1、2018-2019学年陕西省西安市高新一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）已知集合A1，0，1，2，集合By|y2x3，xA，则AB（）A1，0，1B1，1C1，1，2D0，1，22（4分）设集合Ax|0x2，By|1y2，在下图中能表示从集合A到集合B的映射的是（）ABCD3（4分）方程log4x+x7的解所在区间是（）A（1，2）B（3，4）C（5，6）D（6，7）4（4分）由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数yax2+bx+c的图象过点（1，0）求证：这个二次函数的图象
2、关于直线x2对称根据现有信息，题中的二次函数不一定具有的性质是（）A在x轴上截得的线段的长度是2B与y轴交于点（0，3）C顶点是（2，2）D过点（3，0）5（4分）若偶函数f（x）在（，0）内单调递减，则不等式f（1）f（lgx）的解集是（）A（0，10）B（，10）C（，+）D（0，）（10，+）6（4分）若0ab1，则的大小关系为（）ABCD7（4分）函数f（x）x2的零点个数为（）A0B1C2D38（4分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）f（x），当x0，1时，f（x）2x1，则（）ABCD9（4分）已知函数f（x），当x1x2时，0，则a的取值范围是（）A（0，B，C（0
3、，D，10（4分）定义在R上的奇函数f（x），当x0时，则关于x的函数F（x）f（x）a（0a1）的所有零点之和为（）A2a1B12aClog2（1+a）Dlog2（1a）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11（4分）设2a5bm，且+2，m 12（4分）若集合Px|x2+x60，Sx|ax+10，且SP，则实数a的可能取值组成的集合是 13（4分）已知f（x）是定义域为R的奇函数，满足f（1+x）f（1x），若f（1）2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（2018） 14（4分）若函数f（x）loga（2x2+x）（a0，a1）在
4、区间恒有f（x）0，则f（x）的单调递增区间是 三、解答题：（本大题共5小题，共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15已知集合Ax|33x27，Bx|log2x1（1）分别求AB，（RB）A；（2）已知集合Cx|axa+1，若ACC求实数a的取值范围16计算：（1）（）0+（2）6（2）lg2lg+3lg5log32log4917已知函数f（x）是定义在R上的奇函数（1）判断并证明f（x）在（，+）上的单调性（2）若对任意实数t，不等式f（kt2kt）+f（2kt）0恒成立，求k的取值范围18已知函数f（x）（）x，（1）当x1，1时，求函数yf（x）22af（x）
5、+3的最小值g（a）；（2）是否存在实数mn3，使得g（x）的定义域为n，m，值域为n2，m2？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由19已知函数f（x）x22ax+5（aR）（1）当a1时，若g（x）2x+log2（x+1），且对任意的x0，1，都存在x00，1，使得f（x0）g（x）成立，求实数a的取值范围；（2）当f（x）（1a）（x2+x）+4时，求x的取值范围四、附加题（本大题共2小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20当x0时，求函数f（x）的最小值21设二次函数f（x）ax2+bx+c（a，b，cR，a0）满足条件：（1）当xR时，f（x4）f（2x），
6、且f（x）x：（2）当x（0，2）时，f（x）；（3）f（x）在R上的最小值为0求最大的m（m1），使得存在tR，只要x1，m，就有f（x+t）x2018-2019学年陕西省西安市高新一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）已知集合A1，0，1，2，集合By|y2x3，xA，则AB（）A1，0，1B1，1C1，1，2D0，1，2【分析】化简集合B，根据交集的定义写出AB【解答】解：集合A1，0，1，2，集合By|y2x3，xA5，3，1，1，则AB1，1故选：B【点评】本题考查了集
7、合的化简与运算问题，是基础题2（4分）设集合Ax|0x2，By|1y2，在下图中能表示从集合A到集合B的映射的是（）ABCD【分析】仔细观察图象，在A中，当0x1时，y1，所以集合A到集合B不成映射，在B中，1x2时，y1，所以集合A到集合B不成映射，故B不成立；在C中，0x1时，任取一个x值，在0y2内，有两个y值与之相对应，所以构不成映射，故C不成立；在D中，0x1时，任取一个x值，在0y2内，总有唯一确定的一个y值与之相对应，故D成立【解答】解：在A中，当0x1时，y1，所以集合A到集合B不成映射，故A不成立；在B中，1x2时，y1，所以集合A到集合B不成映射，故B不成立；在C中，0x1
8、时，任取一个x值，在0y2内，有两个y值与之相对应，所以构不成映射，故C不成立；在D中，0x1时，任取一个x值，在0y2内，总有唯一确定的一个y值与之相对应，故D成立故选：D【点评】本题考查映射的判断，解题时要注意映射的构成条件3（4分）方程log4x+x7的解所在区间是（）A（1，2）B（3，4）C（5，6）D（6，7）【分析】令函数f（x）log4x+x7，则函数f（x）是（0，+）上的单调增函数，且是连续函数，根据f（5）f（6）0，可得函数f（x）log4x+x7的零点所在的区间为（5，6），由此可得方程log4x+x7的解所在区间【解答】解：令函数f（x）log4x+x7，则函数f（
9、x）是（0，+）上的单调增函数，且是连续函数，f（5）0，f（6）0，故有 f（5）f（6）0，故函数f（x）log4x+x7的零点所在的区间为（5，6），故方程log4x+x7的解所在区间是（5，6），故选：C【点评】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，方程的解与函数的零点的关系，属于基础题4（4分）由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数yax2+bx+c的图象过点（1，0）求证：这个二次函数的图象关于直线x2对称根据现有信息，题中的二次函数不一定具有的性质是（）A在x轴上截得的线段的长度是2B与y轴交于点（0，3）C顶点是（2，2）D
10、过点（3，0）【分析】因为二次函数的顶点在对称轴上，而选项C中顶点不在对称轴x2上【解答】解：由已知得：，解得b4a，c3a，二次函数为ya（x24x+3），其顶点的横坐标为2B选项是不一定，C选项是一定不是，A、D则一定成立所以应该选择B故选：B【点评】本题考查了二次函数的性质与图象属基础题5（4分）若偶函数f（x）在（，0）内单调递减，则不等式f（1）f（lgx）的解集是（）A（0，10）B（，10）C（，+）D（0，）（10，+）【分析】由于偶函数f（x）在（，0内单调递减故f（x）在（0，+）内单调递增，利用函数的性质可得等价于|lgx|1|，从而解得x的范围【解答】解：因为f（x）为
11、偶函数，所以f（x）f（|x|），因为f（x）在（，0）内单调递减，所以f（x）在（0，+）内单调递增，由f（1）f（lg x），得|lg x|1，即lg x1或lg x1，解得x10或0x故选：D【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，在解对数不等式时注意对数的真数大于0，是个基础题6（4分）若0ab1，则的大小关系为（）ABCD【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：0ab1，logbalogbb1ab0，logbaab，故选：D【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（4分）函数f（x）x2的零点个数为（）A0B1C
12、2D3【分析】由题意可得求方程x2+1的实根个数，作出yx2+1与y的图象，可得交点个数【解答】解：f（x）x2的零点即为方程x2+1的实根，作出yx2+1与y的图象，可得它们的交点个数为1，即f（x）的零点个数为1故选：B【点评】本题考查函数的零点个数，注意运用转化思想和数形结合思想方法，属于基础题8（4分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）f（x），当x0，1时，f（x）2x1，则（）ABCD【分析】由题意可得函数的周期为4，结合奇偶性和题意可得答案【解答】解：f（x+2）f（x），f（x+4）f（x+2）+2f（x+2）f（x），函数f（x）是周期为4的周期函数，f（6）f（
13、2）f（0）0，f（）f（）f（）f（）1，f（7）f（1）1，故选：B【点评】本题考查函数的奇偶性和周期性，属基础题9（4分）已知函数f（x），当x1x2时，0，则a的取值范围是（）A（0，B，C（0，D，【分析】由题意可得，函数是定义域内的减函数，故有，由此解得a的范围【解答】解：当x1x2时，0，f（x）是R上的单调减函数，f（x），0a，故选：A【点评】本题主要考查函数的单调性的判断和单调性的性质，属于中档题10（4分）定义在R上的奇函数f（x），当x0时，则关于x的函数F（x）f（x）a（0a1）的所有零点之和为（）A2a1B12aClog2（1+a）Dlog2（1a）【分析】化简分
14、段函数的解析式，画出函数的图象，判断函数的零点的关系，求解即可【解答】解：当x0时，又f（x）是奇函数，由图象可知：F（x）0f（x）a，（0a1），有5个零点，其中有两个零点关于x3对称，还有两个零点关于x3对称，所以这四个零点的和为零，第五个零点是直线ya与函数，x（1，0交点的横坐标，即方程的解，xlog2（1+a），故选：C【点评】本题考查函数零点与图象的对称性及指数方程的解法考查数形结合以及计算能力二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11（4分）设2a5bm，且+2，m【分析】先解出a，b，再代入方程利用换底公式及对数运算性质化简即可得到m的等式，求m【解答】解：2a
15、5bm，alog2m，blog5m，由换底公式得，m210，m0，故应填【点评】考查指对转化，对数的运算性质，求两对数式的倒数和，若两真数相同，常用换底公式转化为同底的对数求和12（4分）若集合Px|x2+x60，Sx|ax+10，且SP，则实数a的可能取值组成的集合是，0，【分析】分S，S两种情况，根据子集的定义分别得方程求得【解答】解：Px|x2+x603，2，S，a0；S，Sx|x，3，a'2，a；综上可知：实数a的可能取值组成的集合为，0，故答案为：，0，【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，难度中档13（4分）已知f（x）是定义域为R的奇函
16、数，满足f（1+x）f（1x），若f（1）2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（2018）2【分析】根据题意，由函数的奇偶性以及f（1+x）f（1x）分析可得f（x+2）f（x），进而可得f（x+4）f（x），即函数f（x）为周期为4的周期函数；据此分析可得f（2）、f（3）、f（4）的值，据此可得f（1）+f（2）+f（3）+f（2018）f（1）+f（2）+f（3）+f（4）504+f（2017）+f（2018）f（1）+f（2），计算可得答案【解答】解：根据题意，f（x）是定义域为R的奇函数，则f（x）f（x），又由f（x）满足f（1+x）f（1x），则f（x）f（2+x），则有f（x
17、+2）f（x），变形可得：f（x+4）f（x），即函数f（x）为周期为4的周期函数；又由f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）0，则f（2）f（0）0，f（3）f（1）2，f（4）f（0）0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）2+0+（2）+00，则有f（1）+f（2）+f（3）+f（2018）f（1）+f（2）+f（3）+f（4）504+f（2017）+f（2018）f（1）+f（2）2；故答案为：2【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，注意分析函数的周期，属于基础题14（4分）若函数f（x）loga（2x2+x）（a0，a1）在区间恒有f（x）0，则f（x）的单调递增区间是【
18、分析】本题要根据题设中所给的条件解出f（x）的底数a的值，由x，得2x2+x（0，1），至此可由恒有f（x）0，得出底数a的取值范围，再利用复合函数单调性求出其单调区间即可【解答】解：函数f（x）loga（2x2+x）（a0，a1）在区间恒有f（x）0，由于x，得2x2+x（0，1），又在区间恒有f（x）0，故有a（0，1）对复合函数的形式进行，结合复合函数的单调性的判断规则知，函数的单调递增区间为（，）故应填（，）【点评】本题考查用复合函数的单调性求单调区间，在本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，解决本题的关键三、解答题：（本大题共5小题，共44分，解答应写出文字说明、证
19、明过程或演算步骤）15已知集合Ax|33x27，Bx|log2x1（1）分别求AB，（RB）A；（2）已知集合Cx|axa+1，若ACC求实数a的取值范围【分析】（1）化简集合A，B即可求解AB，（RB）A；（2）根据ACC，可得CA，建立关系即可求解；【解答】解：集合Ax|33x27x|1x3，Bx|log2x1x|0x2，（1）ABx|1x2，由RBx|0x或x2，（RB）Ax|0x或x1；（2）集合Cx|axa+1，ACC，CA，则，解得：1a2故得实数a的取值范围是1，2【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，难度中档16计算：（1）（）0+（2）6（
20、2）lg2lg+3lg5log32log49【分析】（1）利用指数的性质、运算法则直接求解（2）利用对数的性质、运算法则直接求解【解答】解：（1）（）0+（2）641+3+88+（2）lg2lg+3lg5log32log49lg（24125）312【点评】本题考查对数式、对数式求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题17已知函数f（x）是定义在R上的奇函数（1）判断并证明f（x）在（，+）上的单调性（2）若对任意实数t，不等式f（kt2kt）+f（2kt）0恒成立，求k的取值范围【分析】（1）根据f（x）是奇函数，求解b，分离常数，利用指数函数的性质单
21、调性即可；（2）根据奇偶性和单调性，脱去“f”转化为二次函数的问题求解k的取值范围【解答】解：（1）函数f（x）是定义在R上的奇函数f（0）0，即b200，可得b1；经检验，b1时，f（x）是奇函数；那么f（x）+；u2x+1根据指数函数的性质可得，在R上递增；y在R上递减；即函数f（x）在（，+）上的单调递减函数证明：设任意定义域R上x1，x2，且x1x2，可得；x1x2，则f（x1）f（x2）；函数f（x）在（，+）上的单调递减函数（2）由f（kt2kt）+f（2kt）0，可得f（kt2kt）f（2kt）；f（x）是奇函数，则f（kt2kt）f（2+kt）；又f（x）是减函数，kt2ktk
22、t2，即kt22kt+20对任意实数t恒成立，当k0时，显然成立；当k0时，根据二次函数的性质，可得，即，解得：0k2；综上，可得k的取值范围是0，2）【点评】本题一方面考查了函数奇偶性和单调性的性质，另一方面转化思想的应用，二次函数的问题注意分类讨论18已知函数f（x）（）x，（1）当x1，1时，求函数yf（x）22af（x）+3的最小值g（a）；（2）是否存在实数mn3，使得g（x）的定义域为n，m，值域为n2，m2？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）由x的范围和指数函数的单调性，求出f（x）的值域，利用配方法化简yf（x）22af（x）+3，根据一元二次函数的性质
23、对a进行分类讨论，由单调性求出最小值即可；（2）假设存在满足题意的m、n，由一次函数的单调性和题意列出方程组，化简后由mn3判断出结论不成立【解答】解：（1）x1，1，f（x）（）x，3，（1分）yf（x）22af（x）+3（）x22a（）x+3（）xa2+3a2，（3分）由一元二次函数的性质分三种情况：当a时，yming（a）；（5分）当a3时，yming（a）3a2；（6分）当a3时，yming（a）126a（7分）g（a）（8分）（2）假设存在满足题意的m、n，mn3，且g（x）126x在 （3，+）上是减函数（9分）又g（x）的定义域为n，m，值域为n2，m2
24、; （10分）两式相减得：6（mn）（m+n）（mn），mn3，m+n6，但这与“mn3”矛盾（11分）满足题意的m、n不存在（12分）【点评】本题考查了指数函数的单调性，以及一元一次、一元二次函数的性质的应用，考查配方法、分类讨论思想19已知函数f（x）x22ax+5（aR）（1）当a1时，若g（x）2x+log2（x+1），且对任意的x0，1，都存在x00，1，使得f（x0）g（x）成立，求实数a的取值范围；（2）当f（x）（1a）（x2+x）+4时，求x的取值范围【分析】（1）分别求出f（x）和g（x）在0，1上的值域，再根据题意得子集关系列式解得；（2）先按照a的符号分3种情况讨论，再
25、根据两根的大小分3种情况讨论【解答】解：（1）当a1时，f（x）x22ax+5在0，1上是递减函数，f（x）f（1），f（0）62a，5，g（x）2x+log2 （x+1）在0，1上是递增函数，g（x）g（0），g（1）1，3依题意可得：1，362a，5，解得：a，（2）f（x）x22ax+5（1a）（x2+x）+4，整理得：ax2（a+1）x+10，即（ax1）（x1）0，当a0时，不等式变为：（x）（x1）0，当1，即0a1时，1a；当1，即a1时，不等式无解；当1，即a1时，x1；当a0时，x1；当a0时，不等式变为：（x）（x1）0，x1或x【点评】本题考查了二次函数的性质与图象属中档
26、题四、附加题（本大题共2小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20当x0时，求函数f（x）的最小值【分析】化简f（x），再令（x+）t，利用基本不等式求出t的取值范围，则f（t）2t，根据函数的单调性即可求【解答】解：f（x）（x+），令（x+）t，则t（x+）22，当且仅当x1时去等号，f（t）（2t），易知f（t）在2，+）上为增函数，f（x）minf（t）minf（2）【点评】本题考查了指数幂的运算和基本不等式以及函数的单调性，属于中档题21设二次函数f（x）ax2+bx+c（a，b，cR，a0）满足条件：（1）当xR时，f（x4）f（2x），且f（x）x：（2）当x（
27、0，2）时，f（x）；（3）f（x）在R上的最小值为0求最大的m（m1），使得存在tR，只要x1，m，就有f（x+t）x【分析】通过三个条件先求出函数解析式f（x）x2+x+，只要x1，m，就有f（x+t）x那么当x1时也成立确定出t的范围，然后研究当xm时也应成立，利用函数的单调性求出m的最值【解答】解：因f（x4）f（2x），则函数的图象关于x1对称，1，b2a，由（3），x1时，y0，即ab+c0，由（1）得，f（1）1，由（2）得，f（1）1，则f（1）1，即a+b+c1又ab+c0，则b，a，c，故f（x）x2+x+假设存在tR，只要x1，m，就有f（x+t）x取x1，有f（t+1）
28、1，即（t+1）2+（t+1）+1，解得4t0，对固定的t4，0，取xm，有f（t+m）m，即（t+m）2+（t+m）+m化简有：m22（1t）m+（t2+2t+1）0，解得1tm1t+，故m1t1（4）+9当t4时，对任意的x1，9，恒有f（x4）x（x210x+9）（x1）（x9）0m的最大值为9另解：f（x4）f（2x）函数的图象关于x1对称，即b2a由知当x1时，y0，即ab+c0由得 f（1）1，由得 f（1）1f（1）1，即a+b+c1，又ab+c0a，b，cf（x）（5分）假设存在tR，只要x1，m，就有f（x+t）x取x1时，有f（t+1）1（t+1）2+（t+1）+14t0对固定的t4，0，取xm，有f（t+m）m（t+m）2+（t+m）+mm22（1t）m+（t2+2t+1）0m（10分）m9 （15分）当t4时，对任意的x1，9，恒有f（x4）x（x210x+9）（x1）（x9）0m的最大值为9 （20分）【点评】本题考查了函数的最值问题，以及利用函数单调性进行求解最值，考查了学生的计算能力，属于中档题
