1、3.3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性学习目标1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会用导数法求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)知识点函数的单调性与导函数正负的关系思考1观察下列各图，完成表格内容.函数及其图象切线斜率k正负导数正负单调性正正1，)上单调递增正正R上单调递增负负(0，)上单调递减负负(0，)上单调递减负负(，0)上单调递减思考2依据上述分析，可得出什么结论？答案一般地，设函数yf(x)，在区间(a，b)上，如果f(x)0，则f(x)在该区间上单调递增；如果f(x)0k0
2、锐角上升单调递增f(x)0k0，那么f(x)在区间(a，b)内单调递增()2如果函数yf(x)在区间(a，b)上单调递增，那么它在区间(a，b)上都有f(x)0.()3函数yx3x25x5的单调递增区间是和(1，)()4函数f(x)ln xax(a0)的单调增区间为.()类型一求函数的单调区间命题角度1求不含参数的函数的单调区间例1求f(x)3x22ln x的单调区间解f(x)3x22ln x的定义域为(0，)f(x)6x，由x0，解f(x)0，得x；由x0，解f(x)0，得0x0，函数在定义域内的解集上为增函数；(4)解不等式f(x)0，(x2)20.由f(x)0，得x3，所以函数f(x)的
3、单调递增区间为(3，)；由f(x)0，得x0，函数f(x)在区间(0，)上为增函数；当a0时，由g(x)0，得x或x(舍去)当x时，g(x)0，即f(x)0，即f(x)0.所以当a0时，函数f(x)在区间上为减函数，在区间上为增函数综上，当a0时，函数f(x)的单调增区间是(0，)；当a0时，函数f(x)的单调增区间是，单调减区间是.引申探究若将本例改为f(x)ax2ln x(aR)呢？解f(x)2ax，当a0时，且x(0，)，f(x)0时，令f(x)0，解得x或x(舍去)当x时，f(x)0，f(x)为增函数综上所述，当a0时，函数f(x)在(0，)上为减函数；当a0时，f(x)在上为减函数，
4、在上为增函数反思与感悟(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f(x)的符号，否则会产生错误(2)分类讨论是把整个问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素就变成了确定性因素，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了跟踪训练2已知函数f(x)4x33tx26t2xt1，其中xR，tR.当t0时，求f(x)的单调区间解f(x)12x26tx6t26(xt)(2xt)，令f(x)0，得x1t，x2.当t0，x时，f(x)0，此时f(x)为增函数，同理当x(t，)时，f(x)也为增函数当t0，x时，f(x)0，此时f(x)为增
5、函数，当t0时，f(x)的增区间为(，t)，f(x)的减区间为.综上所述，当t0时，f(x)的单调增区间是(，t)，单调减区间是.类型二证明函数的单调性问题例3证明：函数f(x)在区间上单调递减证明f(x)，又x，则cos x0，xcos xsin x0，f(x)(或)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f(x)(或)0.跟踪训练3证明：函数f(x)在区间(0，e)上是增函数证明f(x)，f(x).又0xe，ln x0，故f(x)在区间(0，e)上是增函数类型三已知函数的单调性求参数范围例4已知函数f(x)x2(x0，常数aR)若函数f(x
6、)在x2，)上单调递增，求a的取值范围解f(x)2x.要使f(x)在2，)上单调递增，则f(x)0在x2，)时恒成立，即0在x2，)时恒成立x20，2x3a0，a2x3在x2，)时恒成立a(2x3)min.当x2，)时，y2x3是单调递增的，(2x3)min16，a16.当a16时，f(x)0(x2，)，有且只有f(2)0，a的取值范围是(，16反思与感悟已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不等式f(x)0(f(x)0)在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围跟踪训练4已知函数f(x)x3ax
7、2(a1)x2在区间1,2上为减函数，求实数a的取值范围解方法一f(x)x2ax(a1)，因为函数f(x)在区间1,2上为减函数，所以f(x)0，即x2ax(a1)0，解得ax1.因为在1,2上，ax1恒成立，所以a(x1)max1.所以a的取值范围是1，)方法二f(x)(x1)x(a1)，由于函数f(x)在区间1,2上为减函数，所以f(x)0，当a2时，解得1xa1，即减区间为1，a1，则1,21，a1，得a1.当a2时，解得减区间为a1，1，则函数f(x)不可能在1,2上为减函数，故a1.所以实数a的取值范围是1，)1函数f(x)2x33x21的单调递增区间是_，单调递减区间是_答案(，0
8、)和(1，)(0,1)解析f(x)6x26x，令f(x)0，得x1，令f(x)0，得0x0，解得x0.3函数f(x)ln xax(a0)的单调递增区间为_答案解析f(x)的定义域为x|x0，由f(x)a0，得0x.4若函数yx3ax24在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围为_答案3，)解析y3x22axx(3x2a)，由题意知x(0,2)，y0，即x(3x2a)0，得0xa，则2，即a3.5求函数f(x)(xk)ex的单调区间解f(x)ex(xk)ex(xk1)ex，当xk1时，f(x)k1时，f(x)0，所以f(x)的单调递减区间是(，k1)，单调递增区间为(k1，)1导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度2利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间
