1、2018-2019学年安徽省合肥一中、合肥六中高一（下）期末数学试卷一、选择题本大题共15小题，共60分；其中第9、10、11题为选做题）1（5分）某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68
2、96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（）A522B324C535D5782（5分）如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A100mB50mC100mD200m3（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的n值是（）A5B7C9D114（5分）已知某地A、B、C三个村的人口户数及就困情况
3、分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取10%户数进行调查，则样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是（）A100，20B100，10C200，20D200，105（5分）已知0a1，0cb1，下列不等式成立的是（）AabacBClogbalogcaD6（5分）七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）ABCD7（5分）若正实数x，y满足x+y1，则+的最小值为（）ABCD8（5分）在ABC中，
4、角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2a2+bc若sinBsinCsin2A，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形9（5分）圆锥的母线长为4，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥表面积为（）A10B12C16D1810已知向量、的夹角为60，|2，|1，则|（）ABC2D11（5分）我国古代数学名著九章算术记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈刍，草也；甍，屋盖也”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍甍字面意思为茅草屋顶”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形则它的体积为（）AB160CD6412已知定义
5、在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）f（1x），且当x0，1时，f（x）2xm，则f（2019）（）A1B1C2D213（5分）（理科）已知关于x的不等式（a24）x2+（a2）x10的解集为空集，则实数a的取值范围是（）A2，B2，）C（，2D（，22，+）14已知函数f（x）x+1，将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数yg（x）的图象，若g（x1）g（x2）9，则|x1x2|的值可能为（）ABCD15（5分）设数列an的前n项的和为Sn，且，若对于任意的nN*都有1x（Sn4n）3恒成立，则实数x的取值范围是（）A，3
6、B2，3CD二、填空题（本大题共5小题，共20分；其中第14题为选做题）16（5分）我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 17（5分）（合肥六中学生做）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA，bc，且ABC的面积是，则a 18若，则sin（+） 19（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a11，S3a5，am2019，则m 20（5分）在ABC中，
7、ABC150，D是线段AC上的点，DBC30，若ABC的面积为，当BD取到最大值时，AC 三、解答题（本大题共8小题，共70分；其中第17、18题为选做题）21（10分）底面半径为3，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）（1）设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数；（2）当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值22已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|），它的部分图象如图所示（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x时，求函数f（x）的值域23（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S28，a3+a82a5+
8、2（1）求an；（2）设数列的前n项和为Tn，求证：24（合肥一中生做）已知函数f（x）（mR）（1）当m3时，判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）当m1时，判断并证明函数f（x）在R上的单调性25（12分）某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在50，100内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级ABCD规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计按照50，60）60，70），70，80），8
9、0，90）90，00的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（2）根据频率分布直方图，求成绩的中位数（精确到0.1）；（3）在选取的样本中，从A，D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A等级的概率26（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（2a+c）cosB+bcosC0（1）求角B的大小；（2）若a3，点D在AC边上，且BDAC，BD，求c边的长27（12分）设数列an满足a12，an+1an2n；数列bn的前n
10、项和为Sn，且Sn（3n2n）（）求数列an和bn的通项公式；（）若cnanbn，求数列cn的前n项和Tn28（12分）如表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：学号12345678910111213141516171819202122数学1171289611313613912112412111511512312511712312213212996105106120物理80818385898191788591727687827982818963737745学号23242526272829303132333435363738394041424344数学1081378795108119
11、101128125748113510197116102761006286120101物理7680715772656979055567763707563596442627765用这44人的两科成绩制作如下散点图：学号为22号的A同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为31号的B同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将A、B两同学的成绩（对应于图中A、B两点）剔除后，用剩下的42个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为110.5，标准差为18.36，物理学科的平均分为74，标准差为11.18，数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为0.8222，回归
12、直线l（如图所示）的方程为y0.5006x+18.68（）若不剔除A、B两同学的数据，用全部44的成绩作回归分析，设数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为0，回归直线为l0，试分析0与的大小关系，并在图中画出回归直线l0的大致位置（）如果B同学参加了这次物理考试，估计B同学的物理分数（精确到个位）：（）就这次考试而言，学号为16号的C同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平可按公式Zi统一化成标准分再进行比较，其中Xi为学科原始分，为学科平均分，s为学科标准差）2018-2019学年安徽省合肥一中、合肥六中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择
13、题本大题共15小题，共60分；其中第9、10、11题为选做题）1（5分）某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77
14、34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（）A522B324C535D578【分析】根据随机抽样的定义进行判断即可【解答】解：第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578合适则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578，则第6个编号为578，故选：D【点评】本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键2（5分）如图，设A，B两点
15、在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A100mB50mC100mD200m【分析】依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，ACB，B的值求得AB【解答】解：由正弦定理得，ACB45，CAB105；B30AB100，故A、B两点的距离为100m，故选：A【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用考查了学生对基础知识的综合应用3（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的n值是（）A5B7C9D11【分析】模拟执行程序的运行过程，即可得出循环终止时输出的n值【解答】解：执行如图所
16、示的程序框图如下，n1时，S，n3时，S+，n5时，S+，n7时，S+，满足循环终止条件，此时n9，则输出的n值是9故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题4（5分）已知某地A、B、C三个村的人口户数及就困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取10%户数进行调查，则样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是（）A100，20B100，10C200，20D200，10【分析】利用分层抽样、扇形统计图和条形统计图直接求解【解答】解：由题意得，样本容量为：（350+450+200）10%100，抽取C村贫困户的户数为：20010%50
17、%10故选：B【点评】本题考查频数的求法，考查分层抽样、扇形统计图和条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5（5分）已知0a1，0cb1，下列不等式成立的是（）AabacBClogbalogcaD【分析】根据不等式的性质进行判断【解答】解：0a1yax是递减函数，又cb，所以acab，故不正确；a（cb）0，故B不正确；a（bc）0，故D正确故选：D【点评】本题考查了了不等关系与不等式，属基础题6（5分）七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自
18、黑色部分的概率为（）ABCD【分析】根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积，即可得到结论【解答】解：设正方形的边长为2，则阴影部分由三个小等腰直角三角形构成，则正方形的对角线长为，则等腰直角三角形的边长为，对应每个小等腰三角形的面积S，则阴影部分的面积之和为3，正方形的面积为4，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为，故选：C【点评】本题主要考查几何概型的应用，根据图形，求出对应区域的面积是解决本题的关键7（5分）若正实数x，y满足x+y1，则+的最小值为（）ABCD【分析】将x+y1变成x+1+y2，将原式+（+）（1+4+）后，用基本不等式可得【解答】解：x0，y0，x+y1
19、，x+1+y2，+（+）（1+4+）（5+2）（当且仅当x，y取等号），故选：D【点评】本题考查了基本不等式及其应用，属基础题8（5分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2a2+bc若sinBsinCsin2A，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形【分析】b2+c2a2+bc，利用余弦定理可得cosA，可得由sin Bsin Csin2A，利正弦定理可得：bca2，代入b2+c2a2+bc，可得bc【解答】解：在ABC中，b2+c2a2+bc，cosA，A（0，），sin Bsin Csin2A，bca2，代入b2+c2a2+bc，
20、（bc）20，解得bcABC的形状是等边三角形故选：C【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9（5分）圆锥的母线长为4，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥表面积为（）A10B12C16D18【分析】半径为4的半圆的弧长是8，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是8，利用弧长公式计算底面半径，即可求解圆锥的表面积【解答】解：一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图为半圆，半圆的弧长为：l4，即圆锥的底面周长为：4，设圆锥的底面半径是r，则得到2r4，解得：r2，这个圆锥的底面半径是2，圆锥的表面积为：S42+2212，故选：B
21、【点评】本题考查圆锥表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题10已知向量、的夹角为60，|2，|1，则|（）ABC2D【分析】直接利用向量的模以及向量的数量积转化求解即可【解答】解：向量、的夹角为60，|2，|1，则|故选：A【点评】本题考查平面向量的数量积的应用，向量的模的求法，是基本知识的考查11（5分）我国古代数学名著九章算术记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈刍，草也；甍，屋盖也”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍甍字面意思为茅草屋顶”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形则它的体积为
22、（）AB160CD64【分析】作出几何体的直观图，将几何体分解成两个四棱锥和一个三棱柱计算体积【解答】解：作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积V144432，四棱锥的体积V22441，由三视图可知两个四棱锥大小相等，VV1+2V2故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中分析出几何体的形状是解答的关键12已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）f（1x），且当x0，1时，f（x）2xm，则f（2019）（）A1B1C2D2【分析】根据f（x）是R上的奇函数，并且f（x+1）f（1
23、x），便可得出f（x+4）f（x），即f（x）的周期为4，而由x0，1时，f（x）2xm及f（x）是奇函数，即可得出f（0）1m0，从而求得m1，这样便可得出f（2019）f（1）f（1）1【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+1）f（1x）；f（x+2）f（x）f（x）；f（x+4）f（x）；f（x）的周期为4；x0，1时，f（x）2xm；f（0）1m0；m1；x0，1时，f（x）2x1；f（2019）f（1+5054）f（1）f（1）1故选：B【点评】考查奇函数的定义，周期函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为013（5分）（理科）已知关于x的不等式（a24）x2
24、+（a2）x10的解集为空集，则实数a的取值范围是（）A2，B2，）C（，2D（，22，+）【分析】对a分类讨论：当a240，即a2直接验证即可当a240，即a2时由于关于x的不等式（a24）x2+（a2）x10的解集为空集，可得，解得即可【解答】解：当a240，即a2当a2时，不等式（a24）x2+（a2）x10化为10，其解集为空集，因此a2满足题意；当a2时，不等式（a24）x2+（a2）x10化为4x10，即，其解集不为空集，因此a2满足题意，应舍去；当a240，即a2时关于x的不等式（a24）x2+（a2）x10的解集为空集，解得a2综上可得：a的取值范围是（，2故选：C【点评】本题
25、考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了分类讨论的思想方法，考查了计算能力，属于中档题14已知函数f（x）x+1，将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数yg（x）的图象，若g（x1）g（x2）9，则|x1x2|的值可能为（）ABCD【分析】化函数f（x）为正弦型函数，根据三角函数图象变换写出函数yg（x）的解析式，利用g（x1）g（x2）9求得x1、x2满足的条件，再求|x1x2|的可能取值【解答】解：函数f（x）x+1sin2xcos2x2sin（2x），将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y2sin
26、（4x）的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数yg（x）2sin（4x）+1的图象，若g（x1）g（x2）9，则4x+2k，kZ；解得x+，kZ；其中x1、x2是三角函数g（x）最高点的横坐标，|x1x2|的值为T的整数倍，且T故选：B【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了图象平移与变换问题，是基础题15（5分）设数列an的前n项的和为Sn，且，若对于任意的nN*都有1x（Sn4n）3恒成立，则实数x的取值范围是（）A，3B2，3CD【分析】由已知得Sn4n+1（）n，从而x（Sn4n）1（）n，进而，由此根据n为奇数和n为偶数两种情况进行分类讨论，能求出实p的取值范
27、围【解答】解：数列an的前n项和为Sn，且，Sn4n+4n+1（）n，x（Sn4n）1（）n，由x（Sn4n）1，3，得11（）n3，1（）n0，当n为奇数时，随n的增大而递增，且01，当n为偶数时，随n的增大而递减，且1，的最大值为，的最小值为2 由11（）n3，得，解得2x3，所求实数x的取值范围是2，3故选：B【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意等比数列性质、分类讨论思想、不等式性质的合理运用二、填空题（本大题共5小题，共20分；其中第14题为选做题）16（5分）我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，
28、有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98【分析】利用加权平均数公式直接求解【解答】解：经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：（100.97+200.98+100.99）0.98故答案为：0.98【点评】本题考查经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值的求法，考查加权平均数公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题17（5分）（合肥六中学生做）已知ABC的内角A，B，C
29、的对边分别为a，b，c，若cosA，bc，且ABC的面积是，则a【分析】根据题意，有cosA的值求出sinA的值，由三角形面积公式可得SbcsinA，则有bc3，又由bc，可得b、c的值，由余弦定理计算可得答案【解答】解：根据题意，ABC中，若cosA，则sinA，又由ABC的面积是，即SbcsinA，则有bc3，又由bc，则c，b，则有a2b2+c22bccosA+223，则a，故答案为：【点评】本题考查余弦定理的应用，涉及三角形面积的计算，属于基础题18若，则sin（+）【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式，求得sin（+）的值【解答】解：若，则4sin2+9cos
30、212sincos，4cos2+9sin212cossin，+可得4+912sin（+），求得sin（+），故答案为：【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题19（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a11，S3a5，am2019，则m1010【分析】根据题意，设等差数列an公差为d，结合等差数列的通项公式可得3（1+d）1+4d，解可得d的值，又由ama1+（m1）d2m12019，解可得m的值，即可得答案【解答】解：根据题意，设等差数列an公差为d，则S33a23（a1+d），又由a11，S3a5，则3（1+d）1+4d，d2，则ama1+（m
31、1）d2m12019，解可得m1010；故答案为：1010【点评】本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的通项公式，属于基础题20（5分）在ABC中，ABC150，D是线段AC上的点，DBC30，若ABC的面积为，当BD取到最大值时，AC2【分析】由题意利用三角形的面积公式可求ac4，设BDx，由SBCD+SABDax+cx，可得：x，利用基本不等式可求BD取到最大值时a，解得a，c的值，由余弦定理可得AC的值【解答】解：由题意可得：SABCacsin150ac，解得：ac4，设BDx，则：SBCD+SABDax+cx，可得：x，当且仅当a时x取得最大值，a2，c2，由余弦定理可得：AC2
32、AB2+BC22ABBCcosABC22+（2）22（）28，解得：AC2故答案为：2【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，基本不等式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题三、解答题（本大题共8小题，共70分；其中第17、18题为选做题）21（10分）底面半径为3，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）（1）设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数；（2）当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值【分析】（1）根据相似性可得将棱柱的高h表示成x的函数；（2）利用配方法，即可求出当x取何值时，此正四棱柱的表面
33、积最大，并求出最大值【解答】解：（1）根据相似性可得：，（3分）解得：h62x（0x3）（6分）（2）解：设该正四棱柱的表面积为y则有关系式y2x2+4xh2x2+4x（62x）6（x2）2+48（9分）因为0x3，所以当x2时，ymax48（11分）故当正四棱柱的底面边长为2时，正四棱柱的表面积最大值为48（12分）【点评】本题考查圆锥有一个内接的正四棱柱问题，考查正四棱柱的表面积最大值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题22已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|），它的部分图象如图所示（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x时，求函数f（x）的值域【分析】（1）由图观察得A，T
34、，利用T求得，代最高点（，2）求；（2）利用正弦函数的图象求值域【解答】解：（1）依题意，A2，T4（），2，故f（x）2sin（2x+）将点（，2）的坐标代入函数的解析式可得sin（+）1则2k（kZ），又|，故，故函数解析式为f（x）2sin（2x）（2）当x，时，2x，则sin（2x）1，2sin（2x）2，所以函数f（x）的值域为，2【点评】本题考查了由yAsin（x+）的部分图象确定解析式，属中档题23（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S28，a3+a82a5+2（1）求an；（2）设数列的前n项和为Tn，求证：【分析】（1）利用已知条件求出数列的通项公式（2）利用（1）
35、的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，再利用放缩法求出结果【解答】解：（1）设数列an的公差为d，由题意知：，解得a13，d2所以an2n+1（2）由（1），an2n+1，则有则所以Tn，【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型24（合肥一中生做）已知函数f（x）（mR）（1）当m3时，判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）当m1时，判断并证明函数f（x）在R上的单调性【分析】（1）运用函数的奇偶性的定义，即可得到结论；（2）由分子常数化，化f（x）可得f（x）在R上递减，再由函数的单调性可得结
36、论【解答】解：（1）函数f（x）为奇函数，由定义域为R，且f（x）f（x），可得f（x）为奇函数；（2）m1，函数f（x）1+在R上为减函数，理由：设x1x2，f（x1）f（x2）1+1（m1），由m1，可得m10，x1x2，可得220，且（1+2）（1+2）0，即有f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），可得m1时，f（x）在R上为减函数【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，考查化简运算能力，属于基础题25（12分）某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在50，100内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表百分制8
37、5分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级ABCD规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计按照50，60）60，70），70，80），80，90）90，00的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（2）根据频率分布直方图，求成绩的中位数（精确到0.1）；（3）在选取的样本中，从A，D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A等级的概率【分析】（1）
38、由题意求出样本容量，再计算x、y的值，用频率估计概率值；（2）根据频率分布直方图，计算成绩的中位数即可；（3）由茎叶图中的数据，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值【解答】解：（1）由题意知，样本容量n50，x0.004，y0.018；因为成绩是合格等级人数为：（10.1）5045人，抽取的50人中成绩是合格等级的概率为P，即估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为；（2）根据频率分布直方图，计算成绩的中位数为70+1073.9；（3）由茎叶图知，A等级的学生有3人，D等级的学生有0.1505人，记A等级的学生为A、B、C，D等级的学生为d、e、f、g、h，从这8人中随机抽取2人，基本
39、事件是：AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch、de、df、dg、dh、ef、eg、eh、fg、fh、gh共28个；至少有一名是A等级的基本事件是：概率AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch共18个；故所求的概率为P【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题26（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（2a+c）cosB+bcosC0（1）求角B的大小；（2）若a3，点D在AC边上，且BDAC
40、，BD，求c边的长【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出B的值（2）利用三角形的边的关系及余弦定理和三角形面积公式，建立等量关系式求出c的值【解答】（1）由（2a+c）cosB+bcosC0及正弦定理，可得2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC0，即2sinAcosB+sin（B+C）0，由A+B+C可得sin（B+C）sinA，所以sinA（2cosB+1）0，因为0A，sinA0，所以（2）由得b2a2+c2+acc2+3c+9，又因为BDAC，所以ABC的面积，把，带入得，所以，解得c5【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理、
41、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于基础题型27（12分）设数列an满足a12，an+1an2n；数列bn的前n项和为Sn，且Sn（3n2n）（）求数列an和bn的通项公式；（）若cnanbn，求数列cn的前n项和Tn【分析】（）由累加法求得an，由bn可得bn；（）由错位相减法可得Tn【解答】解：（）a2a121，a3a222，a4a323，anan12n1，以上n1个式子相加得：ana121+22+23+2n12n2an2nn2时，bnSnSn1（3n2n）3（n1）2（n1）3n2n1时，b1S11，符合上式，bn3n2；（）cnanbn（3n2）2nTn121+422+723+（3n2）2n2Tn122+423+724+（3n2）2n+1得Tn2+3（22
