当且仅当，即y2x4取得等号，则4x+2y的最小值为16，故选：C【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查“1”的代换，注意等号成立的条件，考查运算能力，属于中档题9（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则在方向上的投影为（）A1B2C3D4【分析】根据正弦定理将条件进行转化化简，结合两角和差的正弦公式进行求解可求cosC，根据在方向上的投影为：|cosC即可计算得解【解答】解：由，根据正弦定理得：sinAcosB+sinBcosAsinCcosC，即sin（A+B）sinCcosC，即sinCsinCcosC，则cosC，则在方向
12、上的投影为：|cosCcos451故选：A【点评】本题主要考查正弦定理的应用，求向量的投影，考查了向量的数量积的运算性质，根据正弦定理结合两角和差的正弦公式是解决本题的关键，属于中档题10（5分）下面结论中，正确结论的是（）A存在两个不等实数，使得等式sin（+）sin+sin成立B（0x）的最小值为4C若Sn是等比数列an的前n项的和，则Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列D已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2c2，则ABC一定是锐角三角形【分析】由0，计算可判断A；由tsinx（0t1），结合对勾函数的单调性，可判断B；由公比为1，n为偶数，可判断C；由
13、余弦定理和三角形的形状，可判断D【解答】解：两个不等实数0，使得等式sin（+）sin+sin成立，故A正确；ysinx+（0x），设tsinx（0t1），可得yt+在（0，1递减，即有函数的最小值为5，故B错误；Sn是等比数列an的前n项的和，当公比q1，n为偶数时，则Sn，S2nSn，S3nS2n，均为0，不为等比数列，故C错误；ABC中，若a2+b2c2，可得cosC0，即C为锐角，不能判断ABC是锐角三角形，故D错误故选：A【点评】本题考查两角和的正弦公式和对勾函数的单调性、等比数列的求和性质，以及三角形的形状判断，考查运算能力，属于中档题11（5分）关于x的不等式x2（a+2）x+a
14、+10的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（）A（3，4B（4，5C4，3）（3，4D3，2）（4，5【分析】由题意根据韦达定理求出|x1x2|，再根据|x1x2|（3，4，求出a的范围【解答】解：关于x的不等式x2（a+2）x+a+10的解集中，恰有3个整数，|x1x2|a|（3，4，故 a4，3）（3，4，故选：C【点评】本题主要考查韦达定理，其他不等式的解法，属于中档题12（5分）已知数列an的前n项和为，令，记数列bn的前n项和为Tn，则T2019（）A2020B2019C2018D2017【分析】由数列an的前n项和求通项，再由数列的周期性及等比数列的前n项和求解【解答】解：由，
15、得a11；当n2时，2n2a11不适合上式，则b1a1cos1，b3a3cos24，b5a5cos38，T2019b1+（b2+b6+b2010）+（b3+b7+b2011）+（b4+b8+b2012）+（b5+b9+b2013）+b2014+b2015+b2016+b2017+b2018+b20191+0+2（2+6+10+2010）+02（4+8+12+2012）+0+4028+04032+0+40361+40322019故选：B【点评】本题考查数列求和，考查数列的函数特性，训练了由数列的前n项和求通项公式，是中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知向量，若
16、，则x2【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得x的值【解答】解：向量，若，2x0，则x2，故答案为：2【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题14（5分）【分析】原式中的“1”化为tan45，利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简即可求出值【解答】解：原式tan（45+15）tan60故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键15（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，若，则cos（a2+a4）【分析】利用等差数列的性质转化求解a2+a4，然后求解三角函数值即
17、可【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，若，则a2+a4则cos（a2+a4）cos故答案为：【点评】本题考查数列的简单性质的应用三角函数的化简求值，是基本知识的考查16（5分）一湖中有不在同一直线的三个小岛A、B、C，前期为开发旅游资源在A、B、C三岛之间已经建有索道供游客观赏，经测量可知AB两岛之间距离为3公里，BC两岛之间距离为5公里，AC两岛之间距离为7公里，现调查后发现，游客对在同一圆周上三岛A、B、C且位于（优弧）一片的风景更加喜欢，但由于环保、安全等其他原因，没办法尽可能一次游览更大面积的湖面风光，现决定在上选择一个点D建立索道供游客游览，经研究论证为使得游览面积最大，只需使
18、得ADC面积最大即可则当ADC面积最大时建立索道AD的长为公里（注：索道两端之间的长度视为线段）【分析】根据题意画出草图，表示出当ACD面积最大时点D的位置，同时用余弦定理求出角B的值角D的值，即可求出答案【解答】解：根据题意画出草图为：A，B，C为同一圆周上的三点，圆心O必定在线段AB，BC，AC这三条线段的中垂线上；令线段AC的中点为M，AMCMAC；又（d为点D到线段AC的距离）若要面积最大，则只需d最大，那么只需点D在线段AC的中垂线上，即dDM；在ABC中，由余弦定理得：cosBB120；ADC120，又ADC为等腰三角形，DAC30；AD2DM；在RTADM中，由勾股定理得：AD2
19、DM2+AM2即DM；故答案为：【点评】本题考查了圆的基础知识，考查余弦定理的应用，属于中档题三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知向量，且，（）求向量与的夹角；（）求的值【分析】（）利用向量的数量积的运算法则化简已知条件，转化求向量与的夹角；（）通过向量的模的运算法则转化求解的值【解答】解：（）由得，因，向量与的夹角为60（）【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角以及向量的模的求法，考查计算能力18（12分）已知等比数列an的公比q1，且a1，a3的等差中项为10，a28（）求数列an的通项公式；（）设，求数列bn的前n项和Sn【分析】（）利用已
20、知条件求出首项与公差，然后求数列an的通项公式；（）化简，利用错位相减法求数列bn的前n项和Sn【解答】解：（）由题意可得：，2q25q+20，q1，数列an的通项公式为（） ，上述两式相减 可得【点评】本题考查数列的递推关系式，数列求和的方法，考查计算能力19（12分）已知（）求的值；（）若，求cos的值【分析】（）把已知两式展开两角和与差的正弦，分别作和作差，再作比即可求得的值；（）由已知求得cos（+），cos（），再由cos2cos（+）（），展开两角差的余弦求解【解答】解：（），由+得，由得，由得；（），则cos2cos（+）（）cos（+）cos（）+sin（+）sin（）cos2
21、2cos21，【点评】本题考查两角和与差的三角函数，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题20（12分）已知在直角三角形ABC中，ACBC，（如图所示）（）若以AC为轴，直角三角形ABC旋转一周，试说明所得几何体的结构特征并求所得几何体的表面积（）一只蚂蚁在问题（）形成的几何体上从点B绕着几何体的侧面爬行一周回到点B，求蚂蚁爬行的最短距离【分析】（）若以AC为轴，直角三角形ABC旋转一周，结合旋转体说明所得几何体的结构特征，求出母线长，底面半径，然后求所得几何体的表面积（）利用侧面展开图，通过扇形转化求解即可【解答】解：（）在直角三角形ABC中，由即，得，若以AC为轴旋转一周，形成的几何体为以
22、BC2为半径，高的圆锥，则，其表面积为（）由问题（）的圆锥，要使蚂蚁爬行的最短距离，则沿点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形（如右图）最短距离就是点B到点B1的距离，在ABB1中，由余弦定理得：【点评】本题考查旋转体的简单性质，圆锥的表面积以及侧面展开图的应用，是基本知识的考查21（12分）已知ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（）求A；（）若a4，求ABC面积的最大值【分析】（I）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用得，结合范围，可求A的值（II）方法1：由余弦定理，基本不等式可得，利用三角形的面积公式即可求解；方法2：由正弦定理可得，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的
23、应用，正弦函数的图象和性质即可求得ABC面积的最大值【解答】解：（I）因为，由正弦定理可得：，所以所以，即 ，因为sinB0，所以，可得：，因为A（0，），所以，所以，可得：（II）方法1：由余弦定理得：，得b2+c216bc2bc16，所以，当且仅当时取等号，所以ABC面积的最大值为方法2：因为，所以，所以，所以，当且仅当，即，当时取等号所以ABC面积的最大值为【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题22（12分）已知数列an的前n项和为Sn，满足且a11，
24、数列cn的前n项和为Tn，满足（）设bnan+1，求证：数列bn为等比数列；（）求Tn的通项公式；（）若对任意的nN*恒成立，求实数的最大值【分析】（）将等式移项，再同时加1，运用等比数列的定义，即可得证；（）运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和；（）运用等比数列的通项公式和求和公式，化简可得Sn，讨论n分别为奇数或偶数，可得所求最大值【解答】解：（）证明：由2an+an1+30得，变形为：，bnan+1，且b1a1+12，数列bn是以首项为2，公比为的等比数列；（）由，；（）由（）知数列bn是以首项为2，公比为的等比数列，于是，由得，从而 ，当n为偶数时，恒成立，而，1，当n为奇数时，恒成立，而，综上所述，即的最大值为【点评】本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和和分组求和，考查化简运算能力，属于中档题
