1、页1 第 20202020 届山东省泰安市第四中学高三上学期期中考试数学试卷届山东省泰安市第四中学高三上学期期中考试数学试卷 数 学 试 题 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 其中 1-10 题是单选题，11-12 题是多选题） 1. 设集合 2 1213,logAxxBx yx ，则AB ( ) A.(0,1B. 1,0 C 1,0) D.0,1 2已知 2 33 3 2 11 ,log 32 abc ，则, ,a b c的大小关系为( ) Aabc Bacb Ccab Dcba 3. 已知 n S是等差数列 n a的前 n 项和， 377 8,35aaS，则
2、 2 a （） A.5B.6 C.7 D.8 4设xR，则“x+12”是“lgx0”的 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 5设xy0，x+y=1，若， 1 ( )ya x ， 1 () log xy bxy， 1 log y cx，则实数 a，b，c 的大小关系是 AabcBbac CbcaDcba 6设、为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m，则下列命题中真命题是 A若l，则B若lm，则 C若，则lmD若，lm 7函数 33lg xx f xx 的图象大致为 8若非零向量a b 、满足ab ，向量2ab 与b 垂直，则a 与b 的夹角为 A 15
3、0 B 120 C60 D30 9. 已知函数( )sin3cosf xaxx的图像的一条对称轴为直线 5 6 x ，且 12 ()()4f xf x ，则 页2 第 12 xx的最小值为( ) A. 3 B. 0 C. 3 D. 2 3 10用平面截一个球，所得的截面面积为，若到该球球心的距离为1，则球的体积为 A 8 3 B 8 2 3 C8 2D 32 3 11已知空间中两条直线a，b所成的角为 50，P 为空间中给定的一个定点，直线l过点 P 且与直线a 和直线b所成的角都是(090)，则下列选项正确的是 A当=15时，满足题意的直线l不存在 B当=25时，满足题意的直线l有且仅有 l
4、 条 C当=40时，满足题意的直线l有且仅有 2 条 D当=60时，满足题意的直线l有且仅有 3 条 12. 设函数 2 ( )ln(0) 2 ax f xax a e ，若( )f x有 4 个零点，则a的可能取值有( ) A. 1B. 2C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13 已知0,且 3 cos 65 则sin_. 14若在ABC中，1BC ，其外接圆圆心O满足0OCOBOA，则AB AC . 15. 莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题：把 100 个面包分给 5 个人， 使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份
5、之和的 1 7是较小的两份之和，则最小一份的量为 . 16已知函数 yf x 在R上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为 fx ， 当 0x 时，有不等式 2 2x fxxf x 成立，若对 xR ，不等式 0)()( 222 axfxaefe xx 恒 成立，则正数a的最大值为_. 17（10 分）已知ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，2cos( coscos)0C aCcAb （1）求角C的大小； （2）若2,2 3bc，求ABC的面积 页3 第 18(12 分)己知集合 2 4120Ax xx， 22 40Bx xxm+4 (1)求集合 A、B
6、； (2)当m0 时，若xA 是xB 成立的充分不必要条作，求实数m的取值范围 19. （12 分）设数列 n a的前n项和 1 22 n n S ，数列 n b满足 n n an b 2 log)1( 1 ， （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 n b的前n项和 n T 20 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，ABCD为矩形， APB 是以 P 为直角的等腰直角三角形，平面PAB平面ABCD (1)证明：平面PAD平面PBC； (2) M为直线PC的中点，且 2APAD ，求锐二面角A MDB 的余弦值. 21(12 分)某市城郊有一块大约 500m500m
7、 的接 页4 第 近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场 地，其中总面积为 3000 平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为 2 米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其 中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为 S 平方米 (1)分别用x表示y及 S 的函数关系式，并给出定义域； (2)请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积 S 最大，并求出最大值 22 （12 分）已知函数 2 1 ( )ln1() 2 f xxaxaR . （）若函数 ( )f x 在1,2上是单调递增函数，求实数a的取值范围； （）
8、若 20a ，对任意 12 ,1,2x x ，不等式 12 12 11 ()()f xf xm xx 恒成立，求实数m的取值 范围. 页5 第 2017 级高三上学期期中考试 数 学 试 题（答案） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 其中 1-10 题是单选题，11-12 题是多选题） 1-5. ADCBC 610.ADBDB 11.ABD 12.BCD 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13. 10 334 14 2 1 15 5 3 16 e 三、解答题（本大题共 6小题，第17题10分，第19-22题12分，共70分） 17
9、（1）2cos( coscos)0C aCcAb， 由正弦定理可得2cos(sincossincos)sin0CACCAB，2 2cossin()sin0CACB，即2cossinsin0CBB，3 又0180B，sin0B ， 1 cos 2 C ，即120C 5 （2）由余弦定理可得 2222 (2 3)22 2 cos12024aaaa ， 又0,2aa， 8 1 sin3 2 ABC SabC ，ABC的面积为310 18.解：（1）由 2 4120xx，得26x . 故集合 | 26Axx 1 分 由 22 44=0xxm，得 1=2+ xm， 2=2 xm. 当0m 时，22,mm
10、由 22 440xxm得22,mxm 故集合 |22Bxmxm . 3 分 当0m 时，22,mm由 22 440xxm得：22,mxm 故集合 |2+2Bxmxm . 5 分 当=0m时，由 2 440xx得2x =故集合 2Bx x. 6 分 (2) xA是xB成立的充分不必要条件， 2,6 是2,2mm的真子集， 7 分 页6 第 则有 22 22 26 mm m m ，解得4m ， 10 分 又当4m 时，2,2 2,6mm ，不合题意，11 分 实数m的取值范围为(4,). 12 分 19.解：（1） 11 12,naS时，2 1 11 22,22222 nnn nnnnn SSna
11、SSn 4 2 1 a符合2n n a 数列 n a的通项公式为：2n n a 6 （2） nnn b n n )1( 1 2log)1( 1 2 1 11 nn 8 1 11 3 1 2 1 2 1 1 nn Tn 1 1 1 n 12 18 （）证明： ABCD 为矩形， ADAB ， 平面PAB 平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB ， AD平面PAB，则ADPB ， 又PA PB ，PA ADA ， PB平面PAD，而PB 平面PBC， 平面PAD 平面PBC； （）取AB中点 O，分别以 ,OP OB 所在直线为 , x y 轴建立空间直角坐标系， 由 2APAD ， APB 是
12、以 P 为直角的等腰直角三角形，得： 22 0,2,0 ,0,2,2 ,0, 2,0 ,1 22 ADBM ， 23 223 222 , 1 ,1 , 1 222222 MAMDMB 设平面MAD的一个法向量为 , ,mx y z ， 页7 第 由 23 2 0 22 23 2 0 22 m MAxyz m MDxyz ，取 1y ，得 3,1,0m ； 设平面MBD的一个法向量为 , ,nx y z ， 由 23 2 0 22 22 0 22 n MDxyz n MBxyz ，取x1，得1,-1,- 2 n. 1 cos 5 0 , m n m n m n 二面角A MDB 的余弦值为 10
13、 5 21.解：（1）由已知 3000 3000,xyy x 其定义域是(6,500).2 分 (4)(6)(210) ,Sxaxaxa 150015000 (210)(3)30306Sxx xx ,其定义域是(6,500).6 分 （2） 1500015000 3030(6 )30302 630302 3002430,Sxx xx A9 分 当且仅当15000=6x x ，即50(6,500)x 时，上述不等式等号成立， 此时， max 5060,2430.xyS，11 分 答：设计50m60mxy， 时，运动场地面积最大，最大值为 2430 平方米. 12 分 22 （）易知 ( )f x
14、 不是常值函数， 2 1 ( )ln1 2 f xxax 在 1,2 上是增函数， ( )0 a fxx x 恒成立，2 所以 2 ax ，只需 2 min ()1ax ；4 （）因为 20a ，由（）知，函数 ( )f x 在1,2上单调递增， 不妨设 12 12xx ，则 12 12 11 f xf xm xx ， 可化为 21 21 () mm f xf x xx （ ，6 设 2 1 ( )( )ln1 2 mm h xf xxax xx ，则 12 ()()h xh x ， 页8 第 所以 ( )h x 为1,2上的减函数，8 即 2 ( )0 am h xx xx 在1,2上恒成立， 等价于 3 mxax 在1,2上恒成立，10 设 3 ( )g xxax ，所以 max ( )mg x ， 因 20a ，所以 2 ( )30g xxa ，所以函数 ( )g x 在1,2上是增函数， 所以 max ( )(2)8212g xga （当且仅当 2a 时等号成立） 所以 12m 12
