1、2019-2020学年浙江省金华市义乌市八年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）1（4分）（2019秋义乌市校级月考）若有两条线段长分别为和，则下列长度的线段能与其组成三角形的是ABCD2（4分）（2017秋颍州区校级期中）工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是A两点之间的线段最短B三角形具有稳定性C长方形是轴对称图形D长方形的四个角都是直角3（4分）（2017长安区校级模拟）画中边上的高，下列画法中正确的是ABCD4（4分）（2017秋定兴县期末）下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是A5B
2、2C4D85（4分）（2019秋庐阳区校级月考）下面各条件中，能使的条件的是A，B，C，D，6（4分）（2014秋大同期末）已知，如图，中，是角平分线，则下列说法正确的有几个（1）平分；（2）；（3）；（4）A1个B2个C3个D4个7（4分）（2010巴中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在A的三条中线的交点B三边的中垂线的交点C三条角平分线的交点D三条高所在直线的交点8（4分）（2016陕西）如图，在正方形中，连接，点是的中点，若、是边上的两点，连接、，并分别延长交边于两点、，则图中的全等三角形共有A2对B3对C4对
3、D5对9（4分）（2015薛城区校级模拟）某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“902班得冠军，904班得第三”；乙说：“901班得第四，903班得亚军”；丙说：“903班得第三，904班得冠军”赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是A901班B902班C903班D904班10（4分）（2013秋下城区期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列三个结论：；当时，分别是，的中点；若，则其中正确的是ABCD二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11（5分）（2013邵东县模拟）把命题“同角的余角相等”改写成
4、“如果那么”的形式 12（5分）（2019秋义乌市校级月考）如图点，在同侧，添加一个条件就能使13（5分）（2018春普陀区期中）已知， 在中，将折叠， 使点落在边上的处， 折痕为，且交边于点，则14（5分）（2019秋义乌市校级月考）如图，在中，已知点，分别为边，的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于15（5分）（2019秋义乌市校级月考）如图是的中线，则的取值范围是16（5分）（2019秋义乌市校级月考）已知，分别是的高线和角平分线（1）若，则度（2）若，则度（用，的代数式表示）三、解答题（17，18，19，20每题8分，21题10分，22，23每题12分，24题14分）17（8分）
5、（2017春临泽县校级期末）已知线段，及，用直尺和圆规作，使，18（8分）（2019秋义乌市校级月考）如图，是线段的垂直平分线，则请说明理由：解：是线段的垂直平分线，在和中，和19（8分）（2017秋民勤县校级期中）已知，在上，且，求证：20（8分）（2019秋义乌市校级月考）如图：，（1）求证：；（2）判断线段与线段的关系，并说明理由21（10分）（2019秋义乌市校级月考）已知：如图所示，、分别是、的中点，求证：22（12分）（2019秋义乌市校级月考）如图，已知在中，与的平分线交于点（1）当，时，求的度数；（2）当时，求的度数（用的代数式表示）（3）小明研究时发现：如果延长至，再过点作，
6、那么就是的平分线请你证明小明的结论23（12分）（2018春汝州市期末）如图，在中，点在线段上运动不与、重合），连接，作，交线段于（1）当时，；（2）当等于多少时，与全等？请说明理由；（3）在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数若不可以，请说明理由24（14分）（2019秋义乌市校级月考）是等边三角形，为平面内的一个动点，平分，且（1）当与重合时（如图，求的度数；（2）当在的内部时（如图，求的度数；（3）当在的外部时，请你直接写出的度数2019-2020学年浙江省金华市义乌市八年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共
7、40分）1（4分）（2019秋义乌市校级月考）若有两条线段长分别为和，则下列长度的线段能与其组成三角形的是ABCD【考点】：三角形三边关系【专题】64：几何直观；552：三角形【分析】根据三角形的三边满足两边之和大于第三边来确定第三边的取值范围，然后确定正确的选项即可；【解答】解：有两条线段长分别为和，第三边，只有符合，故选：【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形2（4分）（2017秋颍州区校级期中）工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门
8、框，使其不变形，这样做的根据是A两点之间的线段最短B三角形具有稳定性C长方形是轴对称图形D长方形的四个角都是直角【考点】：三角形的稳定性【分析】在窗框上斜钉一根木条，构成三角形，故可用三角形的稳定性解释【解答】解：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样就构成了三角形，故这样做的数学道理是三角形的稳定性故选：【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得3（4分）（2017长安区校级模拟）画中边上的高，下列画法中正确的是ABCD【考点】：三角形的角平分线、中线和高【
9、专题】13：作图题【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线即可【解答】解：过点作边的垂线，正确的是故选：【点评】本题是一道作图题，考查了三角形的角平分线、高、中线，是基础知识要熟练掌握4（4分）（2017秋定兴县期末）下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是A5B2C4D8【考点】：反证法【分析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子可据此判断出正确的选项【解答】解：，不是偶数，且也不是4的倍数，不能作为假命题的反例；故答案错误；，不是4的倍数，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是2，故答案正确；，是偶数，且是4的倍
10、数，不能作为假命题的反例；故答案错误；，是偶数，且也是4的倍数，不能作为假命题的反例；故答案错误；故选：【点评】此题主要考查了反证法的意义，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定5（4分）（2019秋庐阳区校级月考）下面各条件中，能使的条件的是A，B，C，D，【考点】：全等三角形的判定【分析】根据三角形全等的判定方法结合各选项提供的已知条件进行判断，逐条排除再确定【解答】解：、，不是夹角；、，不是两三角形的边相等；、，不是对应边相等；、，满足，三角形全等故选：【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全
11、等的一般方法有：、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角6（4分）（2014秋大同期末）已知，如图，中，是角平分线，则下列说法正确的有几个（1）平分；（2）；（3）；（4）A1个B2个C3个D4个【考点】：全等三角形的判定与性质【分析】在等腰三角形中，顶角的平分线即底边上的中线，垂线利用三线合一的性质，进而可求解，得出结论【解答】解：是等腰三角形，是角平分线，且，又，且，即平分所以四个都正确故选：【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形的性质，理解等腰三角形中中线，平分线，垂线等线段之间的区别与联系，会求
12、一些简单的全等三角形做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证7（4分）（2010巴中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在A的三条中线的交点B三边的中垂线的交点C三条角平分线的交点D三条高所在直线的交点【考点】：角平分线的性质【专题】12：应用题【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是三条角平分线的交点由此即可确定凉亭位置【解答】解：凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭选择三条角平分线的交点故选：【点评】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用主要利用了到线段
13、的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上8（4分）（2016陕西）如图，在正方形中，连接，点是的中点，若、是边上的两点，连接、，并分别延长交边于两点、，则图中的全等三角形共有A2对B3对C4对D5对【考点】：全等三角形的判定；：正方形的性质【分析】可以判断，由此即可得出答案【解答】解：四边形是正方形，在和中，在和中，同理可证，全等三角形一共有4对故选：【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于基础题，中考常考题型9（4分）（2015薛城区校级模拟）某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：甲
14、说：“902班得冠军，904班得第三”；乙说：“901班得第四，903班得亚军”；丙说：“903班得第三，904班得冠军”赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是A901班B902班C903班D904班【考点】：推理与论证【分析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的【解答】解：假设甲说的“902班得冠军”是正确的，那么丙说的“904班得冠军”是错误的，“903班得第三”就是正确的，那么乙说的“903班得亚军”是错误的，“901班得第四”是正确的，这样三人都猜对了一半，且没矛盾故猜测是正确的故选：【点评】本题考查推理能力，往往
15、假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾10（4分）（2013秋下城区期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列三个结论：；当时，分别是，的中点；若，则其中正确的是ABCD【考点】：三角形内角和定理；：角平分线的性质；：等腰三角形的判定与性质【分析】根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理列式整理即可得解，判断出正确；根据角平分线的定义判断出点在的平分线上，从而得到点不是的平分线的中点，然后判断出错误；根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点到的距离等于，再利用三角形的面积公式列式计算即可得到，判断出正确【解答】解：在中，和的
16、平分线相交于点，在中，故正确；和的平分线相交于点，点在的平分线上，点不是的平分线的中点，一定不是，的中点，故错误；点在的平分线上，点到的距离等于，故正确；综上所述，正确的是故选：【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记各性质并准确识图是解题的关键二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11（5分）（2013邵东县模拟）把命题“同角的余角相等”改写成“如果那么”的形式如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等【考点】：命题与定理【分析】命题有题设和结论两部分组成，通常写成“如果那么”的形式“如果”后面接题设，“那么
17、”后面接结论【解答】解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”，故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等【点评】本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题有题设和结论两部分组成12（5分）（2019秋义乌市校级月考）如图点，在同侧，添加一个条件就能使【考点】：全等三角形的判定【专题】67：推理能力；553：图形的全等【分析】本题要判定，已知是公共边，具备了两组边对应相等，故添加后可以根据判定【解答】解：添加一个条件：，理由：在与中，【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的各判定定理是解题的关键13（5分）（2018春普陀区期中）
18、已知， 在中，将折叠， 使点落在边上的处， 折痕为，且交边于点，则 10 【考点】：翻折变换 （折 叠问题）【专题】552 ：三角形【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， 得，又由于折叠前后图形的形状和大小不变，易求，从而求出的度数 【解答】解：中，将其折叠， 使点落在边上处， 折痕为，则，是的外角，故答案为： 10 【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质 解答此题的关键是要理解折叠是一种对称变换， 它属于轴对称， 根据轴对称的性质， 折叠前后图形的形状和大小不变 14（5分）（2019秋义乌市校级月考）如图，在中，已知点，分别为边，的中点，且的面积等于，则阴影部分
19、图形面积等于1【考点】：三角形的面积【专题】69：应用意识；552：三角形【分析】因为点是的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高；同理，、分别是、的中点，可得的面积是面积的一半；利用三角形的等积变换可解答【解答】解：如图，点是的中点，的底是，的底是，即，而高相等，是的中点，且，即阴影部分的面积为故答案为1【点评】本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍15（5分）（2019秋义乌市校级月考）如图是的中线，则的取值范围是【考点】：全等三角形的判定与性质【专题】553：图形的全
20、等；67：推理能力【分析】延长至点，使，连接，先证明，在中，由三角形的三边关系定理得出答案【解答】解：延长至点，使，连接，设，则，故答案为：【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，考查了学生对三角形三边关系及中线的性质等的理解及运用能力16（5分）（2019秋义乌市校级月考）已知，分别是的高线和角平分线（1）若，则20度（2）若，则度（用，的代数式表示）【考点】32：列代数式；：三角形内角和定理【专题】552：三角形；32：分类讨论；67：推理能力【分析】（1）由三角形内角和定理得出，求出，即可得出答案；（2）分两种情况当时，由三角形内角和定理得出，由的高线和角平分线得出，求出，即可得出答案；
21、时，由三角形内角和定理得出，由的高线和角平分线得出，求出，即可得出答案【解答】解：（1）如图所示：，分别是的高线和角平分线，；故答案为：20；（2）分两种情况：当时，如图1所示：，分别是的高线和角平分线，；时，如图2所示：，分别是的高线和角平分线，；综上所述，或；故答案为：或【点评】本题考查了三角形内角和定理直角三角形的性质、角平分线定义以及列代数式等知识；熟练掌握三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键三、解答题（17，18，19，20每题8分，21题10分，22，23每题12分，24题14分）17（8分）（2017春临泽县校级期末）已知线段，及，用直尺和圆规作，使，【考点】：作图复杂作图
22、【分析】先作，再在的两边上分别截取，最后连接即可【解答】解：如图所示，即为所求【点评】本题主要考查了尺规作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作18（8分）（2019秋义乌市校级月考）如图，是线段的垂直平分线，则请说明理由：解：是线段的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等在和中，和【考点】：线段垂直平分线的性质；：全等三角形的判定与性质【专题】553：图形的全等；64：几何直观【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到，再根据即可判
23、定和，进而得出【解答】解：是线段的垂直平分线，（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），在和中，（公共边）和，（全等三角形的对应角相等）故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，公共边，全等三角形的对应角相等【点评】本题主要考查了全等三角形判定与性质以及线段垂直平分线的性质，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等19（8分）（2017秋民勤县校级期中）已知，在上，且，求证：【考点】：全等三角形的判定【专题】14：证明题【分析】根据即可判断【解答】证明：在与中，【点评】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于
24、中考常考题型20（8分）（2019秋义乌市校级月考）如图：，（1）求证：；（2）判断线段与线段的关系，并说明理由【考点】：等腰直角三角形；：全等三角形的判定与性质【专题】553：图形的全等；67：推理能力【分析】（1）根据垂直的定义可得，然后求出，再利用“边角边”证明和全等；（2）根据全等三角形对应角相等可得，然后利用三角形的内角和定理求出，再根据垂直的定义证明即可【解答】证明：（1），即，在和中，；（2）如图，又，【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定方法，并求出是解题的关键，也是本题的难点21（10分）（2019秋义乌市校级月考）
25、已知：如图所示，、分别是、的中点，求证：【考点】：全等三角形的判定与性质【专题】14：证明题；553：图形的全等【分析】连接，证可得，根据中点的性质知，利用“”即可证明，可得【解答】证明：连接，在和中，分别是、的中点，在和中，【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证和是解题的关键22（12分）（2019秋义乌市校级月考）如图，已知在中，与的平分线交于点（1）当，时，求的度数；（2）当时，求的度数（用的代数式表示）（3）小明研究时发现：如果延长至，再过点作，那么就是的平分线请你证明小明的结论【考点】32：列代数式；：三角形内角和定理【专题】67：推理能力；
26、552：三角形【分析】（1）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到结论；（2）先根据，与的角平分线相交于，求得的度数，最后根据三角形内角和定理，求得的度数；（3）根据余角的性质和角平分线的定义即可得到结论【解答】解：（1），与的平分线交于点，；（2），与的角平分线相交于，在中，；（3），是的平分线【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键23（12分）（2018春汝州市期末）如图，在中，点在线段上运动不与、重合），连接，作，交线段于（1）当时，25，；（2）当等于多少时，与全等？请说明理由；（3）在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若
27、可以，请直接写出的度数若不可以，请说明理由【考点】：三角形综合题【分析】（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；（2）当时，利用，求出，再利用，即可得出（3）当的度数为或时，的形状是等腰三角形【解答】解：（1）在中，；，故答案为：25，115；（2）当时，理由如下：，又，又，在和中，；（3）可以；当的度数为或时，的形状是等腰三角形，时，的形状是等腰三角形；当的度数为时，的形状是等腰三角形【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强24（14分）（2019秋义乌市校级月考）是等边三角形，为
28、平面内的一个动点，平分，且（1）当与重合时（如图，求的度数；（2）当在的内部时（如图，求的度数；（3）当在的外部时，请你直接写出的度数【考点】：三角形综合题【专题】67：推理能力；554：等腰三角形与直角三角形；553：图形的全等【分析】（1）由于，重合，因为是的平分线，因此，；（2）连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解；（3）分三种情况讨论，由全等三角形的性质可求解【解答】解：（1）是等边三角形，平分，；（2）如图2，连接，点在的平分线上，是等边三角形，；（3）如图3，连接，如图4，连接，如图5，连接，【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质；
29、利用分类讨论思想是解题的关键考点卡片1列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式 （2）列代数式五点注意：仔细辨别词义 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分 分清数量关系要正确列代数式，只有分清数量之间的关系 注意运算顺序列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来规范书写格式列代数时要按要求规范地书写像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号
30、；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号注意代数式括号的适当运用 正确进行代换列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量2要注意书写的规范性用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“”简写作“”或者省略不写3在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数4含有字母的除法，一般不用“”（除号），而是写成分数的形式2三角形的角平分线、中线和高（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与
31、顶点之间的线段叫做三角形的高（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点3三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S底高（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分4三角形的
32、稳定性当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性这一特性主要应用在实际生活中5三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形（3）三角形的两边差小于第三边（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略6三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0且小于180（2）
33、三角形内角和定理：三角形内角和是180（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角在转化中借助平行线（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数直接根据两已知角求第三个角；依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角7全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS三条边分别对应相等的两个三角形全等（2）判定定理2：SAS两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等（3）判定定理3：ASA两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等（4）判定定理4：AAS两角及其中一个角的对边对应相等的两个
34、三角形全等（5）判定定理5：HL斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边8全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形9角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角
35、的两边的距离相等注意：这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，C在AOB的平分线上，CDOA，CEOBCDCE10线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”（2）性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等11等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等
36、的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决12等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三
37、角形和直角三角形的所有性质即：两个锐角都是45，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r1，则外接圆的半径R1，所以r：R1：113三角形综合题三角形综合题14正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（2）正方形的性质正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行
38、四边形、矩形、菱形的一切性质两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴15作图复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作16命题与定理1、判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理3、定理是真命题，但真命题不一定是定理4、命题写成“如果，那么”的形式，
39、这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言任何一个命题非真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可17推理与论证（1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般（2）论证：用论据证明论题的真实性证明中从论据到论题的推演通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式因此，论证必须遵守推理的规则有时逻辑学
40、家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式18反证法（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法反证法主要适合的证明类型有：命题的结论是否定型的命题的结论是无限型的命题的结论是“至多”或“至少”型的（2）反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确19翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数第36页（共36页）
