1、2019-2020学年山东省济南市章丘区九年级（上）期中数学试卷一、单选题第I卷（选择题）1（3分）如图所示某几何体的三视图，则这个几何体是A三棱锥B圆柱C球D圆锥2（3分）下列方程一定是一元二次方程的是ABCD3（3分）两个人的影子在两个相反的方向，这说明A他们站在阳光下B他们站在路灯下C他们站在路灯的两侧D他们站在月光下4（3分）若，则的值为A5BCD5（3分）若是方程的一个根，则的值是A1BCD6（3分）如图，下列四个三角形中，与相似的是ABCD7（3分）用配方法解下列方程时，配方错误的是A化为B化为C化为D化为8（3分）在同一直角坐标平面内，如果与没有交点，那么和的关系一定是A，B，C
2、、同号D、异号9（3分）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为米，则可列方程为ABCD10（3分）如图，中，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、为顶点的三角形与相似时，的值为A2B2.5或3.5C2或3.5D2或2.511（3分）如图，在中，中线，相交于点，连接，下列结论：；其中正确的个数有A1个B2个C3个D4个12（3分）如图，在轴正半轴上依次截取为正整数），过点、分别作轴的垂线，与反比例函数交于点、，连接、，过点、分别向、作垂
3、线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是ABCD二、填空题13（3分）方程的根是 14（3分）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色兵乓球和若干个白色兵乓球，从盒子里随机摸出一个兵乓球，摸到黄色兵乓球的概率为，那么盒子内白色兵乓球的个数为15（3分）如图，在中，为的中点，的延长线交于点，则 16（3分）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为 17（3分）如图，中，两个顶点在轴的上方，点的坐标是以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把放大到原来的2倍设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是 18（3分）如图，已知点是一次函数图象上一点，过点作轴的垂线，是
4、上一点在上方），在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点，若的面积为6，则的面积是三、解答题19解方程：（1）；（2）（用配方法解）20如图，是的高求证：21已知关于的一元二次方程（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求的值22已知，如图在中，点由点出发沿方向向终点点匀速移动，速度为，点由点出发沿方向向终点点匀速移动，速度为如果动点，同时从，出发，当或到达终点时运动停止几秒后，以，为顶点的三角形与相似？23某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000，（1）若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求
5、每次降价的百分率；（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？24如图所示，网格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的是格点三角形在建立平面直角坐标系后，点的坐标为（1）把向下平移5格后得到，写出点，的坐标，并画出；（2）把绕点按顺时针方向旋转后得到，写出点，的坐标，并画出；（3）把以点为位似中心放大得到，使放大前后对应线段的比为，写出点，的坐标，并画出25某中学为了解学生对新闻、 体育、
6、 娱乐、 动画四类电视节目的喜爱情况， 进行了统计调查 随机调查了某班所有同学最喜欢的节目 （每 名学生必选且只能选择四类节目中的一类） 并将调查结果绘成如下不完整的统计图 根据两图提供的信息， 回答下列问题：（1） 最喜欢娱乐类节目的有人， 图中；（2） 请补全条形统计图；（3） 根据抽样调查结果， 若该校有 1800 名学生， 请你估计该校有多少名学生最喜欢娱乐类节目；（4） 在全班同学中， 有甲、 乙、 丙、 丁等同学最喜欢体育类节目， 班主任打算从甲、 乙、 丙、 丁 4 名同学中选取 2 人参加学校组织的体育知识竞赛， 请用列表法或树状图求同时选中甲、 乙两同学的概率 26【提出问题
7、】（1）如图1，在等边中，点是上的任意一点（不含端点、，连结，以为边作等边，连结求证：【类比探究】（2）如图2，在等边中，点是延长线上的任意一点（不含端点，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由【拓展延伸】（3）如图3，在等腰中，点是上的任意一点（不含端点、，连结，以为边作等腰，使顶角连结试探究与的数量关系，并说明理由27如图1，已知直线分别与双曲线、交于、两点，且（1）求的值（2）如图2，若点是双曲线上的动点，轴，轴，分别交双曲线于点、，连接请你探索在点运动过程中，的面积是否变化？若不变，请求出的面积；若改变，请说明理由；（3）如图3，若点是直线上的一点，请你进一步探索在点运动过程中
8、，以点、为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时点的坐标；若不能，请说明理由2019-2020学年山东省济南市章丘区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题第I卷（选择题）1（3分）如图所示某几何体的三视图，则这个几何体是A三棱锥B圆柱C球D圆锥【分析】根据一个空间几何体的主视图和俯视图都是三角形，可判断该几何体是锥体，再根据左视图的形状，即可得出答案【解答】解：几何体的主视图和俯视图都是三角形，该几何体是一个锥体，俯视图是一个圆，该几何体是一个圆锥；故选：【点评】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三
9、个视图的形状决定2（3分）下列方程一定是一元二次方程的是ABCD【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案【解答】解：、，时不是一元二次方程，故选项不合题意；、不是一元二次方程，故选项不合题意；、化简为，是一元一次方程，故选项不合题意；、是一元二次方程，故选项符合题意；故选：【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是23（3分）两个人的影子在两个相反的方向，这说明A他们站在阳光
10、下B他们站在路灯下C他们站在路灯的两侧D他们站在月光下【分析】本题考查中心投影的特点【解答】解：根据两个人的影子在两个相反的方向，则一定是中心投影；且两人同在光源两侧故选【点评】本题考查中心投影的特点：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短4（3分）若，则的值为A5BCD【分析】设，则，然后代入求值即可【解答】解：设，则，故选：【点评】本题考查了比例的性质，正确理解比例的性质是解题的关键5（3分）若是方程的一个根，则的值是A1BCD
11、【分析】把代入方程就得到关于的方程，就可以解得的值【解答】解：把代入方程，得，解得；故选：【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根6（3分）如图，下列四个三角形中，与相似的是ABCD【分析】是等腰三角形，底角是，则顶角是，结合各选项是否符合相似的条件即可【解答】解：由图可知，、三角形各角的度数分别为，、三角形各角的度数都是，、三角形各角的度数分别为，、三角形各角的度数分别为，只有选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
12、故选：【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握，此题难度不大，但综合性较强7（3分）用配方法解下列方程时，配方错误的是A化为B化为C化为D化为【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方分别进行配方，即可求出答案【解答】解：、由原方程，得，等式的两边同时加上一次项系数2的一半的平方1，得；故本选项正确；、由原方程，得，等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得，故本选项正确；、由原方程，得，等式的两边同时加上一次项系数8的一半的平方16，得；故本选项错误；、由原方
13、程，得，化二次项系数为1，得等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得；故本选项正确故选：【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数8（3分）在同一直角坐标平面内，如果与没有交点，那么和的关系一定是A，B，C、同号D、异号【分析】如果直线与双曲线没有交点，则无解，即【解答】解：直线与双曲线没有交点，无解，无解，即和异号故选：【点评】本题综合考查反比例函数与方程组的相关知识点，以及不等式的有关内容9（3分）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩
14、余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为米，则可列方程为ABCD【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程【解答】解：设道路的宽应为米，由题意有，故选：【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键10（3分）如图，中，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、为顶点的三角形与相似时，的值为A2B2.5或3.5C2或3.5D2或2.5【分析】求出，分两种情况：当时，得出，即可得出；
15、当时，证出，得出，因此，得出，；即可得出结果【解答】解：，分两种情况：当时，为的中点，为的中点，；当时，；综上所述：当以、为顶点的三角形与相似时，的值为2或3.5；故选：【点评】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键，注意分类讨论11（3分）如图，在中，中线，相交于点，连接，下列结论：；其中正确的个数有A1个B2个C3个D4个【分析】是的中位线，根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断；利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可判定；利用相似三角形的性质可判断；利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可判定【解答】解：、
16、是的中线，即、是和的中点，是的中位线，即，故正确；是的中位线，故错误；，故正确；的中线与交于点点是的重心，根据重心性质，的高的高，且与同底，由和知，故正确综上，正确故选：【点评】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，要熟知：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长度的一半；相似三角形面积的比等于相似比的平方12（3分）如图，在轴正半轴上依次截取为正整数），过点、分别作轴的垂线，与反比例函数交于点、，连接、，过点、分别向、作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是ABCD【分析】由可知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为点的坐标为，把，代入反比例函数的解析式即可求出
17、、的值，再由三角形的面积公式可得出、的值，故可得出结论【解答】解：（1）设，设，在反比例函数的图象上，；（3）；，故选：【点评】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键二、填空题13（3分）方程的根是，【分析】利用提取公因式法，将原式因式分解为，求出即可【解答】解：，或，；故答案为：，【点评】此题主要考查了因式分解法解方程，熟练利用因式分解法将原式分解为是解题关键14（3分）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色兵乓球和若干个白色兵乓球，从盒子里随机摸出一个兵乓球，摸到黄色兵乓球的概率为，那么盒子内白色兵乓球的个数为4【分
18、析】先求出盒子内乒乓球的总个数为，然后用总个数减去黄球个数得到据摸到白色乒乓球的个数【解答】解：盒子内乒乓球的个数为（个，白色兵乓球的个数（个故答案为4【点评】此题主要考查了概率公式，关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数：所有可能出现的结果数15（3分）如图，在中，为的中点，的延长线交于点，则【分析】根据题意作辅助线，根据已知条件可证明，所以，根据比例关系得知，最后根据三角形平行线段成比例关系即可得出答案【解答】解：在上取点，使，为的中点，又，根据比例关系可知：，故答案为【点评】本题主要考查了全等三角形的证明及性质、平行线分线段成比例关系，难度适中16（3分）一个几何体的三视图如
19、图所示，这个几何体的侧面积为【分析】俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥，那么侧面积底面周长母线长【解答】解：此几何体为圆锥；直径为，母线长为，侧面积故答案为【点评】本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的有关计算，由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键；本题体现了数形结合的数学思想，熟记圆锥的侧面积公式是解题的关键17（3分）如图，中，两个顶点在轴的上方，点的坐标是以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把放大到原来的2倍设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是【分析】设点的横坐标为，然后表示出、的横坐标的距离，再根据位似比列式计算
20、即可得解【解答】解：设点的横坐标为，则、间的横坐标的长度为，、间的横坐标的长度为，放大到原来的2倍得到，解得故答案为：【点评】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键18（3分）如图，已知点是一次函数图象上一点，过点作轴的垂线，是上一点在上方），在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点，若的面积为6，则的面积是3【分析】本题介绍两种解法：解法一：设、，根据反比例函数关于对称可得，得：，则，则发现和两个三角形是同底边，根据高的倍数可得：，可得结论；解法二：作辅助线，构建直角三角形，设，根据直角三角形斜边中线是
21、斜边一半得：，设，则，因为、都在反比例函数的图象上，列方程可得结论【解答】解：解法一：设、，是等腰直角三角形，且轴，直线与轴夹角为45度角，所以根据双曲线的对称性可得，过作垂直于，交轴于，是等腰直角三角形，则，则，的面积为6，；解法二：如图，过作轴于，交于，轴，是等腰直角三角形，设，则，设，则，在反比例函数的图象上，故答案为：3【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键三、解答题19解方程：（1）；（2）（用配方法解）【分析】（1）因式分解法求解可得；（2）配方法求解可得【解答】解：（1），即，或，解得
22、：或；（2），即，【点评】本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法20如图，是的高求证：【分析】根据有两个角相等的三角形是相似三角形，判定，再根据相似三角形的性质得出比例式，再将比例式写成乘积形式即可得证【解答】解：，是的高又即【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，明确相似三角形的判定方法及其性质，是解题的关键21已知关于的一元二次方程（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求的值【分析】（1）表示出一元二次方程根的判别式，利用配方化成完全平方式，可判定其不小
23、于0，可得出结论；（2）可先用求根公式表示出两根，再根据方程的根都是整数，可求得的值【解答】（1）证明：，该方程总有两个实数根；（2）解：，当为整数1或时，为整数，即该方程的两个实数根都是整数，的值为1或【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的情况是解题的关键，即方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程无实数根22已知，如图在中，点由点出发沿方向向终点点匀速移动，速度为，点由点出发沿方向向终点点匀速移动，速度为如果动点，同时从，出发，当或到达终点时运动停止几秒后，以，为顶点的三角形与相似？【分析】设秒后，以，为顶点的三角形与相似；则
24、，分两种情况：当时；当时；分别解方程即可得出结果【解答】解：设秒后，以，为顶点的三角形与相似；则，分两种情况：当时，即，解得：；当时，即，解得：；综上所述：2.4秒或秒时，以，为顶点的三角形与相似【点评】本题考查了相似三角形的判定方法、解方程；熟练掌握相似三角形的判定方法，分两种情况进行讨论是解决问题的关键23某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000，（1）若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销
25、售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？【分析】（1）设每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率），则第一次降价后的价格是元，第二次后的价格是元，据此即可列方程求解；（2）假设下调个50元，销售利润一台冰箱的利润销售冰箱数量，一台冰箱的利润售价进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利销售的件数元，即可列方程求解【解答】解：（1）设每次降价的百分率为，依题意得：，解得，（不合题意，舍去）答：每次降价的百分率是；（2）假设下调个50元，依题意得：解得所以下调150元，因此定价为2750元【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次
26、不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件24如图所示，网格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的是格点三角形在建立平面直角坐标系后，点的坐标为（1）把向下平移5格后得到，写出点，的坐标，并画出；（2）把绕点按顺时针方向旋转后得到，写出点，的坐标，并画出；（3）把以点为位似中心放大得到，使放大前后对应线段的比为，写出点，的坐标，并画出【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案【解答】解：（1）如图所示
27、，即为所求：点，的坐标分别为，（2）如图所示即为所求：点，的坐标分别为，；（3）如图所示即为所求：点，的坐标分别为，或，【点评】此题主要考查了平移变换以及位似变换，正确得出对应点位置是解题关键25某中学为了解学生对新闻、 体育、 娱乐、 动画四类电视节目的喜爱情况， 进行了统计调查 随机调查了某班所有同学最喜欢的节目 （每 名学生必选且只能选择四类节目中的一类） 并将调查结果绘成如下不完整的统计图 根据两图提供的信息， 回答下列问题：（1） 最喜欢娱乐类节目的有 20 人， 图中；（2） 请补全条形统计图；（3） 根据抽样调查结果， 若该校有 1800 名学生， 请你估计该校有多少名学生最喜欢
28、娱乐类节目；（4） 在全班同学中， 有甲、 乙、 丙、 丁等同学最喜欢体育类节目， 班主任打算从甲、 乙、 丙、 丁 4 名同学中选取 2 人参加学校组织的体育知识竞赛， 请用列表法或树状图求同时选中甲、 乙两同学的概率 【分析】（1） 先根据“新闻”类人数及其所占百分比求得总人数， 再用总人数减去其他三个类型人数即可求得“娱乐”类人数， 用“动画”类人数除以总人数可得的值；（2） 根据 （1） 中所求结果即可补全条形图；（3） 总人数乘以样本中“娱乐”类节目人数所占比例；（4） 首先根据题意画出树状图， 然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中甲、 乙两位同学的情况， 然后利用概率公式
29、求解即可求得答案 【解答】解： （1）被调查的总人数为人，最喜欢娱乐类节目的有，即，故答案为： 20 、 18 ；（2） 补全条形图如下：（3） 估计该校最喜欢娱乐类节目的学生有人；（4） 画树状图得：共有 12 种等可能的结果， 恰好同时选中甲、 乙两位同学的有 2 种情况，恰好同时选中甲、 乙两位同学的概率为【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识 列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果， 列表法适合于两步完成的事件， 树状图法适合两步或两步以上完成的事件 用到的知识点为： 概率所求情况数与总情况数之比 26【提出问题】（1）如图1，在
30、等边中，点是上的任意一点（不含端点、，连结，以为边作等边，连结求证：【类比探究】（2）如图2，在等边中，点是延长线上的任意一点（不含端点，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由【拓展延伸】（3）如图3，在等腰中，点是上的任意一点（不含端点、，连结，以为边作等腰，使顶角连结试探究与的数量关系，并说明理由【分析】（1）利用可证明，继而得出结论；（2）也可以通过证明，得出结论，和（1）的思路完全一样（3）首先得出，从而判定，得到，根据，得到，从而判定，得出结论【解答】（1）证明：、是等边三角形，在和中，（2）解：结论仍成立；理由如下：、是等边三角形，在和中，（3）解：；理由如下：，顶角，底角
31、，又，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论27如图1，已知直线分别与双曲线、交于、两点，且（1）求的值（2）如图2，若点是双曲线上的动点，轴，轴，分别交双曲线于点、，连接请你探索在点运动过程中，的面积是否变化？若不变，请求出的面积；若改变，请说明理由；（3）如图3，若点是直线上的一点，请你进一步探索在点运动过程中，以点、为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时点的坐标；若不能，请说明理由【分析】（1）先求出点的坐标，再从条件出发，构造相似三角形，求出点的坐标，就可求出的值（2
32、）设点的坐标为，易得，结合条件可用的代数式表示点、点的坐标，进而表示出线段、的长，就可算出的面积是一个定值（3）以点、为顶点的四边形为平行四边形可分成两类：为平行四边形的一边，为平行四边形的对角线；然后利用平行四边形的性质建立关于的方程，即可求出的值，从而求出点的坐标【解答】解：（1）过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，如图1，联立，解得：或，点的坐标为，轴，轴，点的坐标为，点在双曲线上，的值为；（2）如图2，设点的坐标为，点在双曲线上，轴，轴，点、在双曲线上，点的坐标为，点的坐标为，在点运动过程中，的面积不变，始终等于；（3）为平行四边形的一边，当点在点的右边时，如图3，四边形是平行四边形，解得：经检验：是该方程的解，点的坐标为，；当点在点的左边且点在点的右边时，如图4，四边形是平行四边形，解得：经检验：是该方程的解，点的坐标为，为平行四边形的对角线，此时点、点都在点的左边，如图5，四边形是平行四边形，解得：经检验：是该方程的解，点的坐标为，综上所述：当点、为顶点的四边形为平行四边形时，此时点的坐标为，或或，【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点、用待定系数法求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、解分式方程等知识，还考查了分类讨论的思想，有一定的综合性
