1、2019-2020学年吉林省长春市德惠市、朝阳区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1（3分）一元二次方程的一次项系数和常数项分别是A1，B1，C，D，42（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是ABCD3（3分）若，则的值为ABCD4（3分）一元二次方程的根的判别式的值为A8B24CD5（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是ABCD6（3分）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，下列说法中正确的是ABCD7（3分）孙子算经是中国古代重要的数学著作， 成书于约一千五百年前， 其中有首歌谣： 今有竿不知其长， 量得影长一丈五尺，
2、立一标杆， 长一尺五寸， 影长五寸， 问竿长几何？意即： 有一根竹竿不知道有多长， 量出它在太阳下的影子长一丈五尺， 同时立一根一尺五寸的小标杆， 它的影长五寸 （提 示： 1 丈尺， 1 尺寸） ，则竹竿的长为A 五丈B 四丈五尺C 一丈D 五尺8（3分）如图，是内一点，连结与各顶点，各顶点分别在边、上，且，若与的面积和为1则的面积为A4B6C12D18二、填空题（每小题3分，共18分）9（3分）计算：10（3分）一元二次方程的较大根是 11（3分）北京市为了全民健身，举办“健步走”活动，活动路线为玲珑塔国家体育场水立方如果体育局的工作人员在设计图上标记玲珑塔的坐标为，国家体育场的坐标为，则
3、终点水立方的坐标是12（3分）如图，直线、与这三条平行线分别交于点、和点、若，则的长为13（3分）如图是测量玻璃管内径的示意图，点正对“”刻度线，点正对“”刻度线，若量得的长为，则内径的长为 14（3分）两个等腰直角三角板如图放置，点为的中点若，则点、之间的距离为三、解答题（本大题10小题，共78分）15（6分）计算：16（6分）用配方法解方程：17（6分）小明在解方程时出现了错误，解答过程如下：，（第一步）（第二步）（第三步），（第四步）（1）小明解答过程是从第步开始出错的，其错误原因是（2）写出此题正确的解答过程18（7分）已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根（1）求的取值范围；（
4、2）当取最小整数时，求此时方程的解19（7分）如图、图、图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点都在格点上请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，保留作图痕迹（1）在图中找到格点、，使得，且；（2）在图中的线段上找到点，使得；（3）在图中的线段上找到点，使得20（7分）如图，的中线、相交于点，、分别是、的中点，连结、（1）求证：四边形是平行四边形（2）若的面积为6，则四边形的面积为21（8分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价
5、1元，那么商场每月就可以多售出5件（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？22（9分）在中，矩形的顶点、分别在边、上，在边上（1）点到的距离为（2）如图，若，求矩形的周长（3）如图，若矩形的周长是长的8倍，则矩形的周长为23（10分）【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第38页的部分内容问题1：学校生物小组有一块长、宽的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道要使种植面积为，小道的宽应是多少？分析：问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图，不难发现小
6、道的占地面积与位置无关设小道宽为，则两条小道的面积分别为和，其中重叠部分小正方形的面积为，根据题意，得请根据教材提示，结合图，写出完整的解题过程【结论应用】如图，某小区附近有一块长，宽的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的人行步道（一纵一横）和一个边长为人行步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条人行步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，设人行步道的宽为（1）求人行步道的宽；（2）为了方便市民进行跑步健身，现按如图所示方案增建塑胶跑道已知塑胶跑道的宽为，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大，且区域丙为正方形，直接写出塑胶跑道的总面积24（12分）如图，在中，是边的中线动点从点出发，以每秒5个单位长度
7、的速度沿折线向终点运动过点作于点，以为边作矩形，使点、始终在的异侧，且设矩形与重叠部分图形的面积是，点的运动时间为（1）当点在边上时，用含的代数式表示的长；（2）当点落在边上时，求的值；（3）求与之间的函数关系式；（4）连结，当直线将矩形分成面积比为的两部分时，直接写出的值2019-2020学年吉林省长春市德惠市、朝阳区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1（3分）一元二次方程的一次项系数和常数项分别是A1，B1，C，D，4【分析】根据一元二次方程的一般形式：，是常数且中，叫二次项，叫一次项，是常数项其中，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判
8、断即可【解答】解：一元二次方程的一次项系数和常数项分别是、故选：【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号2（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是ABCD【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是【解答】解：、不是最简二次根式，不符合题意；、是最简二次根式，符合题意；、不是最简二次根式，不符合题意；、是最简二次根式，不符合题意；故选：【点评】本题考查最简二次根式的定义根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方
9、数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式3（3分）若，则的值为ABCD【分析】根据已知求出，再代入要求的式子，然后进行计算即可得出答案【解答】解：，；故选：【点评】此题考查了比例线段的性质，熟练掌握两内项的积等于两外项的积是解题的关键4（3分）一元二次方程的根的判别式的值为A8B24CD【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可求出结论【解答】解：，故选：【点评】本题考查了根的判别式，牢记根的判别式是解题的关键5（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是ABCD【分析】直接利用二次根式有意义的条件结合数轴得出答案【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，则
10、，解得：，则的取值范围在数轴上表示为：故选：【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键6（3分）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，下列说法中正确的是ABCD【分析】根据位似变换的性质得到，得到，根据相似三角形的性质解答即可【解答】解：以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，错误；，错误，正确；，错误；故选：【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，位似变换的两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行7（3分）孙子算经是中国古代重要的数学著作， 成书于约一千五百年前， 其中有首歌谣： 今有竿不知其长， 量得影长一
11、丈五尺， 立一标杆， 长一尺五寸， 影长五寸， 问竿长几何？意即： 有一根竹竿不知道有多长， 量出它在太阳下的影子长一丈五尺， 同时立一根一尺五寸的小标杆， 它的影长五寸 （提 示： 1 丈尺， 1 尺寸） ，则竹竿的长为A 五丈B 四丈五尺C 一丈D 五尺【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论 【解答】解： 设竹竿的长度为尺，竹竿的影长一丈五尺尺， 标杆长一尺五寸尺， 影长五寸尺，解得（尺故选：【点评】本题考查的是相似三角形的应用， 熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键 8（3分）如图，是内一点，连结与各顶点，各顶点分别在边、上，且，若与的面积和为1则的面积为A4B6C12D
12、18【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质推出，根据相似三角形的性质得到，同理，于是得到结论【解答】解：，四边形与四边形是平行四边形，同理，与的面积和为，的面积故选：【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键二、填空题（每小题3分，共18分）9（3分）计算：【分析】根据二次根式的性质求出即可【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查了二次根式的性质，能熟记是解此题的关键10（3分）一元二次方程的较大根是3【分析】首先提取公因式得到，然后解两个一元一次方程求出方程的根即可【解答】解：一元二次方程，即，解得，此方程较大根是3，故答案为：
13、3【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键会进行因式分解，此题难度不大11（3分）北京市为了全民健身，举办“健步走”活动，活动路线为玲珑塔国家体育场水立方如果体育局的工作人员在设计图上标记玲珑塔的坐标为，国家体育场的坐标为，则终点水立方的坐标是【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案【解答】解：如图所示：终点水立方的坐标是故答案是：【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键12（3分）如图，直线、与这三条平行线分别交于点、和点、若，则的长为【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，则，然后利用可计算出的长【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查了平
14、行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例13（3分）如图是测量玻璃管内径的示意图，点正对“”刻度线，点正对“”刻度线，若量得的长为，则内径的长为2【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出进而得出比例式求出答案【解答】解：由题意可得：，即，解得：，故答案为：2【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出正确比例关系是解题关键14（3分）两个等腰直角三角板如图放置，点为的中点若，则点、之间的距离为【分析】依据，即可得出，进而得到，依据相似三角形的性质，即可得到，代入求出，求出，在中，根据勾股定理求出即可【解答】解：连接，则线段的长度就是、之间的距离，是等腰直角三角形，
15、是的中点，是等腰直角三角形，又中，即，在中，由勾股定理得：，故答案为：【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质和勾股定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用三、解答题（本大题10小题，共78分）15（6分）计算：【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘法法则运算【解答】解：原式【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解
16、题途径，往往能事半功倍16（6分）用配方法解方程：【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案【解答】解：【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型17（6分）小明在解方程时出现了错误，解答过程如下：，（第一步）（第二步）（第三步），（第四步）（1）小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是（2）写出此题正确的解答过程【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤即可求出答案（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案【解答】解：（1）故答案为：一，原方程没有化成一般形式；（2），【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，
17、本题属于基础题型18（7分）已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根（1）求的取值范围；（2）当取最小整数时，求此时方程的解【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到，然后求出两个不等式的公共部分即可；（2）根据取最小整数，得到，列方程即可得到结论【解答】解：关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，；（2）取最小整数，原方程可化为，【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根19（7分）如图、图、图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点都在格点上请仅用无刻度
18、的直尺，分别按下列要求画图，保留作图痕迹（1）在图中找到格点、，使得，且；（2）在图中的线段上找到点，使得；（3）在图中的线段上找到点，使得【分析】（1）根据题意画出线段即可；（2）根据相似三角形的性质画出线段即可；（3）根据相似三角形的性质画出线段即可【解答】解：（1）如图所示，线段，即为所求；（2）如图所示，线段，即为所求；（3）如图所示，线段，即为所求；【点评】本题考查作图应用与设计，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型20（7分）如图，的中线、相交于点，、分别是、的中点，连结、（1）求证：四边形是平行四边形（2）若的面积为6，则四边形的面积为8【分析】（1）由题意可知
19、和分别是和的中位线，从而，且；，且，由平行四边形的判定定理可得结论；（2）由平行四边形及等底同高三角形可求得答案【解答】解：（1）证明：，是的中线，是的中位线，且、分别是、的中点，是的中位线，且且四边形是平行四边形（2）为的中线，的面积为6四边形是平行四边形，是的中点，四边形的面积为8故答案为：8【点评】本题考查了平行四边形的判定定理与性质定理、三角形的中位线定理及等高三角形等几何知识点，具有一定的综合性，难度中等21（8分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么
20、商场每月就可以多售出5件（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？【分析】（1）先求出每件的利润再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可【解答】解：（1）由题意，得元答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，由题意，得，解得：，有利于减少库存，答：要使商场每月销
21、售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元【点评】本题考查了销售问题的数量关系利润售价进价的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键22（9分）在中，矩形的顶点、分别在边、上，在边上（1）点到的距离为（2）如图，若，求矩形的周长（3）如图，若矩形的周长是长的8倍，则矩形的周长为【分析】（1）根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出斜边上的高即可；（2）根据矩形的性质得出，根据相似三角形的判定得出，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可；（3）根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出，即可求出答案【解答】解：（1）过作
22、于，交于点，在中，由勾股定理得：，由三角形的面积公式得：，解得：，故答案为：；（2）如图，四边形是矩形，设，则，解得：，矩形的周长为；（3）矩形的周长是长的8倍，设，则，由（2）知：，解得：，即，矩形的周长是长的8倍，矩形的周长是，故答案为：【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，能求出是解此题的关键，注意：相似三角形的对应高之比等于相似比23（10分）【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第38页的部分内容问题1：学校生物小组有一块长、宽的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道要使种植面积为，小道的宽应是多少？分析：
23、问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图，不难发现小道的占地面积与位置无关设小道宽为，则两条小道的面积分别为和，其中重叠部分小正方形的面积为，根据题意，得请根据教材提示，结合图，写出完整的解题过程【结论应用】如图，某小区附近有一块长，宽的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的人行步道（一纵一横）和一个边长为人行步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条人行步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，设人行步道的宽为（1）求人行步道的宽；（2）为了方便市民进行跑步健身，现按如图所示方案增建塑胶跑道已知塑胶跑道的宽为，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大，且区域丙为正方形，直接写出塑胶跑道的总面积【分析】【教
24、材呈现】设小道宽为，由种植面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；【结论应用】（1）设人行步道的宽为，根据两条人行步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设区域丙的边长为，根据长方形区域甲的面积比长方形区域乙大，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值，再结合图及长方形的面积公式可求出塑胶跑道的总面积【解答】【教材呈现】设小道宽为，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）答：小道宽为【结论应用】（1）依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）答：步道的宽为（2）设区域丙的边长为，依题意，得：，整理，得：，解得：
25、，塑胶跑道的总面积为【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程（或一元一次方程）是解题的关键24（12分）如图，在中，是边的中线动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线向终点运动过点作于点，以为边作矩形，使点、始终在的异侧，且设矩形与重叠部分图形的面积是，点的运动时间为（1）当点在边上时，用含的代数式表示的长；（2）当点落在边上时，求的值；（3）求与之间的函数关系式；（4）连结，当直线将矩形分成面积比为的两部分时，直接写出的值【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质解决问题即可（2）如图2，当点落在边上时，根据，构建方程即可解决问题（3）
26、分三种情形：如图1中，当时，重叠部分是矩形如图，当时，重叠部分是五边形，根据，求解即可如图中，当时，重叠部分是五边形，根据，求解即可（4）分四种情形：如图中，设交于，当时，直线将矩形分成面积比为的两部分如图中，设交于，当时，直线将矩形分成面积比为的两部分如图中，设交于，当时，直线将矩形分成面积比为的两部分如图中，设交于，当时，直线将矩形分成面积比为的两部分【解答】解：（1）如图1中，在中，由勾股定理，得是边的中线，（2）如图2，当点落在边上时，解得（3）如图1中，当时，重叠部分是矩形，如图，当时，重叠部分是五边形，如图中，当时，重叠部分是五边形，综上所述，（4）如图中，设交于，当时，直线将矩形分成面积比为的两部分作于，如图中，设交于，当时，直线将矩形分成面积比为的两部分，如图中，设交于，当时，直线将矩形分成面积比为的两部分，如图中，设交于，当时，直线将矩形分成面积比为的两部分同法可证，由可知，综上所述，满足条件的的值为或或或【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，多边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题
