1、2017-2018学年陕西省西安市长安一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共14小题，每小题5分，共70分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设函数的定义域A，函数yln（1x）的定义域为B，则AB（）A（0，1）B0，1）C（0，1D0，12（5分）已知向量（2，4），（1，1），则2（）A（5，7）B（5，9）C（3，7）D（3，9）3（5分）下列函数为奇函数的是（）AyBy|sinx|CycosxDyexex4（5分）函数f（x）sin（x）的图象的一条对称轴是（）AxBxCxDx5（5分）若函数f（x）x2ax3在区间（，4上单调递减，则实数a满足的条件
2、是（）A8，+）B（，8C4，+）D4，+）6（5分）给定函数，y|x1|，y2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）ABCD7（5分）函数f（x）log2x+x4的零点所在的区间是（）AB（1，2）C（2，3）D（3，4）8（5分）设alog36，blog510，clog714，则（）AcbaBbcaCacbDabc9（5分）函数f（x）Asin（x+）+b（A0，0，|）的一部分图象如图所示，则（）Af（x）3sin（2x）+1Bf（x）2sin（3x+）+2Cf（x）2sin（3x）+2Df（x）2sin（2x+）+210（5分）已知ABC是边长为1的等边三角形，点D、E
3、分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为（）ABCD11（5分）函数ysin2x3cosx+3的最小值是（）A2B0CD612（5分）已知f（x）的值域为R，那么a的取值范围是（）A（，1B（1，）C1，）D（0，1）13（5分）设（0，），（0，），且tan，则（）A3B3+C2D2+14（5分）已知函数f（x）2sin（2x+）+2cos2（x+）1，把函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，若x1，x2是g（x）m0在0，内的两根，则sin（x1+x2）的值为（）ABCD二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分.把答案填写在答题
4、卡相应的位置.）15（5分）已知向量（2，3），（3，m），且，则m 16（5分）已知向量，满足|1，|2，与的夹角为60，则| 17（5分）已知角的终边过点P（4，3），则2sin+cos的值为 18（5分）奇函数f（x）的定义域为2，2，若f（x）在0，2上单调递减，且f（1+m）+f（m）0，则实数m的取值范围是 19（5分）由于德国著名数学家狄利克雷对数论、数学分析和物理学的突出贡献，人们将函数命名为狄利克雷函数，已知函数f（x）xD（x），下列说法中：函数f（x）的定义域和值域都是R； 函数f（x）是奇函数；函数f
5、（x）是周期函数； 函数f（x）在区间2，3上是单调函数正确结论是 20（5分）已知函数，关于x的方程f（x）m（mR）有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4则x1x2x3x4的取值范围为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共4小题，共50分）21（12分）计算下列各式的值：（1）（2）（3）22（12分）如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，AOP（0），C点坐标为（2，0），平行四边形OAQP的面积为S（1）求+S的最大值
6、；（2）若CBOP，求sin（2）的值23（12分）已知向量（m，cos2x），（sin2x，1），函数f（x），且yf（x）的图象过点（）（1）求m的值；（2）将yf（x）的图象向左平移（0）个单位后得到函数yg（x）的图象，若yg（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求yg（x）的单调递增区间24（14分）设f（x）（）为奇函数，a为常数（1）求a的值；（2）证明：f（x）在（1，+）内单调递增；（3）若对于3，4上的每一个x的值，不等式f（x）（）x+m恒成立，求实数m的取值范围2017-2018学年陕西省西安市长安一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（
7、本题共14小题，每小题5分，共70分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设函数的定义域A，函数yln（1x）的定义域为B，则AB（）A（0，1）B0，1）C（0，1D0，1【分析】求得函数的定义域A，B，再由交集的定义，即可得到所求集合【解答】解：数的定义域Ax|x0，函数yln（1x）的定义域为Bx|1x0x|x1，则ABx|0x10，1）故选：B【点评】本题考查函数的定义域的求法，考查集合的交集的定义和运算，属于基础题2（5分）已知向量（2，4），（1，1），则2（）A（5，7）B（5，9）C（3，7）D（3，9）【分析】直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案
8、【解答】解：由（2，4），（1，1），得：22（2，4）（1，1）（4，8）（1，1）（5，7）故选：A【点评】本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题3（5分）下列函数为奇函数的是（）AyBy|sinx|CycosxDyexex【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可【解答】解：A函数的定义域为0，+），定义域关于原点不对称，故A为非奇非偶函数Bf（x）|sin（x）|sinx|f（x），则f（x）为偶函数Cycosx为偶函数Df（x）exex（exex）f（x），则f（x）为奇函数，故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键4（5分）函数f
9、（x）sin（x）的图象的一条对称轴是（）AxBxCxDx【分析】将内层函数x看做整体，利用正弦函数的对称轴方程，即可解得函数f（x）的对称轴方程，对照选项即可得结果【解答】解：由题意，令xk+，kz得xk+，kz是函数f（x）sin（x）的图象对称轴方程令k1，得x故选：C【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，三角复合函数对称轴的求法，整体代入的思想方法，属基础题5（5分）若函数f（x）x2ax3在区间（，4上单调递减，则实数a满足的条件是（）A8，+）B（，8C4，+）D4，+）【分析】根据函数f（x）x2ax3在区间（，4上单调递减，则根据函数的图象知：对称轴必在x4的右边，即4，
10、解出即可【解答】解：f（x）x2ax3在区间（，4上递减，对称轴为x，4，故a8，故选：A【点评】本题考查了二次函数的性质，属于基础题6（5分）给定函数，y|x1|，y2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）ABCD【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；为增函数，为定义域上的减函数，y|x1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，y2x+1为增函数【解答】解：是幂函数，其在（0，+）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+）内为减
11、函数，故此项符合要求；中的函数图象是由函数yx1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意故选：B【点评】本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件7（5分）函数f（x）log2x+x4的零点所在的区间是（）AB（1，2）C（2，3）D（3，4）【分析】连续函数f（x）log2x+x4在（0，+）上单调递增且f（2）10，f（3）log2310，根据函数的零点的判定定理可求【解答】解：连续函数f（x）log2x+x4在（0，+）上单调递增f（2）10，f（3）lo
12、g2310f（x）log2x+x4的零点所在的区间为（2，3）故选：C【点评】本题主要考查了函数零点 定义及判定 的应用，属于基础试题8（5分）设alog36，blog510，clog714，则（）AcbaBbcaCacbDabc【分析】利用loga（xy）logax+logay（x、y0），化简a，b，c然后比较log32，log52，log72大小即可【解答】解：因为alog361+log32，blog5101+log52，clog7141+log72，因为ylog2x是增函数，所以log27log25log23，所以log32log52log72，所以abc，故选：D【点评】本题主要考查
13、不等式与不等关系，对数函数的单调性的应用，不等式的基本性质的应用，属于基础题9（5分）函数f（x）Asin（x+）+b（A0，0，|）的一部分图象如图所示，则（）Af（x）3sin（2x）+1Bf（x）2sin（3x+）+2Cf（x）2sin（3x）+2Df（x）2sin（2x+）+2【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式【解答】解：根据函数f（x）Asin（x+）+b（A0，0，|）的一部分图象，可得2A4，A2，bA2再根据，求得2，再根据五点法作图可得2+，f（x）2sin（2x+）+2，故选：D【点评】本题主要考查由函数yAsin（
14、x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题10（5分）已知ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为（）ABCD【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案【解答】解：如图，D、E分别是边AB、BC的中点，且DE2EF，故选：C【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题11（5分）函数ysin2x3cosx+3的最小值是（）A2B0CD6【分析】利用同角三角函数关系，把函数转换成关于cosx的函数，利用换元法，根据c
15、osx的范围求得函数的最小值【解答】解：ysin2x3cosx+3cos2x13cosx+3（cosx）2，1cosx1，令cosxt，则1t1，f（t）（t）2，在1，1上单调减，f（t）minf（1）0故选：B【点评】本题主要考查了三角函数的性质，二次函数的性质解题过程采用了换元法，把三角函数问题转换为二次函数的问题12（5分）已知f（x）的值域为R，那么a的取值范围是（）A（，1B（1，）C1，）D（0，1）【分析】分段求解函数的值域，根据值域为R，即可求解【解答】解：当x1时，f（x）lnx，其值域为0，+），那么当x1时，f（x）（12a）x+3a的值域包括（，0），12a0，且f（
16、1）（12a）+3a0，解得：，且a1故选：C【点评】本题考查对数函数的单调性，分段函数的值域问题，较容易13（5分）设（0，），（0，），且tan，则（）A3B3+C2D2+【分析】化切为弦，整理后得到sin（）cos，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（）cos，则答案可求【解答】解：由tan，得：，即sincoscossin+cos，sin（）cossin（），（0，），（0，），当时，sin（）sin（）cos成立故选：C【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题14（5分）已知函数f（x）2sin（2x+）+2co
17、s2（x+）1，把函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，若x1，x2是g（x）m0在0，内的两根，则sin（x1+x2）的值为（）ABCD【分析】利用三角函数公式将f（x）化简，根据平移变换规律求解g（x）解析式，根据x1，x2是g（x）m0在0，内的两根，即g（x1）m，g（x2）m，求解即可【解答】解：函数f（x）2sin（2x+）+2cos2（x+）1，化简可得f（x）2sin（2x+）+cos（2x+）sin（2x+）其中sincos图象向右平移个单位得到g（x）sin2x）+sin（2x+）g（x）的周期T，x1，x2是g（x）m0在0，内的两根，当x10时，可得
18、g（x1）sin，当x2时，可得g（x2）sin，互为相反，x2x1+即g（x1）m，g（x2）m，可得：sin（2x1+）sin（2x1+）sin（2x1+）令2x1+0可得：x1x2+那么：sin（x1+x2）sin（）cos故选：A【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，灵活利用辅助角公式是解决本题的关键考查了函数yAsin（x+）的图象变换规律，属于难题二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分.把答案填写在答题卡相应的位置.）15（5分）已知向量（2，3），（3，m），且，则m2【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解【解答】解：向量（2，3），（3，m）
19、，且，6+3m0，解得m2故答案为：2【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用16（5分）已知向量，满足|1，|2，与的夹角为60，则|【分析】根据题意和根据向量的减法几何意义画出图形，再由余弦定理求出|的长度【解答】解：如图，由余弦定理得：|故答案为：【点评】本题考查的知识点有向量的夹角、向量的模长公式、向量三角形法则和余弦定理等，注意根据向量的减法几何意义画出图形，结合图形解答17（5分）已知角的终边过点P（4，3），则2sin+cos的值为【分析】根据角的终边过点P（4，3），利用任意角的三角函数的定义，求出sin
20、，cos的值，然后求出2sin+cos的值【解答】解：角的终边过点P（4，3），rOP5，利用三角函数的定义，求得sin，cos，所以2sin+cos故答案为：【点评】本题考查三角函数的定义，考查计算能力，掌握三角函数的定义，是本题顺利解答的前提是基础题18（5分）奇函数f（x）的定义域为2，2，若f（x）在0，2上单调递减，且f（1+m）+f（m）0，则实数m的取值范围是【分析】由f（1+m）+f（m）0，结合已知条件可得232a2a2，解不等式可求a的范围【解答】解：函数函数f（x）定义域在2，2上的奇函数，则由f（1+m）+f（m）0，可得f（1+m）f（m）f（m）又根据条件知函数f（
21、x）在定义域上单调递减，2m1+m2解可得，m1故答案为：【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的单调性在抽象函数中的应用，及不等式的求解，属于基础试题19（5分）由于德国著名数学家狄利克雷对数论、数学分析和物理学的突出贡献，人们将函数命名为狄利克雷函数，已知函数f（x）xD（x），下列说法中：函数f（x）的定义域和值域都是R； 函数f（x）是奇函数；函数f（x）是周期函数； 函数f（x）在区间2，3上是单调函数正确结论是【分析】在中，由狄利克雷函数的定义得函数f（x）xD（x）的定义域为R，从
22、而f（x）的值域为R；在中，f（x）xD（x）f（x）；在中，f（x）xD（x），不是周期函数；在中，当x2，3时，f（x）xD（x），不是单调函数【解答】解：在中，函数，命名为狄利克雷函数，函数f（x）xD（x），f（x）的定义域为有理数和无理数的并集，即f（x）的定义域为R，f（x）的值域为R，故正确；在中，f（x）xD（x）f（x），故函数f（x）不是奇函数，故错误；在中，f（x）xD（x），不是周期函数，故错误；在中，当x2，3时，f（x）xD（x），不是单调函数，故错误故答案为：【点评】本题考查命题真假的判断，考查新定义、函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基
23、础题20（5分）已知函数，关于x的方程f（x）m（mR）有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4则x1x2x3x4的取值范围为（0，1）【分析】作函数的图象，从而可得x3x41，推出x1x2的范围即可求解结果【解答】解：作函数的图象如下，结合图象可知，log2x3log2x4，故x3x41，令x22x0得，x0或x2，令x22x1得，x1；故x1x2（0，1），故x1x2x3x4（0，1）故答案为：（0，1）【点评】本题考查了数形结合的思想应用及学生的作图能力，同时考查了配方法的应用三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共4小题，共50分）21（12分）计算下列各式的值：（
24、1）（2）（3）【分析】（1）利用指数幂的运算性质，化简所给的式子，可得结果（2）利用对数的运算性质，化简所给的式子，可得结果（3）由题意利用诱导公式，化简所给的式子，可得结果【解答】解：（1）原式10（+2）+1+101020+1（2）原式2lg 5+2lg 2+lg 5（2lg 2+lg 5）+（lg 2）22lg 10+（lg 5+lg 2）22+（lg 10）22+13（3）【点评】本题主要考查指数幂的运算性质、对数的运算性质，诱导公式的应用，属于基础题22（12分）如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，AOP（0），C点坐标为（2，0），平行四边形OA
25、QP的面积为S（1）求+S的最大值；（2）若CBOP，求sin（2）的值【分析】（1）求出A（1，0），B（0，1）P（cos ，sin ），然后求解，以及平行四边形OAQP的面积，通过两角和与差的三角函数，以及正弦函数的值域求解即可（2）利用三角函数的定义，求出sin，cos，利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数求解表达式的值【解答】解：（1）由已知，得A（1，0），B（0，1）P（cos ，sin ），因为四边形OAQP是平行四边形，所以+（1+cos，sin）所以1+cos（3分）又平行四边形OAQP的面积为S|sin sin ，所以+S1+cos+sin sin（+）+1（5分）又0
26、，所以当时，+S的最大值为+1（7分）（2）由题意，知（2，1），（cos，sin），因为CBOP，所以cos2sin又0，cos2+sin21，解得sin ，cos ，所以sin22sin cos，cos 2cos2sin2所以sin（2）sin 2coscos 2sin（13分）【点评】本题考查三角函数的定义，两角和与差的三角函数，三角函数的求值与化简23（12分）已知向量（m，cos2x），（sin2x，1），函数f（x），且yf（x）的图象过点（）（1）求m的值；（2）将yf（x）的图象向左平移（0）个单位后得到函数yg（x）的图象，若yg（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小
27、值为1，求yg（x）的单调递增区间【分析】（1）利用两个向量的数量积公式、两角和的正弦公式化简函数的解析式，再把点（）代入，求得m的值（2）根据函数yAsin（x+）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得yg（x）的单调递增区间【解答】解：（1）已知，又f（x）过点，解得：（2）由以上可得，把f（x）的图象向左左移个单位后，得到设g（x）的图象上符合题意的最高点为（x0，2），解得x00，g（0）2，解得，+2k2x2k，kz，f（x）的单调增区间为【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题24（14分
28、）设f（x）（）为奇函数，a为常数（1）求a的值；（2）证明：f（x）在（1，+）内单调递增；（3）若对于3，4上的每一个x的值，不等式f（x）（）x+m恒成立，求实数m的取值范围【分析】（1）根据f（x）是奇函数，即f（x）+f（x）0，即可求a的值；（2）利用复合函数的单调性只需证明内层函数在（1，+）内单调递减即可；（3）根据指数和对数函数单调性即可求解求解实数m的取值范围【解答】解：由题意，f（x）是奇函数，即f（x）+f（x）0，可得：（）+（）1即，得：1a2x2（x21）a2x2x2，a1检验：当a1，不满足题意，a1，可得f（x）（），即：（）（），f（x）为奇函数（2）由（1
29、）知f（x）（），设uh（x）1+，那么f（x）转化为g（u）u在（1，+）内是减函数，只需证明h（x）函数在（1，+）内单调递减即可；证明：设任意的x1，x2满足1x1x2，则h（x1），h（x2），那么：h（x1）h（x2）（）1x1x2，x110，x210，x2x10h（x1）h（x2）0，即h（x1）h（x2）函数h（x）在（1，+）内单调递减即可；即f（x）在（1，+）内单调递增；（3）对于3，4上的每一个x的值，不等式f（x）（）x+m恒成立，只需f（x）min+m即可由（2）可知f（x）在（1，+）内单调递增；f（x）在3，4上单调递增；当x3，f（x）取得最小值为1，y（）x是减函数，当x3，y取得最大值为，1，得：m故实数m的取值范围是（，）【点评】本题考查了对数指数函数的单调性的运用和判断，复合函数的证明以及恒成立问题的转化思想属于中档题
