1、2019-2020学年吉林省长春市德惠市大学区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（每小题3分，共24分）1（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是ABCD2（3分）使式子有意义的实数的取值范围是AB且CD且3（3分）关于的方程是一元二次方程，则的值是ABCD4（3分）若，化简5（3分）如图，在中两条中线、相交于点，记的面积为，的面积为，则ABCD6（3分）中，、都是锐角，且，则的形状是A直角三角形B钝角三角形C锐角三角形D不能确定7（3分）已知中，则等于A6BC10D128（3分）轮船从处以每小时50海里的速度沿南偏东方向匀速航行，在处观测灯塔位于南偏东方向上，轮船航行半小时到达处，在处观测
2、灯塔位于北偏东方向上，则处与灯塔的距离是海里ABC50D25二、填空题（每小题3分，共18分）9（3分）如果，那么 10（3分）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值为11（3分）如图，在中，分别是边、上的中线，与相交于点，则12（3分）如图，小明在时测得直立于地面的某树的影长为3米，时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为米13（3分）如图：一个小球由地面沿着坡度为的坡面前进了10米，此时小球在竖直方向上上升了米14（3分）如图，在四边形中，点，分别是，的中点，若，则的值为三、解答题（共78分）15（10分）计算：（1）（2）16（10分）解方程：（1）（2）1
3、7（6分）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上（1）画出位似中心点；（2）直接写出与的位似比；（3）以位似中心为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出关于点中心对称的，并直接写出各顶点的坐标18（6分）已知方程一个根是，求它的另一个根及的值19（8分）随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加某地区高效节能灯的年销售量2010年为10万只，预计2012年将达到14.4 万只求该地区2010年到2012年高效节能灯年销售量的平均增长率20（8分）在中，的对边分别为，请你根据此条件，求斜边的长21（8分）如
4、图，点、在线段上，是等边三角形，且（1）求证：；（2）求的度数22（10分）阅读下面材料：小明遇到下面一个问题：如图1所示，是的角平分线，求的值小明发现，分别过，作直线的垂线，垂足分别为，通过推理计算，可以解决问题（如图请回答， 参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，四边形中，平分，与相交于点（1） （2） 23（12分）如图，在矩形中，点，的坐标分别为，动点，分别从点，同时出发，点以1单位秒的速度向终点运动，点以单位秒的速度向终点运动，连结，设运动时间为秒（1）直接写出，的长度；（2）求证：；（3）在两点的运动过程中，若点同时以1单位秒的速度从点向终点运动，求的面积与运动的时间的函数关系
5、式（三角形的面积不能为，并直接写出当时，运动时间的值2019-2020学年吉林省长春市德惠市大学区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题3分，共24分）1（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是ABCD【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是【解答】解：因为、；、；、故选：【点评】本题主要考查了最简二次根式的定义根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式2（3分）使式子有意义的实数的取值范围是AB且C
6、D且【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出答案【解答】解：使式子有意义的实数的取值范围是：，且，解得：且故选：【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键3（3分）关于的方程是一元二次方程，则的值是ABCD【分析】本题根据一元二次方程的定义求解一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可【解答】解：根据题意得，解得故选：【点评】要特别注意二次项系数不等于0这一条件，当二次项系数是0时，上面的方程就不是一元二次方程了4（3分）若，化简【分析】根据公式可知：，由于，所以，再去绝对值，化简【
7、解答】解：，原式，故选：【点评】本题主要考查二次根式的化简，难度中等偏难5（3分）如图，在中两条中线、相交于点，记的面积为，的面积为，则ABCD【分析】根据三角形的中位线得出，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可【解答】解：和是的中线，故选：【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半6（3分）中，、都是锐角，且，则的形状是A直角三角形B钝角三角形C锐角三角形D不能确定【分析】先根据特殊角的三角函数值求出、的度数，再根据三角形内角和定理求出即可作出判断【解答】解：中，
8、、都是锐角，故选：【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单7（3分）已知中，则等于A6BC10D12【分析】根据直角三角形的特点及三角函数的定义解答即可【解答】解：中，故选：【点评】本题可以考查锐角三角函数的定义运用8（3分）轮船从处以每小时50海里的速度沿南偏东方向匀速航行，在处观测灯塔位于南偏东方向上，轮船航行半小时到达处，在处观测灯塔位于北偏东方向上，则处与灯塔的距离是海里ABC50D25【分析】根据题中所给信息，求出，再求出，从而得到为等腰直角三角形，然后根据解直角三角形的知识解答【解答】解：根据题意，为等腰直角三角形，（海里）故选：【点评】本题考查了等腰直角
9、三角形和方位角，根据方位角求出三角形各角的度数是解题的关键二、填空题（每小题3分，共18分）9（3分）如果，那么【分析】可以设，就可得到，代入代数式即可求得【解答】解：设，就可得到，则【点评】掌握利用设未知数的这种解题方法并熟练应用10（3分）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值为【分析】根据根的判别式即可求出答案【解答】解：由题意可知：，故答案为：【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型11（3分）如图，在中，分别是边、上的中线，与相交于点，则2【分析】根据三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，即可直接得到答案【解
10、答】解：、分别是、边上的中线，与相交于点，为的重心，故答案为：2【点评】此题主要考查了三角形的重心，关键是在熟练掌握重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为12（3分）如图，小明在时测得直立于地面的某树的影长为3米，时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为6米【分析】根据题意，画出示意图，易得：，进而可得，代入数据可得答案【解答】解：根据题意，作，树高为，且，易得：，有，即，代入数据可得，答：树的高度为6米故答案为：6【点评】本题考查了通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小，是平行投影性质在实际生活中的应用，难度适中13（3分）如图：一个小球由地
11、面沿着坡度为的坡面前进了10米，此时小球在竖直方向上上升了米【分析】可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长【解答】解：米，设，由勾股定理得，即，解得：，故答案为：【点评】此题主要考查了坡度坡角，正确掌握勾股定理以及坡角的定义是解题关键14（3分）如图，在四边形中，点，分别是，的中点，若，则的值为【分析】连接，根据中位线的性质得出，且等于，进而得出是直角三角形，求出即可【解答】解：连接，则是的中位线，在中，是以点为直角顶点的直角三角形，故答案为：【点评】此题主要考查了锐角三角形的定义以及三角形中位线的性质以及勾股定理逆定理，根据已知得出是直角三角形是解题关键三、解答题（共78分）15（10分
12、）计算：（1）（2）【分析】（1）先将三角函数值代入，再根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得【解答】解：（1）原式；（2）原式【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的法则和特殊锐角的三角函数值16（10分）解方程：（1）（2）【分析】（1）根据因式分解法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案【解答】解：（1），或；（2），或【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型17（6分）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都
13、在小正方形的顶点上（1）画出位似中心点；（2）直接写出与的位似比；（3）以位似中心为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出关于点中心对称的，并直接写出各顶点的坐标【分析】（1）连接并延长，连接并延长，两延长线交于点；（2）由，即可得出与的位似比为；（3），连接并延长，使，延长并延长，使，并延长，使，连接，则为所求，从网格中即可得出各顶点的坐标【解答】解：（1）图中点为所求；（2）与的位似比等于；（3）为所求；【点评】此题考查了作图位似变换，画位似图形的一般步骤为：确定位似中心，分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上
14、述各点，得到放大或缩小的图形18（6分）已知方程一个根是，求它的另一个根及的值【分析】由方程的一个根为，将代入方程求出的值，将的值代入将方程确定，求出方程的解即可得到方程的另一根【解答】解：方程一个根是，将代入方程得：，解得：，方程为，即，解得：，则方程的另一根为，的值为23【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，其中方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值19（8分）随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加某地区高效节能灯的年销售量2010年为10万只，预计2012年将达到14.4 万只求该地区2010年到2012年高效节能灯年销售量的平均增长率【分析】设该地
15、区2010年到2012年高效节能灯年销售量的平均增长率为，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果【解答】解：设该地区2010年到2012年高效节能灯年销售量的平均增长率为，依据题意，列出方程，化简整理，得，解这个方程，得，或，该地区2010年到2012年高效节能灯年销售量的平均增长率不能为负数，舍去，答：该地区2010年到2012年高效节能灯年销售量的平均增长率为【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键20（8分）在中，的对边分别为，请你根据此条件，求斜边的长【分析】首先计算出的度数，再根据三角函数可得，代入中可计算出的值【解答】解：，【点评】此题主要考查了解直角三角形
16、，关键是掌握三角函数的定义21（8分）如图，点、在线段上，是等边三角形，且（1）求证：；（2）求的度数【分析】（1）可得，又由是等边三角形，所以可求出，进而证明；（2）由，可得，则可求得的大小【解答】解：（1）证明：是等边三角形，；（2），【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键22（10分）阅读下面材料：小明遇到下面一个问题：如图1所示，是的角平分线，求的值小明发现，分别过，作直线的垂线，垂足分别为，通过推理计算，可以解决问题（如图请回答，参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，四边形中，平分，与相交于点（1） （2） 【分析】小明的
17、思路是先证明，得出，再证明，得出，因此得出（1）根据小明的结论得；（2）作于，证明，求出、的长即可求出的值【解答】解：；（1）；（2）作于，如图所示：，平分，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的运用；证明三角形相似是解决问题的关键23（12分）如图，在矩形中，点，的坐标分别为，动点，分别从点，同时出发，点以1单位秒的速度向终点运动，点以单位秒的速度向终点运动，连结，设运动时间为秒（1）直接写出，的长度；（2）求证：；（3）在两点的运动过程中，若点同时以1单位秒的速度从点向终点运动，求的面积与运动的时间的函数关系式（三角形的面积不能为，并直接写出当时，运动时间的值【分析】（
18、1）由矩形的性质和已知条件得出，由勾股定理求出；（2）由题意得，证出，得出，即可得出；（3）当时，延长交于，由相似三角形的性质得，求出，得出，由三角形面积公式即可得出答案；时，延长交于，由相似三角形的性质得出，即，求出，得出，由三角形面积公式即可得出答案；再把分别代入两个关系式，解方程即可【解答】（1）证明：四边形是矩形，；（2）解：由题意得：，；（3）解：分两种情况：当时，延长交于，如图1所示：由（2）得：，即，解得：，的面积，即；当时，延长交于，如图2所示：由（2）得：，即，解得：，的面积，即；当，时，则，整理得：，解得：，或（不合题意舍去），；当，时，则，整理得：，此方程无解；综上所述，当时，运动时间的值为秒【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、矩形的性质、坐标与图形性质、三角形面积公式、解方程以及分类讨论等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键
