1、2019-2020学年山东省聊城市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1（3分）在中，、分别为、的对边， 下列各式成立的是A B C D 2（3分）如图，为上一点，且，以点为圆心，半径为3的圆与的位置关系是A相离B相交C相切D以上三种情况均有可能3（3分）在中，则的长度为A B C D 4（3分）如图，四边形内接于，是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，连接，若，则的度数为ABCD5（3分）下列结论正确的是A三点确定一个圆B相等的圆心角所对的弧相等C等弧所对的弦相等D三角形的外心到三角形各边的距离相等6（3分）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标为，则外接圆的圆心坐标是
2、ABCD7（3分）江堤的横断面如图，堤高米，迎水坡的坡比是，则堤脚的长是A20米B米C米D米8（3分）如图，中，则的面积为AB12C14D219（3分）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于ABCD10（3分）如图，一艘轮船在处观测灯塔位于南偏东方向上，相距40海里，轮船从处沿南偏东方向匀速航行至处，在处观测灯塔位于北偏东方向上，则处与灯塔的距离是A20海里B40海里C海里D海里11（3分）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是ABCD12（3分）如图，直线，点的坐标为过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，再过点作轴的垂线交
3、直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，按此做法进行下去，点的坐标为ABCD二、填空题（每小题4分，共24分）13（4分）14（4分）如图，在半径为3的中，直径与弦相交于点，连接，若，则 15（4分）学校两幢教学楼的高度，两楼间的距离，已知太阳光与水平线的夹角，则甲楼投在乙楼上的影子的高度为（保留根号）16（4分）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点与点，点的坐标为，是圆上一点，的半径和圆心的坐标分别是 ， 17（4分）若点是等腰的外心，且，底边，则的面积为 18（4分）如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，则长方形卡片的周长为（精确到
4、（参考数据：，三、解答题（共60分）19（8分）如图所示，是的一条弦，垂足为，交于点，点在上（1）若，求的度数；（2）若，求的长20（8分）如图，王明站在地面处用测角仪器测得楼顶点的仰角为，楼顶上旗杆顶点的仰角为，已知测角仪器高米，楼高米，求旗杆的高度（精确到1米）（供参考数据：，21（10分）如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连结，过点作垂足为（1）求证：；（2）若半径为5，求的长22（10分）如图，已知、是上的四个点，交于点，连接、（1）求证：平分；（2）若，求的长23（12分）某新农村乐园设置了一个秋千场所， 如图所示， 秋千拉绳的长为，静止时， 踏板到地面距离的长为（踏 板厚度忽略
5、不计） 为安全起见， 乐园管理处规定： 儿童的“安全高度”为，成人的“安全高度”为（计 算结果精确到（1） 当摆绳与成夹角时， 恰为儿童的安全高度， 则 （2） 某成人在玩秋千时， 摆绳与的最大夹角为，问此人是否安全？ （参 考数据：，24（12分）如图，是等腰三角形，以为直径的与交于点，垂足为，的延长线与的延长线交于点（1）求证：是的切线；（2）若的半径为2，求的值2019-2020学年山东省聊城市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分）1（3分）在中，、分别为、的对边， 下列各式成立的是A B C D 【分析】根据三角函数的定义即可判断 【解答】解：、，
6、故选项错误；、，故选项错误；、，故选项错误；、，故选项正确 故选：【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用： 在直角三角形中， 锐角的正弦为对边比斜边， 余弦为邻边比斜边， 正切为对边比邻边 2（3分）如图，为上一点，且，以点为圆心，半径为3的圆与的位置关系是A相离B相交C相切D以上三种情况均有可能【分析】利用直线和相切，进而判断得出即可【解答】解：过点作于点，以点为圆心，半径为3的圆与的位置关系是：相切故选：【点评】此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时与的关系是解题关键3（3分）在中，则的长度为A B C D 【分析】根据三角函数的定义求得和的比值， 设出、，然后利用勾股定理
7、即可求解 【解答】解：，设，又，解得：或（舍，则，故选：【点评】本题考查了三角函数与勾股定理， 正确理解三角函数的定义是关键 4（3分）如图，四边形内接于，是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，连接，若，则的度数为ABCD【分析】先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由圆周角定理得出的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论【解答】解：四边形内接于，故选：【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键5（3分）下列结论正确的是A三点确定一个圆B相等的圆心角所对的弧相等C等弧所对的弦相等D三角形的外心到三角形各边的距离相等【分析】根据圆的有关性质对每一项进行判
8、断即可得出答案【解答】解：、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；、等弧所对的弦相等，故故本选项正确；、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项错误；故选：【点评】本题考查了命题与定理，关键是熟练掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断6（3分）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标为，则外接圆的圆心坐标是ABCD【分析】由已知点的坐标得出为直角三角形，得出的外接圆的圆心是斜边的中点，即可得出结果【解答】解：如图所示：点，的坐标为，为直角三角形，的外接圆的圆心是斜边的中点，外接圆的圆心坐标是，即故选：【点评】本题考查了三
9、角形的外接圆与外心、坐标与图形性质、直角三角形的外心特征；熟记直角三角形的外心特征，根据题意得出三角形是直角三角形是解决问题的关键7（3分）江堤的横断面如图，堤高米，迎水坡的坡比是，则堤脚的长是A20米B米C米D米【分析】在中，已知了坡面的坡比是铅直高度和水平宽度的比值，据此即可求解【解答】解：根据题意得：，解得：（米故选：【点评】本题考查了坡比的定义，理解定义是关键8（3分）如图，中，则的面积为AB12C14D21【分析】根据锐角三角形函数可以求得、和的长，从而可以求得的面积【解答】解：作于点，中，得，得，故选：【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答9（3分
10、）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于ABCD【分析】找到所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得的邻边与斜边之比即可【解答】解：由格点可得所在的直角三角形的两条直角边为2，4，斜边为故选：【点评】难点是构造相应的直角三角形利用勾股定理求得所在的直角三角形的斜边长，关键是理解余弦等于邻边比斜边10（3分）如图，一艘轮船在处观测灯塔位于南偏东方向上，相距40海里，轮船从处沿南偏东方向匀速航行至处，在处观测灯塔位于北偏东方向上，则处与灯塔的距离是A20海里B40海里C海里D海里【分析】首先由题意求得与的度数，易证得是等腰三角形，继而求得答案【解答】解：根据题意得：，海里故选：【点评
11、】此题考查了方向角问题注意证得是解此题的关键11（3分）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是ABCD【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出，再利用弧度与圆心角的关系得出答案【解答】解：如图所示：连接，过点作于点，由题意可得：，可得，故，则，故的度数是故选：【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及弧度与圆心角的关系，正确得出的度数是解题关键12（3分）如图，直线，点的坐标为过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，再过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，按此做法进行下去，点的坐标为ABC
12、D【分析】先根据一次函数解析式求出点的坐标，再根据点的坐标求出的长，用同样的方法得出，的长，以此类推，总结规律便可求出点的坐标【解答】解：点坐标为，在中，当时，即点的坐标为，由勾股定理可得，即，同理可得，即，即，以此类推，即点坐标为，当时，点坐标为，故选：【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的运用，解题的关键是根据，的长总结规律，进而得到的长解题时注意，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式二、填空题（每小题4分，共24分）13（4分）【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案【解答】解：原式故答案为：【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解
13、题关键14（4分）如图，在半径为3的中，直径与弦相交于点，连接，若，则【分析】连接可得，由勾股定理求得的长，进而由可得答案【解答】解：如图，连接，是的直径，又，故答案为：【点评】本题考查了三角函数的定义、圆周角定理、解直角三角形，连接构造直角三角形是解题的关键15（4分）学校两幢教学楼的高度，两楼间的距离，已知太阳光与水平线的夹角，则甲楼投在乙楼上的影子的高度为（保留根号）【分析】如下图所示，求甲楼投在乙楼上的影子的高度即需求线段的长，而要想求出，必须要有的值现处在一个直角三角形中，且，楼间距15米，所以解直角三角形即可【解答】解：延长交于，连接由于，和在同一直线上，四边形是矩形，在中，投到乙
14、楼影子高度是故答案为：【点评】此题主要考查了我们对正切的理解和应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到解直角三角形中16（4分）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点与点，点的坐标为，是圆上一点，的半径和圆心的坐标分别是4， 【分析】连接，由圆周角定理可知为的直径，再根据可求出及的度数，由直角三角形的性质可求出的度数，再根据等腰三角形的性质及等边三角形的判定定理即可求出的半径；由是直角三角形可求出的长，过作于，由垂径定理可求出的长，进而得出点的坐标，再根据直角三角形的性质可求出的长，从而求出点坐标【解答】解：连接，为的直径，是等边三角形，的半径；过作于，则，点坐标为，点坐标为，故答案为
15、：4，【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形的性质及特殊角的三角函数值，根据题意画出图形，作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键17（4分）若点是等腰的外心，且，底边，则的面积为或【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可以求出不同情况下的面积，本题得以解决【解答】解：由题意可得，如右图所示存在两种情况，当为时，连接、，点是等腰的外心，且，底边，为等边三角形，于点，当为时，连接、，点是等腰的外心，且，底边，为等边三角形，于点，由上可得，的面积为或，故答案为或【点评】本题考查三角形的外接圆和外心，等腰三角形的
16、性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题18（4分）如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，则长方形卡片的周长为200（精确到（参考数据：，【分析】作于点，于点，求的度数，在中，可以求得的值，在中，可以求得的值，即可计算矩形的周长【解答】解：作于点，于点如图所示：，根据题意，得，在中，在中，矩形的周长【点评】本题考查了矩形的性质、解直角三角形；熟练掌握矩形的性质和三角函数定义是解题的关键三、解答题（共60分）19（8分）如图所示，是的一条弦，垂足为，交于点，点在上（1）若，求的度数；（2）若，求的长【分析】（
17、1）根据垂径定理，得到，再根据圆周角与圆心角的关系，得知，据此即可求出的度数；（2）由垂径定理可知，在中，由勾股定理求即可【解答】解：（1）是的一条弦，；（2）是的一条弦，即，在中，则【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理及圆周角定理关键是由垂径定理得出相等的弧，相等的线段，由垂直关系得出直角三角形，运用勾股定理20（8分）如图，王明站在地面处用测角仪器测得楼顶点的仰角为，楼顶上旗杆顶点的仰角为，已知测角仪器高米，楼高米，求旗杆的高度（精确到1米）（供参考数据：，【分析】首先根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，分别解可得与的大小再利用，进而可求出答案【解答】解：易知四边形为矩形米（1分）
18、在等腰直角三角形中，米（2分）在直角三角形中，（4分）（米（6分）【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形21（10分）如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连结，过点作垂足为（1）求证：；（2）若半径为5，求的长【分析】（1）连接，证明垂直平分线段即可（2）证明是等边三角形，求出即可解决问题【解答】解：（1）证明：连接是的直径，又是的垂直平分线，（2），是等边三角形，的半径为5， ，又【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型22（10分）如图，已知、是上的四个点，交于
19、点，连接、（1）求证：平分；（2）若，求的长【分析】（1）等弦对等角可证平分；（2）易证，根据相似三角形的性质可求的长【解答】（1）证明：，（2分），平分；（4分）（2）解：由（1）可知，又，（6分），（8分），（10分）【点评】本题考查圆周角的应用，找出对应角证明三角形相似，解决实际问题23（12分）某新农村乐园设置了一个秋千场所， 如图所示， 秋千拉绳的长为，静止时， 踏板到地面距离的长为（踏 板厚度忽略不计） 为安全起见， 乐园管理处规定： 儿童的“安全高度”为，成人的“安全高度”为（计 算结果精确到（1） 当摆绳与成夹角时， 恰为儿童的安全高度， 则 1.5 （2） 某成人在玩秋千时，
20、 摆绳与的最大夹角为，问此人是否安全？ （参 考数据：，【分析】（1） 根据余弦函数先求出，再根据，求出，即可得出的值；（2） 过点作，交于点，根据已知条件和余弦定理求出，再根据，求出，再与成人的“安全高度”进行比较， 即可得出答案 【解答】解： （1） 在中，；故答案为： 1.5 （2） 如图， 过点作，交于点，在中，成人的“安全高度”为，成人是安全的 【点评】此题考查了解直角三角形的应用， 用到的知识点是锐角三角函数， 关键是根据题意作出辅助线， 构造直角三角形 24（12分）如图，是等腰三角形，以为直径的与交于点，垂足为，的延长线与的延长线交于点（1）求证：是的切线；（2）若的半径为2，求的值【分析】（1）连接、，根据是圆的直径，即可得到，再根据三角形中位线定理即可得到，这得到，从而求证，是圆的切线（2）根据平行线分线段成比例定理，即可求得的长，即可求得，根据余弦的定义即可求解【解答】（1）证明：连接、是直径是的中点又是的中点是的切线（2）解：由（1）知，解得中，【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理等知识点要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可并且本题还考查了三角函数的定义
