1、2019-2020学年湖北省孝感市云梦县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，每一小题选对得3分，不选、选错或选出的代号超过一个的一律得0分）1（3分）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是ABCD2（3分）抛物线的顶点坐标是ABCD3（3分）用配方法解方程，下列配方结果正确的是ABCD4（3分）把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是ABCD5（3分）如图，的顶点都在上，则的度数为ABCD6（3分）如图，在中，将绕点按逆时针方向旋转得到，点在边上，则的大小为ABC
2、D7（3分）某品牌手机经过连续两次降价，每台售价由原来的3456元降到了2400元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程ABCD8（3分）如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是A点B点C点D点9（3分）如图1，在中，分别是，边的中点，点为边上的一个动点，连接，设，图1中某条线段长为，若表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线可能是ABCD10（3分）抛物线的顶点为，与轴正半轴交于、两点，在左，与轴正半轴交于点，当和均为等腰直角三角形为坐标原点）时，的值为A2B或CD二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）11（3分）点关于原点对称的点的坐标是 12（3分）已知
3、二次函数的图象与轴的一个交点为，则它与轴的另个交点的坐标是13（3分）关于的一元二次方程有一根为0，则 14（3分）某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91设每个支干长出个小分支，则可得方程为 15（3分）如图，在中，是直径，弦的垂直平分线交于点，于，则的长为16（3分）已知二次函数在时的最小值是，则的值为三、解答题（本大题共8小题，满分72分）17（8分）解方程：（1）（2）18（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，（1）求的面积；（2）在图中画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的对应点的坐标19（8分）如图是一张长，宽的长方形纸板，
4、将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒（1）无盖方盒盒底的长为，宽为（用含的式子表示）（2）若要制作一个底面积是的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长20（8分）已知关于的一元二次方程（1）若该方程有两个不相等的实数根，求的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为，且，求的值21（8分）某商品现在的售价为每件25元，每天可售出50件，市场调查发现，售价每上涨1元，每天就少卖出2件，已知该商品的进价为每件20元，设该商品每天的销售量为件，售价为每件元为正整数）（1）求与之间的函数关系式；（2）该商品的售价定为每件多少元时，每天的销售利润（元最
5、大，最大利润是多少元？22（10分）已知的半径为5，点、都在上，的平分线交于点（1）如图1，若为的直径，求和的长；（2）如图2，若，过圆心作于点，求的长23（10分）在正方形和正方形中，点在边上，点在线段的延长线上，连接（1）如图1，求证：；（2）如图2，将正方形绕点按逆时针方向旋转，使点恰好落在线段上求证：；若，求线段的长24（12分）已知：如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且、，点是抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式（2）在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由（3）点为抛物线上的动点，且在对称轴右侧，若面积为3，求点的坐标2019-2020
6、学年湖北省孝感市云梦县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，每一小题选对得3分，不选、选错或选出的代号超过一个的一律得0分）1（3分）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是ABCD【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可【解答】解：由题意，得，故选：【点评】本题利用了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且特别
7、要注意的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点2（3分）抛物线的顶点坐标是ABCD【分析】由抛物线的顶点式直接看出顶点坐标是，仿照模型解题【解答】解：因为抛物线是顶点式，根据顶点式的坐标特点可知该抛物线的顶点坐标是故选【点评】掌握抛物线顶点式的运用3（3分）用配方法解方程，下列配方结果正确的是ABCD【分析】将常数项移到等式的右边，再在两边都配上一次项系数一半的平方即可得【解答】解：，即，故选：【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤：把原方程化为的形式；方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；方程两边同时加上一次项系
8、数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解4（3分）把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是ABCD【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解【解答】解：抛物线先向上平移2个单位，得：；再向右平移3个单位，得：；故选：【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式5（3分）如图，的顶点都在上，则的度数为ABCD【分析】连接，由，根据等腰三角形的性质，可求得的度数，继而求得的度数，然后由圆周角
9、定理，求得的度数【解答】解：连接，故选：【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心以及圆周角定理和等腰三角形的性质注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半6（3分）如图，在中，将绕点按逆时针方向旋转得到，点在边上，则的大小为ABCD【分析】先根据旋转的性质得出，然后在直角中利用直角三角形两锐角互余求出【解答】解：在中，将绕点按逆时针方向旋转得到，故选：【点评】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键7（3分）某品牌手机经过连续两次降价，每台售价由原来的3456元降到了2400元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程ABCD【分析】
10、先列出第一次降价的售价的代数式，再根据第一次的售价列出第二次降价的售价的代数式，然后根据已知条件即可列出方程【解答】解：依题意得：第一次降价的售价为：，则第二次降价后的售价为：，故选：【点评】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程，要注意题意指明的是降价，应该是而不是8（3分）如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是A点B点C点D点【分析】根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可得对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心【解答】解：如图，连接，可得其垂直平分线相交于点，故旋转中心是点故选：【点评】本题考查了旋转的性质，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌
11、握旋转中心的确定方法是解题的关键9（3分）如图1，在中，分别是，边的中点，点为边上的一个动点，连接，设，图1中某条线段长为，若表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线可能是ABCD【分析】分别假定等于选项中的各个线段，数形结合进行分析，即可作出判断【解答】解：选项：若，已知，观察图形可知在取得最小值为0，故错误；选项：若，是边的中点，且，可知在取得最小值，观察图2，可知选项错误；选项：若，由，可知在取得最小值，故错误；选项：由前三个错误，可知本选项正确，且由题意及图形可知在处取得最小值，本选项正确故选：【点评】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合是解题的关键10（3分）抛物线的顶点为，
12、与轴正半轴交于、两点，在左，与轴正半轴交于点，当和均为等腰直角三角形为坐标原点）时，的值为A2B或CD【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质和等腰三角形的性质，可以求得的值，本题得以解决【解答】解：抛物线，时，点的坐标为，为等腰直角三角形，抛物线与轴的一个交点为，得，设抛物线与轴的另一个交点为，为等腰直角三角形，点的纵坐标的绝对值是的一半，解得，或，当时，此时，与轴只有一个交点，故不符合题意，当时，此时，与轴两个交点，符合题意，故选：【点评】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想
13、解答二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）11（3分）点关于原点对称的点的坐标是【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数【解答】解：根据中心对称的性质，得点关于原点对称的点的坐标是【点评】这一类题目是需要识记的基础题，解决的关键是对知识点的正确记忆12（3分）已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则它与轴的另个交点的坐标是【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据轴对称性求出与轴的另一个交点坐标【解答】解：二次函数的对称轴为：，二次函数的图象与轴的一个交点为，它与轴的另一个交点坐标与关于直线对称，其坐标是故答案是：【点评】
14、本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是熟练掌握抛物线的对称性13（3分）关于的一元二次方程有一根为0，则【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，通过解关于的方程即可求得的值【解答】解：关于的一元二次方程有一根为0，满足关于的一元二次方程，且，即且，解得，；故答案是：【点评】本题考查了一元二次方程的解注意一元二次方程的二次项系数不为零14（3分）某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91设每个支干长出个小分支，则可得方程为【分析】由题意设每个支干长出个小分支，因为主干长出个（同样数目）支干，则又长出个小分支，则共有个分支，
15、即可列方程【解答】解：设每个支干长出个小分支，根据题意列方程得：故答案为【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键15（3分）如图，在中，是直径，弦的垂直平分线交于点，于，则的长为9【分析】证明，得，设的半径为，则，根据勾股定理列方程可得结论【解答】解：弦的垂直平分线交于点，设的半径为，则，由勾股定理得：，故答案为：9【点评】本题考查了垂径定理的应用，同时还考查了全等三角形的性质和判定，与勾股定理相结合，列方程解决问题；解答有关于圆的计算题时，需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要
16、注意将所学知识贯穿起来16（3分）已知二次函数在时的最小值是，则的值为1或2【分析】结合二次函数图形以及利用顶点横坐标在范围右侧时以及顶点横坐标在范围内时和顶点横坐标在范围左侧时，分别结合二次函数增减性求出最值即可【解答】解：，分类讨论：（1）若顶点横坐标在范围右侧时，有，此时随的增大而减小，当时，函数取得最小值，方程无解（2）若顶点横坐标在范围内时，即有，解这个不等式，即此时当时，函数取得最小值，（3）若顶点横坐标在范围左侧时，即时，随的增大而增大，当时，函数取得最小值，解得或1（舍弃）或2故答案为：1或2【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及二次函数的增减性等知识，利用数形结合以及分
17、类讨论得出是解题关键三、解答题（本大题共8小题，满分72分）17（8分）解方程：（1）（2）【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）根据公式法即可求出答案；【解答】解：（1）（2），方程有两个不等的实数根，【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型18（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，（1）求的面积；（2）在图中画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的对应点的坐标【分析】（1）用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积可计算出的面积；（2）利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、，从而得到【解答】解：（1）如图：；（2）如图，为所作，
18、点的坐标为【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形19（8分）如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒（1）无盖方盒盒底的长为，宽为（用含的式子表示）（2）若要制作一个底面积是的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长【分析】（1）用长方形纸板的长和宽减去两个小正方形的边长，即可求出结论；（2）根据长方形的面积公式结合底面面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值
19、即可得出结论【解答】解：（1）无盖方盒盒底的长为，宽为故答案为：；（2）依题意，得：，整理，得：，解得：，（不合题意，舍去）答：剪去的正方形的边长为【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键20（8分）已知关于的一元二次方程（1）若该方程有两个不相等的实数根，求的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为，且，求的值【分析】（1）根据题意得到关于的不等式，解出的取值范围，即可得到结论；（2）根据根与系数的关系和代数式变形进行解答【解答】解：（1）原方程由两个不相等的实数根，整理，得 ，解之，得，的最小整数值是；（2）由原方程，得：；，；【点评】此题考查了一
20、元二次方程根的判别式和根与系数的关系，首先利用判别式求出的取值范围，然后利用根与系数的关系得到关于的方程，解方程即可解决问题21（8分）某商品现在的售价为每件25元，每天可售出50件，市场调查发现，售价每上涨1元，每天就少卖出2件，已知该商品的进价为每件20元，设该商品每天的销售量为件，售价为每件元为正整数）（1）求与之间的函数关系式；（2）该商品的售价定为每件多少元时，每天的销售利润（元最大，最大利润是多少元？【分析】（1）根据销量在50件的基础上不断减少列出函数关系式即可；（2）利用总利润单件的利润销量列出二次函数求得最值即可【解答】解：（1），；（2），当时，有最大值450，答：该商品的
21、售价定为每件35元时，每天的销售利润最大，最大利润是450元【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型求最值22（10分）已知的半径为5，点、都在上，的平分线交于点（1）如图1，若为的直径，求和的长；（2）如图2，若，过圆心作于点，求的长【分析】（1）利用圆周角定理可以判定和是直角三角形，利用勾股定理可以求得的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到的长；（2）连接，易证是等边三角形，进而可求出的长，再由勾股定理即可求出的长【解答】解：（1）如图1，为的直径，且，则在中
22、，又是的平分线，是等腰直角三角形，；（2）如图2，连接，是的平分线，又，是等边三角形，又，又，【点评】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线23（10分）在正方形和正方形中，点在边上，点在线段的延长线上，连接（1）如图1，求证：；（2）如图2，将正方形绕点按逆时针方向旋转，使点恰好落在线段上求证：；若，求线段的长【分析】（1）由题意可证，可得，由，可得，即；（2）由题意可证，得出，由对顶角，结合三角形内角和定理得出即可得出结论；连接，交于点，根据勾股定理可求的长度，即可求的长度，由，可得【解答】（1）证明：延长，交于，如图1所示：四边形和四边
23、形是正方形，在和中， ，又，；（2）证明：设交于，如图2所示：由旋转的性质得：，即，在和中， ，又，；解：如图3，连接，交于点，四边形是正方形，且是等腰直角三角形，在中，由知，【点评】本题是四边形综合题目，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握旋转的性质和正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键24（12分）已知：如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且、，点是抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式（2）在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由（3）点为抛物线上的动点，且在对称轴右侧，若面积为3，求点的坐标【分析】（1）将，代入抛物线，即可求解；（2）等腰中，点在轴上，是腰，分两种情况：当时，有，当时，有，即可求解；（3），即可求解【解答】解：（1）将，代入抛物线中，解得：，抛物线的解析式为；（2），等腰中，点在轴上，是腰，分两种情况：当时，有，当时，有设则，综上：在轴上存在点适合题意，点的坐标为，（3）如图，过点作轴的平行线，与轴交于点，与的延长线交于点，过作，设直线的解析式为将，代入，解得，直线的解析式为；设，则，即解得：，（舍将代入抛物线解析式，【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏
