1、2019-2020学年河南省南阳市唐河县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1（3分）下列计算正确的是ABCD2（3分）方程经过配方后，其结果正确的是ABCD3（3分）下列各组线段的长度成比例的是A，B，C，D，4（3分）如图，已知，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是ABCD5（3分）如图，一艘海轮位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔的处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，这时，处与灯塔的距离为A B C D 6（3分）如图，在中，点是的中点，过点的直线截下的三角形与相似，这样的直线的条数是A1B2C3D47（3分）某超市一月份的营业额为200万元，
2、三月份的营业额为288万元，若每月比上月增长的百分率相同，则这两个月的营业额增长的百分率是ABCD8（3分）如图， 小芳和爸爸正在散步， 爸爸身高，他在地面上的影长为 若小芳比爸爸矮，则她的影长为A B C D 9（3分）已知：如图，在中，则下列等式成立的是ABCD10（3分）点、分别在平行四边形的边、上，点在边上，过点且平行于的直线将分成面积为、的两部分，将分成面积为、的两部分（如图），下列四个等式：其中成立的有ABCD二、填空题（每小题3分，共15分）11（3分）计算：12（3分）学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图）
3、，要使种植面积为600平方米，求小道的宽若设小道的宽为米，则可列方程为 13（3分）如图，在中，梯形面积是面积的3倍，则 14（3分）如图，某村准备在坡度为的斜坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为5米，则这两棵树在坡面上的距离为 米（结果保留根号）15（3分）一副直角三角板如图放置，点在上，则三、解答题（本大题满分75分）16（12分）请从以下四个一元二次方程中任选三个，并用适当的方法解这三个方程（1）（2）；（3）；（4）17（9分）在图的方格纸中，的顶点坐标分别为、，与是关于点为位似中心的位似图形（1）在图中标出位似中心的位置，并写出点及点的对应点的坐标；（2）以原点为位似中心，在位似
4、中心的同侧画出的一个位似，使它与的相似比为并写出点的对应点的坐标；（3） 内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标；（4）判断能否看作是由经过某种变换后得到的图形，若是，请指出是怎样变换得到的（直接写答案）18（8分）如图，、四点均在边长为1的小正方形网格格点上（1）判断与是否相似，并说明理由；（2）求的度数19（9分）已知关于的方程小明同学说：无论取何实数，方程总有实数根，你认为他说的有道理吗？若等腰三角形的一边，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长和面积20（8分）如图所示，一幢楼房背后有一台阶，台阶每层高0.2米，且米，设太阳光线与水平地面的夹角为，当时，测得楼房在地面上的影长米，现
5、有一只小猫睡在台阶的这层上晒太阳取（1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由21（8分）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元（1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；（2）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？22（10分）如图，在四边形中，点在边上
6、，当 时，可知（不要求证明）（1）探究：如图，在四边形中，点在边上，当时，求证：（2）拓展：如图，在中，点是边的中点，点、分别在边、上若，则的长为 23（11分）如图，在直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于、两点，、的长是关于的一元二次方程的两个实数根，且，以为一边作如图所示的正方形，交于点（1）求直线的解析式；（2）在轴上是否存在一点，使以、为顶点的三角形与相似？若存在，求点坐标；否则，说明理由；（3）设是平面内一动点，在轴上是否存在点，使得以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；否则，请说明理由参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1（3分）下列计算正确的是ABC
7、D【分析】根据二次根式的加减法则进行计算即可【解答】解：、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；、，故本选项正确；、，故本选项错误；、，故本选项错误故选：【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键2（3分）方程经过配方后，其结果正确的是ABCD【分析】把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方【解答】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到配方得故选：【点评】本题考查了解一元二次方程配方法配方法的一般步骤：
8、（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数3（3分）下列各组线段的长度成比例的是A，B，C，D，【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段对选项一一分析，排除错误答案【解答】解：、，故此选项错误；、，故此选项错误；、，故此选项错误；、，故此选项正确故选：【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等4（3分）如图，已知，则添加下列一个条件后，仍无法判
9、定的是ABCD【分析】证出，由相似三角形的判定方法即可得出结果【解答】解：，、添加，无法判定，故本选项正确；、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项错误；、添加，可用两角法判定，故本选项错误；、添加，可用两角法判定，故本选项错误；故选：【点评】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角是确定其他条件的关键，注意掌握相似三角形的几种判定方法5（3分）如图，一艘海轮位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔的处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，这时，处与灯塔的距离为A B C D 【分析】如图作于在中，求出，在中，根据即可解决问题【解答】解：如图作于在中，在中，故选：
10、【点评】本题考查方向角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线6（3分）如图，在中，点是的中点，过点的直线截下的三角形与相似，这样的直线的条数是A1B2C3D4【分析】由于是直角三角形，所以必须保证直线与三角形的任意一边能够形成直角三角形，进而再判定其是否相似【解答】解：是直角三角形，只有创造出一个直角时，才有可能满足题中相似的条件当时，可得三角形相似；当时，亦可得三角形相似；当时，三角形也相似，当时，三角形也相似；故满足题中的直线共有3条故选：【点评】本题主要考查了相似三角形的判定；熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关
11、键7（3分）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，若每月比上月增长的百分率相同，则这两个月的营业额增长的百分率是ABCD【分析】关系式为：一月份的营业额增长率）三月份的营业额，把相关数值代入计算即可【解答】解：设这两个月的营业额增长的百分率是，故选：【点评】考查一元二次方程的应用；得到三月份营业额的关系式是解决本题的关键8（3分）如图， 小芳和爸爸正在散步， 爸爸身高，他在地面上的影长为 若小芳比爸爸矮，则她的影长为A B C D 【分析】在同一时刻物高和影长成正比， 即太阳光线照到两个物体上光线、 物体、 影子三者形成的直角三角形相似 【解答】解： 根据相同时刻的物高
12、与影长成比例，设小芳的影长为，则，解得故选：【点评】在同一时刻物高和影长成正比， 本题就是考查相似三角形的性质， 对应边的比相等 9（3分）已知：如图，在中，则下列等式成立的是ABCD【分析】在和中，由，可得出，根据相似三角形的性质，得，从而可选出答案【解答】解：，故选：【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，两角相等，两三角形相似10（3分）点、分别在平行四边形的边、上，点在边上，过点且平行于的直线将分成面积为、的两部分，将分成面积为、的两部分（如图），下列四个等式：其中成立的有ABCD【分析】根据平行线的性质，相似三角形的性质可知，求出，（用，表示），即可解决问题【解答】解：由题意，整理
13、得：，故错误，正确，故正确，故错误，故选：【点评】本题考查平行四边形的性质相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题二、填空题（每小题3分，共15分）11（3分）计算：2【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和二次根式的性质分别化简得出答案【解答】解：原式故答案为：2【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键12（3分）学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽若设小道的宽为米，则可列方程为（或【分析】把阴影部分
14、分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可【解答】解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为米，宽为米，可列方程为（或，故答案为（或【点评】考查列代数式；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的易错点13（3分）如图，在中，梯形面积是面积的3倍，则3【分析】首先根据题目中的三角形和四边形的面积求的三角形和三角形的面积的比，然后求的相似三角形的相似比，然后求得对应边的值即可【解答】解：，梯形面积是面积的3倍，故答案为3【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方14（3分
15、）如图，某村准备在坡度为的斜坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为5米，则这两棵树在坡面上的距离为米（结果保留根号）【分析】运用余弦函数求两树在坡面上的距离【解答】解：坡度为坡角为，相邻两树之间的水平距离为5米，两树在坡面上的距离（米【点评】此题主要考查解直角三角形中的坡度坡角问题及学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力15（3分）一副直角三角板如图放置，点在上，则【分析】先解，由，得出再解，求出，根据三角函数定义得到，那么【解答】解：在中，在中，故答案为【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，求出与的长是解题的关键三、解答题（本大题满分75分）16（12分）请从以下四个一元二
16、次方程中任选三个，并用适当的方法解这三个方程（1）（2）；（3）；（4）【分析】（1）直接利用公式法解方程即可；（2）利用直接开平方法解方程即可；（3）直接利用提取公因式法分解因式解方程即可；（4）直接利用十字相乘法分解因式解方程即可【解答】解：（1），故，；（2），则，；（3），故或，解得：，；（4），解得：，【点评】此题主要考查了因式分解法以及公式法解方程，正确分解因式是解题关键17（9分）在图的方格纸中，的顶点坐标分别为、，与是关于点为位似中心的位似图形（1）在图中标出位似中心的位置，并写出点及点的对应点的坐标；（2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的相似比为并写
17、出点的对应点的坐标；（3） 内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标；（4）判断能否看作是由经过某种变换后得到的图形，若是，请指出是怎样变换得到的（直接写答案）【分析】（1）连接各对应点的连线的交点即为位似中心，然后根据图形直接写出点的对应点的坐标；（2）根据位似变换的知识，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可，写出点的对应点的坐标；（3）结合图形，由位似变化的性质，即可求得：点在中的对应点的坐标；（4）根据点的坐标的变化求解即可【解答】解：（1）点位置如图，点及点的对应点的坐标分别为：，； （2）如下图所示，的坐标为：；（3）的坐标为：；（4）是由经过平移变换后得到的图形；【点评】
18、此题考查了位似变换的性质，还考查了学生的动手能力，题目比较简单，注意数形结合思想的应用18（8分）如图，、四点均在边长为1的小正方形网格格点上（1）判断与是否相似，并说明理由；（2）求的度数【分析】（1）与相似，利用勾股定理计算出的长，利用由两边的比值和一个夹角相等的两个三角形相似可证明结论成立；（2）由（1）可知：，因为易求，问题得解【解答】解：（1）与相似，理由如下：，；（2），【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了相似三角形的证明和相似三角形对应边比值相等的性质，本题中分别求，三边长是解题的关键19（9分）已知关于的方程小明同学说：无论取何实数，方程总有实数根，你认为他说
19、的有道理吗？若等腰三角形的一边，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长和面积【分析】（1）计算方程的根的判别式即可说明其根的情况；（2）已知，则可能是底，也可能是腰，分两种情况求得，的值后，再求出的周长注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验【解答】解：（1），方程无论取何值，总有实数根，小明同学的说法合理；（2）当时，则，即，方程可化为，而，；当，或，另两边、恰好是这个方程的两个根，不满足三角形三边的关系，舍去；综上所述，的周长为5【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，两根互为相反数应根据根与系数的关系做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况
20、的取舍20（8分）如图所示，一幢楼房背后有一台阶，台阶每层高0.2米，且米，设太阳光线与水平地面的夹角为，当时，测得楼房在地面上的影长米，现有一只小猫睡在台阶的这层上晒太阳取（1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由【分析】（1）在中，由，即可求出米；（2）假设没有台阶，当时，从点射下的光线与地面的交点为点，与的交点为点由，可得米，那么米，米，所以大楼的影子落在台阶这个侧面上，故小猫仍可以晒到太阳【解答】解：（1）当时，在中，米即楼房的高度约为17.3米；（2）当时，小猫仍可以晒到太阳理由如下：假设没有台阶，当时，从点射下的光线与地面的交点为点，与的
21、交点为点，此时的影长米，米，米，大楼的影子落在台阶这个侧面上，小猫仍可以晒到太阳【点评】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键21（8分）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元（1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；（2）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则
22、最多可购买电脑多少台？【分析】（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为，根据2015年及2017年投入的基础教育经费金额，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据年平均增长率求出2018年基础教育经费投入的金额，再根据总价单价数量，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，取其中的最大值即可【解答】解：（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为，根据题意得：，解得：，（舍去）答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为（2）2018年投入基础教育经费为（万元），设购买电脑台，则购买实物投影仪台，根据题意得：，解得：答：2018年最多可购买
23、电脑880台【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据2015年及2017年投入的基础教育经费金额，列出关于的一元二次方程；（2）根据总价单价数量，列出关于的一元一次不等式22（10分）如图，在四边形中，点在边上，当 时，可知（不要求证明）（1）探究：如图，在四边形中，点在边上，当时，求证：（2）拓展：如图，在中，点是边的中点，点、分别在边、上若，则的长为【分析】先判断出，进而得出结论；（1）探究：通过相似三角形的对应边成比例来证得；（2）拓展：利用相似三角形得出比例式求出，三角形内角和定理证得且；然后在直角中由勾股定理求得；最后利用在直角中利用勾股
24、定理来求的长度【解答】解：，（1）探究：，（2）拓展：同探究的方法得出，点是边的中点，即且，在中，故答案是：【点评】此题是相似综合题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角定理解本题的关键是判断出23（11分）如图，在直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于、两点，、的长是关于的一元二次方程的两个实数根，且，以为一边作如图所示的正方形，交于点（1）求直线的解析式；（2）在轴上是否存在一点，使以、为顶点的三角形与相似？若存在，求点坐标；否则，说明理由；（3）设是平面内一动点，在轴上是否存在点，使得以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；否则，请说明理由【
25、分析】（1）由方程可求得和的长，则可求得、的坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式；（2）可设，则可表示出的长，分和两种情况，利用相似三角形的性质可分别得到关于的方程，则可求得的值，可求得点坐标；（3）当为菱形的边时，则有，可求得点坐标；当为对角线时，由图形可求得点坐标【解答】解：（1）解方程可得或，、的长是关于的一元二次方程的两个实数根，且，设直线解析式为，解得，直线解析式为；（2）四边形为正方形，在中，令，可得，设，则，以、为顶点的三角形与相似，有和两种情况，当时，则有，即，解得或，此时点坐标为或；当时，则有，即，解得或，此时点坐标为或；综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或；（3）由题意可设，当为菱形的一边时，则有，即，解得，此时点坐标为或；当为菱形的对角线时，则有，此时点坐标为或综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及一元二次方程、待定系数法、正方形的性质、相似三角形的性质、菱形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中求得、的坐标是解题的关键，在（2）中利用相似三角形的性质得到关于点坐标的方程是解题的关键，注意分两种情况，在（3）中确定出点的位置是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中
