1、2019-2020学年福建省莆田市秀屿区九年级（上）期中数学试卷一、精心选一选：本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的.答对的得4分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分.1（4分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）Ax（x2）x2Bx210Cx2x2xD（x21）242（4分）下列方程中，无实数根的方程是（）Ax2x0Bx2+x0Cx2+x10Dx2+103（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD4（4分）已知抛物线yx2+4x+3，则该抛物线的顶点坐标为（）A（2，7）B（2，7）C（2，9）D（2，9
2、）5（4分）万花筒的一个图案如图所示，图中所有小三角形均是全等三角形，其中把菱形ABCD以A为中心旋转多少度后可得图中另一阴影的菱形（）A顺时针旋转60B顺时针旋转120C逆时针旋转60D逆时针旋转1206（4分）如图，CD是O的直径，A、B是O上的两点，若ADC65，则ABD的度数为（）A55B45C25D307（4分）如果保持抛物线y2x2的图象不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下该抛物线的解析式是（）Ay2（x+2）2+2By2（x2）2+2Cy2（x+2）22Dy2（x2）228（4分）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c0（a0，a，b，c为常数）
3、的一个解x的范围是（）x3.233.243.253.26ax2+bx+c0.060.020.030.09A3x3.23B3.23x3.24C3.24x3.25D3.25x3.269（4分）如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A（1，2）B（1，1）C（1，1）D（2，1）10（4分）点E为正方形ABCD的BC边的中点，动点F在对角线AC上运动，连接BF、EF设AFx，BEF的周长为y，那么能表示y与x的函数关系的图象大致是（）ABCD二、细心填一填：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11（4分）如果2
4、是关于x的方程x2+bx+60的一个根，那么b 12（4分）如图，在残破的圆形工件上量得一条弦BC16，BC的中点D到BC的距离ED4，则这个圆形工件的半径是 13（4分）抛物线yx28x+c的顶点在x轴上，则c的值为 14（4分）已知：关于x的方程x26x+8t0有两个实数根x1，x2，且（x12）（x22）6，则t 15（4分）已知点A（2m+4，3m1）关于原点的对称点位于第三象限，则m的取值范围是 16（4分）当2x1时，二次函数y（xm）2+m2+1有最大值3，则实数m的值为 三、耐心做一做：本大题共9小题，共86分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（8分）用配方法
5、解方程：x2+4x1018（8分）求证：不论k为何值时，关于x的一元二次方程x2+（k2）x+（k4）0有两个不相等的实数根19（8分）（1）尺规作图：如图，AB为O的直径，过点A作O的切线m；（2）已知O的半径为4，在直线m上取一点P，使得AP6，连接PB交圆O于点C，请补全图形，并求出点A到PB的距离20（8分）小东根据学习函数的经验，对函数y=4(x-1)2+1的图象与性质进行了探究下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：（1）函数y=4(x-1)2+1的自变量x的取值范围是 ；（2）表格是y与x的几组对应值 x21 -12 0 12 1 32 2 523 4 y 2545 1
6、613 2 1654 165 2 161343 m 表中m的值为 ；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点根据描出的点，画出函数y=4(x-1)2+1的大致图象；（4）结合函数图象，请写出函数y=4(x-1)2+1的一条性质： （5）如果方程4(x-1)2+1=a有2个解，那么a的取值范围是 21（8分）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（3，0）两点，顶点为D，交y轴于C（1）求该抛物线的解析式（2）在抛物线的对称轴上是否存在着一点M使得MA+MC的值最小，若存在求出M点的坐标22（10分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每
7、箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱求该批发商平均每天的销售利润y（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？23（10分）已知，如图，在RtABC中，C90，以AC为直径作O，交AB于D，过O作OEAB交BC于E（1）求证：ED是O的切线（2）如果O的半径为32，ED2，求AB的长24（12分）已知RtABC中，将ACB90，BC6，A30，将ABC绕点C逆时针旋转，（060），得到DEC，设直线DE与直线AB相交于点P（1）如图1，连接PC，求证：P
8、C平分EPA（2）如图2，在ABC旋转过程中，连接BE，当BCE的面积为93时，求的度数（3）如图3，当点P在边AB上时，问：PE+PB是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由25（14分）已知抛物线yax2+bx+c（a0）经过原点，（1）当顶点坐标为（2，2）时，求此函数的解析式；（2）继续探究，如果b0，且抛物线顶点坐标为（m，m），m0，求此函数的解析式（用含m的式子表示）（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2，An在直线yx上，横坐标依次为1，2，n（n为正整数，且n12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，Bn，以线段AnBn为边向右作正方形AnB
9、nnDn，若这组抛物线中有一条经过Dn，求所有满足条件的正方形边长2019-2020学年福建省莆田市秀屿区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、精心选一选：本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的.答对的得4分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分.1（4分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）Ax（x2）x2Bx210Cx2x2xD（x21）24【解答】解：A、该方程中的未知数的最高次数是1，属于一元一次方程，故不符合题意；B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；C、该方程中的未知数的最高次数是3，属于一元三次方程，
10、故本选项错误；D、该方程中的未知数的最高次数是4，不属于一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：B2（4分）下列方程中，无实数根的方程是（）Ax2x0Bx2+x0Cx2+x10Dx2+10【解答】解：A、x2x0，（1）241010，所以方程有两个实数根，故本选项不符合题意；B、x2+x0，1241010，所以方程有两个实数根，故本选项不符合题意；C、x2+x10，1241（1）50，所以方程有两个实数根，故本选项不符合题意；D、x2+10，0241140，所以方程没有实数根，故本选项符合题意；故选：D3（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD【解答】解：A、是轴对
11、称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C4（4分）已知抛物线yx2+4x+3，则该抛物线的顶点坐标为（）A（2，7）B（2，7）C（2，9）D（2，9）【解答】解：抛物线yx2+4x+3（x2）2+7，该抛物线的顶点坐标是（2，7），故选：B5（4分）万花筒的一个图案如图所示，图中所有小三角形均是全等三角形，其中把菱形ABCD以A为中心旋转多少度后可得图中另一阴影的菱形（）A顺时针旋转60B顺时针旋转120C逆时针旋转60
12、D逆时针旋转120【解答】解：如图，旋转中心为点A，B的对应点为B1，旋转角为BAB1BAD+DAB1120，旋转方向逆时针故选D6（4分）如图，CD是O的直径，A、B是O上的两点，若ADC65，则ABD的度数为（）A55B45C25D30【解答】解：CD是O的直径，CAD90，CABD90ADC906525故选：C7（4分）如果保持抛物线y2x2的图象不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下该抛物线的解析式是（）Ay2（x+2）2+2By2（x2）2+2Cy2（x+2）22Dy2（x2）22【解答】解：抛物线y2x2的顶点坐标为（0，0），x轴、y轴分别向上、向右平移2
13、个单位，新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标为（2，2），新坐标系下抛物线的解析式是y2（x+2）22故选：C8（4分）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c0（a0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）x3.233.243.253.26ax2+bx+c0.060.020.030.09A3x3.23B3.23x3.24C3.24x3.25D3.25x3.26【解答】解：x3.24，ax2+bx+c0.02，x3.25，ax2+bx+c0.03，3.24x3.25时，ax2+bx+c0，即方程ax2+bx+c0（a0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是3.24x3.25故选：C9（4
14、分）如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A（1，2）B（1，1）C（1，1）D（2，1）【解答】解：如图所示，AW1，WH3，AH=12+32=10；BQ3，QH1，BH=12+32=10；AHBH，同理，ADBD，所以GH为线段AB的垂直平分线，易得EF为线段AC的垂直平分线，H为圆的两条弦的垂直平分线的交点，则BHAHHC，H为圆心于是则该圆弧所在圆的圆心坐标是（1，1）故选：C10（4分）点E为正方形ABCD的BC边的中点，动点F在对角线AC上运动，连接BF、EF设AFx，BEF的周长为y，那么能表
15、示y与x的函数关系的图象大致是（）ABCD【解答】解：如图，连接DE与AC交于点M则当点F运动到点M处时，三角形BEF的周长y最小，且AMMC通过分析动点F的运动轨迹可知，y是x的二次函数且有最低点，利用排除法可知图象大致为：故选：B二、细心填一填：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11（4分）如果2是关于x的方程x2+bx+60的一个根，那么b5【解答】解：x2是方程x2+bx+60的一个根，将x2代入方程x2+bx+60得：4+2b+60，b5，故答案为：512（4分）如图，在残破的圆形工件上量得一条弦BC16，BC的中点D到BC的距离ED4，则这个圆形工件的半径是10【解答】解：DE
16、BC，DE平分弧BC，圆心在直线DE上，设圆心为O，如图，连结OB，设圆的半径为R，则OERDER4，OEBC，BECE=12BC=12168，在RtOEB中，OB2BE2+OE2，即R282+（R4）2，解得R10，即这个圆形工件的半径是10故答案为：1013（4分）抛物线yx28x+c的顶点在x轴上，则c的值为16【解答】解：a1，b8，顶点在x轴上顶点纵坐标为0，即4ac-b24a=4c-(-8)24=0解得c1614（4分）已知：关于x的方程x26x+8t0有两个实数根x1，x2，且（x12）（x22）6，则t6【解答】解：由根与系数的关系可知：x1+x26，x1x28t，（x12）（
17、x22）6，x1x22（x1+x2）+100，8t26+100，解得：t6，故答案为：615（4分）已知点A（2m+4，3m1）关于原点的对称点位于第三象限，则m的取值范围是13m2【解答】解：点A（2m+4，3m1）关于原点的对称点在第三象限，点点A（2m+4，3m1）在第一象限，-2m+403m-10，解得：13m2，故答案为：13m216（4分）当2x1时，二次函数y（xm）2+m2+1有最大值3，则实数m的值为32或-2【解答】解：二次函数y（xm）2+m2+1，可化为：yx2+2mx+1，故二次函数的对称轴为直线xm，m2时，x2时二次函数有最大值，此时（2m）2+m2+13，解得m
18、=-32，与m2矛盾，故m值不存在；当2m1时，xm时，二次函数有最大值，此时，m2+13，解得m=-2，m=2（舍去）；当m1时，x1时二次函数有最大值，此时，（1m）2+m2+13，解得m=32综上所述，m的值为32或-2故答案为：32或-2三、耐心做一做：本大题共9小题，共86分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（8分）用配方法解方程：x2+4x10【解答】解：方程变形得：x2+4x1，配方得：x2+4x+45，即（x+2）25，开方得：x+25，解得：x12+5，x22-518（8分）求证：不论k为何值时，关于x的一元二次方程x2+（k2）x+（k4）0有两个不相等的
19、实数根【解答】证明：（k2）24（k4）k28k+20（k4）2+4，（k4）20，（k4）2+40，不论k为何值时，关于x的一元二次方程x2+（k2）x+（k4）0有两个不相等的实数根19（8分）（1）尺规作图：如图，AB为O的直径，过点A作O的切线m；（2）已知O的半径为4，在直线m上取一点P，使得AP6，连接PB交圆O于点C，请补全图形，并求出点A到PB的距离【解答】解：（1）如图，直线m即为所求（2）PA是切线，PAAB，BAP90，AB8，PA6，PB=AB2+PA2=82+62=1020（8分）小东根据学习函数的经验，对函数y=4(x-1)2+1的图象与性质进行了探究下面是小东的探
20、究过程，请补充完整，并解决相关问题：（1）函数y=4(x-1)2+1的自变量x的取值范围是全体实数；（2）表格是y与x的几组对应值 x21 -12 0 12 1 32 2 523 4 y 2545 1613 2 1654 165 2 161343 m 表中m的值为25；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点根据描出的点，画出函数y=4(x-1)2+1的大致图象；（4）结合函数图象，请写出函数y=4(x-1)2+1的一条性质：图象位于一二象限，当x1时，函数由值最大4，当x1时，y随x的增大而增大，当x1时，y随x的增大而减小，图象与x轴没有交点（5）如果方程4(x-
21、1)2+1=a有2个解，那么a的取值范围是0a4【解答】解：（1）不论x为何值，分母都不为0，故答案为：全体实数；（2）当x4时，m=4(4-1)2+1=25，故答案为：25；（3）；（4）图象位于一二象限，当x1时，函数由值最大4，当x1时，y随x的增大而增大，当x1时，y随x的增大而减小，图象与x轴没有交点故答案为：图象位于一二象限，当x1时，函数由值最大4，当x1时，y随x的增大而增大，当x1时，y随x的增大而减小，图象与x轴没有交点（5）由图象，得0a4故答案为：0a421（8分）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（3，0）两点，顶点为D，交y轴于C（1）求该抛物线
22、的解析式（2）在抛物线的对称轴上是否存在着一点M使得MA+MC的值最小，若存在求出M点的坐标【解答】解：（1）抛物线解析式为y（x1）（x+3），即yx22x+3；（2）存在yx22x+3（x+1）2+4，抛物线的对称轴为直线x1，当x0时，yx22x+33，则C（0，3），连接BC交直线x1于M，如图，点A与点B关于直线x1对称，MAMB，MA+MCMB+MCBC，此时MA+MC的值最小，易得直线BC的解析式为yx+3，当x1时，yx+32，满足条件的M点的坐标为（1，2）22（10分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的
23、价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱求该批发商平均每天的销售利润y（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【解答】解：由题意得：903（x50）y（x40）（3x+240）3x2+360x9600，a0抛物线开口向下当x=-b2a=60时，y有最大值又x60，y随x的增大而增大当x55元时，y的最大值为1125元当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润23（10分）已知，如图，在RtABC中，C90，以AC为直径作O，交AB于D，过O作OEAB交BC于E（1）求证：ED是O的切线（2
24、）如果O的半径为32，ED2，求AB的长【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：OEAB，1A，23，OAOD，A3，12，在OCE和ODE中，OC=OD1=2OE=OE，OCEODE（SAS），ODEC90，EDOD，ED是O的切线（2）解：OCEODE，ECED2，OE=OC2+EC2=(32)2+22=2.5，OCOA，OEAB，OE是ABC的中位线，AB2OE524（12分）已知RtABC中，将ACB90，BC6，A30，将ABC绕点C逆时针旋转，（060），得到DEC，设直线DE与直线AB相交于点P（1）如图1，连接PC，求证：PC平分EPA（2）如图2，在ABC旋转过程中，连接BE
25、，当BCE的面积为93时，求的度数（3）如图3，当点P在边AB上时，问：PE+PB是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由【解答】解：（1）过C点作CNDE于N，CFAB于FABCDEC，ABDESABC=12ABCFSDCE=12DECN，CFCN，CP平分EPA（2）如图2中，作ENBC于NBCE的面积为93，BCEC6，12BCEN9312BCECsin93，sin=32，60（3）如图3中，在PA上截取PMPE连接CM，过C作CKPA，CHDE于H，连接PC由（1）同理可证CP平分EPA，EPCAPC，PMPE，PCPC，PMCPEC（SAS），CECM，PEPM又CEC
26、B，CMCB6，且CKPA，K为BM的中点，即BK=12BM，在RtBCK中，BKBCcos60612=3，KMBK6，PB+PEPB+PMBM625（14分）已知抛物线yax2+bx+c（a0）经过原点，（1）当顶点坐标为（2，2）时，求此函数的解析式；（2）继续探究，如果b0，且抛物线顶点坐标为（m，m），m0，求此函数的解析式（用含m的式子表示）（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2，An在直线yx上，横坐标依次为1，2，n（n为正整数，且n12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，Bn，以线段AnBn为边向右作正方形AnBnnDn，若这组抛物线中有一条经过Dn，求所
27、有满足条件的正方形边长【解答】解：抛物线yax2+bx+c（a0）经过原点，则抛物线的表达式为：yax2+bx；（1）顶点坐标为（2，2）时，抛物线的表达式为：ya（x2）2+2ax24ax+4a+2，故4a+20，解得：a=-12，故抛物线的表达式为：y=-12（x2）2+2=-12x2+2x；（2）抛物线顶点坐标为（m，m），抛物线的表达式为：ya（xm）2+max22max+am2+m，即：am2+m0，解得：a=-1m，故抛物线的表达式为：y=-1m（xm）2+m=-1mx2+2x；（3）顶点A1，A2，An在直线yx上，可设An（n，n），点Dn所在的抛物线顶点坐标为（t，t）a=-1t，b2，由（1）（2）可得，点Dn所在的抛物线解析式为y=-1tx2+2x四边形AnBnnDn是正方形，点Dn的坐标是（2n，n），-1t（2n）2+22nn，4n3tt、n是正整数，且t12，n12，n3，6或9满足条件的正方形边长是3，6或9
