1、2019-2020学年河南省南阳市内乡县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分，请将正确答案填到下列方框中）1（3分）下列选项中，使根式有意义的的取值范围为的是ABCD2（3分）若，则锐角的度数是ABCD3（3分）在化简时，甲、乙、丙三位同学化简的方法分別是甲：原式；乙：原式；丙：原式，其中解答正确的是A甲B乙C丙D都正确4（3分）用配方法解方程时，应将其变形为ABCD5（3分）如图，已知，则下列表达式正确的是ABCD6（3分）如图，小东设计两个直角，来测量河宽，他量得，则河宽为ABCD7（3分）如图，、的坐标分别为、若将线段平移至，、的坐标分別、，则的值为A2B3C4D58
2、（3分）如果代数式的值等于7，则代数式的值为A5B6C7D89（3分）宾馆有50间房供游客居住，当毎间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房每天支出20元的费用当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为元则有ABCD10（3分）如图，四边形中，点，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别为，的中点，则长度的最大值为A3B4C4.5D5二、填空题（每小题3分，共15分）11（3分）写出一个与不相等且是同类二次根式的根式12（3分）计算：13（3分）计算 14（3分）如图，、为矩形的
3、四个顶点，动点，分别从点、同时出发，点以的速度向移动，一直到达为止；点以的速度向移动当、两点从出发开始到秒时，点和点的距离是15（3分）如图，是等腰三角形，过的中点作，垂足为，连结，则的值为三、解答题（共75分）16（8分）在中，若，求和的值17（8分）已知是方程的一个根，求方程的另一个根及的值18（9分）小颖、小明、小亮在解方程时，解法各不相同，请你回答下列问题：（1）简要分析一下三位同学的解法是否正确如果正确，他运用了哪种解一元二次方程的方法；如果错误，错误的原因是什么？你是否从中体会到解一元二次方程的数学思想是什么？（2）请你选择一种你熟练的方法尝试解一元二次方程 由方程，得因此，所以这
4、个数是0或3方程两边同时约去，得：所以这个数是3由方程，得即于是，或因此，所以这个数是0或319（9分）如图，大楼高，远处有一塔，某人在楼底处测得塔顶的仰角为，在楼顶处测得塔顶的仰角为，求塔高的高及大楼与塔之间的距离的长（参考数据：，20（9分）如图，在中，动点从点开始沿边运动，速度为；动点从点开始沿边运动，速度为；如果、两动点同时运动，那么何时与相似？21（10分）如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知折痕，且（1）与有什么关系？试证明你的结论（2）求矩形的周长22（10分）一个小风筝与一个大风等形状完全相同，它们的形状如图所示，其中对角线已知它们的对应边之比为，小风筝两条对角线的长分
5、別为和（1）小风筝的面积是多少？（2）如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需用多长的材料？（不记损耗）（3）大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？23（12分）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点，重合）过点分別作和的垂线，垂足为，（1）关于矩形面积的探究：点在何处时，矩形的面积为1？写出计算过程是否存在一点，能使矩形的面积为？说说你的理由（2）设点的坐标是，图中阴影部分的面积为，学试完成下列问题：建立与的关系式，并类比一次函数猜想是的什
6、么函数，能否对此类函数下一个描述性的定义，其中包含它的一般形式；我们知道代数式有最小值9，试问当在何处时有最小值，请把你的理由参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分，请将正确答案填到下列方框中）1（3分）下列选项中，使根式有意义的的取值范围为的是ABCD【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，同时应考虑分母中若有字母，字母的取值不能使分母为零，即可求解【解答】解：、当时，根式有意义、当时，根式有意义、取任何值根式都有意义、要使根式有意义，则，且分母不为零，故，故选：【点评】判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被
7、开方数为非负数易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母的不等于0混淆2（3分）若，则锐角的度数是ABCD【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可【解答】解：，而，故选：【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主【相关链接】特殊角三角函数值：，；，；，3（3分）在化简时，甲、乙、丙三位同学化简的方法分別是甲：原式；乙：原式；丙：原式，其中解答正确的是A甲B乙C丙D都正确【分析】直接利用二次根式的性质分别判断得出答案【解答】解：甲：原式，正确；乙：原式，正确；丙：原式，正确故选：【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是
8、解题关键4（3分）用配方法解方程时，应将其变形为ABCD【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式【解答】解：，故选：【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数5（3分）如图，已知，则下列表达式正确的是ABCD【分析】证明，根据相似三角形的性质列出比例式，判断即可【解答】解：，即，选项错误；，选项错误；，选项正确；，选项错误
9、；故选：【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键6（3分）如图，小东设计两个直角，来测量河宽，他量得，则河宽为ABCD【分析】根据相似三角形对应线段成比例，解题即可【解答】解：根据题意，又，【点评】此题主要考查相似三角形对应线段成比例7（3分）如图，、的坐标分别为、若将线段平移至，、的坐标分別、，则的值为A2B3C4D5【分析】观察图形可知将线段向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到线段【解答】解：观察图形可知将线段向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到线段，故选：【点评】本题考查平移变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知
10、识解决问题，属于中考常考题型8（3分）如果代数式的值等于7，则代数式的值为A5B6C7D8【分析】应将代数式化为：，由于代数式的值等于7，那么，将其代入代数式并求出代数式的值【解答】解：代数式的值等于7，故选：【点评】本题考查代数式的求值，关键在于找出代数式与已知条件的关系，根据已知条件求出代数式中的未知项，代入求解9（3分）宾馆有50间房供游客居住，当毎间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房每天支出20元的费用当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为元则有ABCD【分析】设房价定为元，根据
11、利润房价的净利润入住的房间数可得【解答】解：设房价定为元，根据题意，得故选：【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系10（3分）如图，四边形中，点，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别为，的中点，则长度的最大值为A3B4C4.5D5【分析】根据三角形中位线定理可知，求出的最大值即可【解答】解：如图，连结，当点与点重合时，的值最大即最大，在中，的最大值故选【点评】本题考查三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是中位线定理的灵活应用，学会转化的思想，属于中考常考题型二、填空题（每小题3分，共15分）11（3分）写出一个与不
12、相等且是同类二次根式的根式【分析】根据同类二次根式的被开方数相同可得出答案【解答】解：因为，所以与不相等且是同类二次根式的根式如、等，故答案为：【点评】本题考查同类二次根式的知识，属于基础题，注意解答本题的关键是将原根式化为最简二次根式，掌握同类二次根式的被开方数相同12（3分）计算：3【分析】直接化简二次根式进而利用二次根式的混合运算法则得出答案【解答】解：原式故答案为：3【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键13（3分）计算【分析】分别把，代入原式计算【解答】解：原式【点评】考查了特殊角的三角函数值的计算，熟记特殊值是关键14（3分）如图，、为矩形的四个顶点，
13、动点，分别从点、同时出发，点以的速度向移动，一直到达为止；点以的速度向移动当、两点从出发开始到2或秒时，点和点的距离是【分析】设当、两点从出发开始到秒时，点和点的距离是，此时，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论【解答】解：设当、两点从出发开始到秒时，点和点的距离是，此时，根据题意得：，解得：，答：当、两点从出发开始到2秒或秒时，点和点的距离是故答案为：2或【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于的一元二次方程是解题的关键15（3分）如图，是等腰三角形，过的中点作，垂足为，连结，则的值为3【分析】先利用等腰三角形的性质得到，再判断和都是等腰直角
14、三角形，设，则，则用可表示出，从而得到，然后在中利用正切的定义求解【解答】解：作于，如图，是等腰三角形，和都是等腰直角三角形，设，则，点为的中点，在中，故答案为3【点评】本题考查了解直角三角形：灵活运用锐角三角形的定义和勾股定理解直角三角形也考查了等腰直角三角形的性质三、解答题（共75分）16（8分）在中，若，求和的值【分析】在中，根据求出，根据勾股定理求出即可【解答】解：如图，在中，则，【点评】本题考查了勾股定理和特殊角的三角函数值，能灵活运用锐角三角形函数的定义进行计算是解此题的关键17（8分）已知是方程的一个根，求方程的另一个根及的值【分析】把代入方程就得到关于的方程，就可以解得的值，进
15、而求出方程式和它的解【解答】解：把代入方程，得，解得；所以原方程是，解得方程的解是；另一解是【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义18（9分）小颖、小明、小亮在解方程时，解法各不相同，请你回答下列问题：（1）简要分析一下三位同学的解法是否正确如果正确，他运用了哪种解一元二次方程的方法；如果错误，错误的原因是什么？你是否从中体会到解一元二次方程的数学思想是什么？（2）请你选择一种你熟练的方法尝试解一元二次方程 由方程，得因此，所以这个数是0或3方程两边同时约去，得：所以这个数是3由方程，得即于是，或因此，所以这个数是0或3【分析】（1）利用解方程的几种方法对三个同学的解法进行判断；
16、解一元二次方程就是把一元二次方程转化为一元二次方程；（2）利用因式分解法解方程【解答】解：（1）小颖和小明的解法正确；小亮的解法错误小颖运用了公式法、小明运用了因式分解法小亮的错误是方程两边约去，不符合等式的性质3；解一元二次方程的数学思想是转化的思想（2），或，所以，【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法也考查了公式法19（9分）如图，大楼高，远处有一塔，某人在楼底处测得塔顶的仰角为，在楼顶处测得塔顶的仰角为，求塔高的高及大楼与塔之间的距离的长（参考数据：，【分析】过点作于点，由题意可知：，米，
17、设大楼与塔之间的距离的长为米，则，分别在中和中，用表示出和，利用得到有关的方程求得的值即可【解答】解：过点作于点，由题意可知：，米，设大楼与塔之间的距离的长为米，则，在中， ，在中， ，即（米，（米，答：塔高是32米，大楼与塔之间的距离的长为40米【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质进行解答20（9分）如图，在中，动点从点开始沿边运动，速度为；动点从点开始沿边运动，速度为；如果、两动点同时运动，那么何时与相似？【分析】设经过秒时，以与相似，则，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，
18、即；当时，即，然后方程解方程即可【解答】解：设经过秒时，以与相似，则，当时，即，解得；当时，即，解得；即经过2秒或0.8秒时，与相似【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键21（10分）如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知折痕，且（1）与有什么关系？试证明你的结论（2）求矩形的周长【分析】（1）由矩形的性质与折叠的性质，易证得，继而证得；（2）设，继而求得，则可求得的值，继而求得答案【解答】解：（1）证明：四边形是矩形，由折叠的性质可得：，；（2），在中，设，由折叠的性质可得：，矩形的周
19、长为：【点评】此题考查了矩形的性质、勾股定理以及折叠的性质此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用22（10分）一个小风筝与一个大风等形状完全相同，它们的形状如图所示，其中对角线已知它们的对应边之比为，小风筝两条对角线的长分別为和（1）小风筝的面积是多少？（2）如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需用多长的材料？（不记损耗）（3）大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？【分析】（1）根据三角形的面积公式列式计算即可；（2）根据相似三角
20、形的性质得到，同理，于是得到结论；（3）根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论【解答】解：（1），小风筝的面积；（2）小风筝与大风筝形状完全相同，假设大风筝的四个顶点为，它们的对应边之比为，同理，至少需用的材料；（3）从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积矩形的面积大风筝的面积【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键23（12分）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点，重合）过点分別作和的垂线，垂足为，（1）关于矩形面积的探究：点在何处时，矩形的面积为1？写出计算过程是否存在一点，能使矩形的面积为？说说你的理由（2）设点的坐标是，图中阴影部分
21、的面积为，学试完成下列问题：建立与的关系式，并类比一次函数猜想是的什么函数，能否对此类函数下一个描述性的定义，其中包含它的一般形式；我们知道代数式有最小值9，试问当在何处时有最小值，请把你的理由【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论；由题意得到，整理得到，由于，此方程无实数根，于是得到不存在一点，能使矩形的面积为；（2）解方程得到，根据三角形和矩形的面积公式得到，根据二次函数的特征即可得到结论；把二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质得到结论【解答】解：（1）点在线段上，设，由题意得，解得：，或，综上所述，当或，时，矩形的面积为1；由题意得，整理得，此方程无实数根，不存在一点，能使矩形的面积为；（2）一次函数的图象交轴于点，交轴于点，它是二次函数，类比得到一般的，若两个变量，的对应关系可以表示，是常数，的形式，则称是的二次函数；，当时，有最小值，当，时，有最小值【点评】本题考查了一次函数的综合，一元二次方程根的判别式，图形的面积，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键
