1、2019-2020学年山西省吕梁市交城县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1（3分）抛物线的顶点坐标是ABCD2（3分）下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是ABCD3（3分）方程的解是AB，CD，4（3分）与在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点成中心对称，其中点，则点的坐标是ABCD5（3分）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为ABCD6（3分）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是ABCD或7（3分）如图，是的直径，直线与相切于点，交于点，连接若，则的度数是ABCD8（3分）某商品的进价为每件40元
2、，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元若设店主把该商品每件售价降低元，则可列方程为ABCD9（3分）在等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，有下列结论：；是等边三角形；的周长是9其中，正确结论的个数是A1B2C3D410（3分）二次函数的图象如图所示，分析下列四个结论：；其中正确的结论有A1个B2个C3个D4个二、填空题（每小题3分，共15分）11（3分）若将二次函数配方为的形式，则 12（3分）关于的方程有实数根，则的取值范围是 13（3分）如图1，一个扇形纸片的圆心角为，半
3、径为6如图2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（答案用根号表示）14（3分）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，续旋转2018次得到正方形，那么点的坐标是15（3分）已知二次函数自变量部分取值和对应函数值如表0123500若关于的一元二次方程在实数范围内有解，则实数最小值为三、解答题（共75分）16（10分）解下列方程（1）（2）17（9分）如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上（1）在图1中，画出一个与成中心对称的格点三角形；（2）在图2中，画出一个与成轴对称且与有公共边的格点三角形；（3）在图3中，画出绕着点按
4、顺时针方向旋转后的三角形18（6分）已知二次函数为常数）（1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点；（2）当取什么值时，该函数的图象与轴的交点在轴的上方？19（8分）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等设的长度为，矩形区域的面积为（1）求与之间的函数关系式，并注明自变量的取值范围；（2）为何值时，有最大值？最大值是多少？20（8分）如图，是的直径，点和点是上的两点，过点作的切线交延长线于点（1）若，求的度数；（2）若，求半径的长21（10分）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，
5、喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合如图所示，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度22（12分）实践与探究在平
6、面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，的对应点分别为，（1）如图，当点落在边上时，求点的坐标；（2）如图，当点落在线段上时，与交于点求证：；求点的坐标23（12分）如图，抛物线的图象经过坐标原点，且与的另一交点为，（1）求抛物线的解析式；（2）若直线与抛物线相交于点和点（点在第二象限），设点是点关于原点的对称点，连接，试判断的形状，并说明理由；（3）在问题（2）的基础上，探究：平面内是否存在点，使得以点，为顶点的四边形是菱形？若存在直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由2019-2020学年山西省吕梁市交城县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析
7、一、选择题（每小题3分，共30分）1（3分）抛物线的顶点坐标是ABCD【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标【解答】解：因为是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为故选：【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法2（3分）下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是ABCD【分析】根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出【解答】解：、此图形旋转后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项错误；、此图形旋转后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故选项错误；、此图形旋转后不能与
8、原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项错误；、此图形旋转后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故选项正确故选：【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键3（3分）方程的解是AB，CD，【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解【解答】解：或解得，故选：【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解决本题的关键是不要丢根4（3分）与在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点成中心对称，其中点，则点的坐标是ABCD【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出点的坐标即可【解答】解：与关于点成中心对称，点，点的坐标是：故
9、选：【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键5（3分）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为ABCD【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可【解答】解：将抛物线向左平移2个单位所得直线解析式为：；再向下平移3个单位为：，即故选：【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减6（3分）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是ABCD或【分析】根据函数图象写出直线以及上方部分的的取值范围即可【解答】解：由图象可知，时，故选：【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，
10、利用数形结合的思想求解是解题的关键7（3分）如图，是的直径，直线与相切于点，交于点，连接若，则的度数是ABCD【分析】根据切线的性质得，则，然后根据圆周角定理得到的度数【解答】解：直线与相切于点，故选：【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了圆周角定理8（3分）某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元若设店主把该商品每件售价降低元，则可列方程为ABCD【分析】利润售价进价，由每降价1元，每星期可多卖出8件，可知每件售价降低元，每星期可多卖出件，从而列出
11、方程即可【解答】解：原来售价为每件80元，进价为每件40元，利润为为每件40元，又每件售价降价元后，利润为每件元每降价1元，每星期可多卖出8件，所以每件售价降低元，每星期可多卖出件，现在的销量为根据题意得：，故选：【点评】本题考查了从实际问题中抽出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键9（3分）在等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，有下列结论：；是等边三角形；的周长是9其中，正确结论的个数是A1B2C3D4【分析】根据等边三角形的性质得，再利用旋转的性质得，则，于是根据平行线的判定可对进行判断；由绕点逆时针旋转，得到得到，则根据边三角形
12、的判定方法得到为等边三角形，于是可对进行判断；根据等边三角形的性质得，然后说明，则，于是可对进行判断；最后利用，和三角形周长定义可对进行判断【解答】解：为等边三角形，绕点逆时针旋转，得到，所以正确；绕点逆时针旋转，得到，为等边三角形，所以正确，在中，即，所以错误；，的周长，所以正确故选：【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了等边三角形的判定与性质10（3分）二次函数的图象如图所示，分析下列四个结论：；其中正确的结论有A1个B2个C3个D4个【分析】由抛物线的开口方向，抛物线与轴交点的位置、对称轴即可确定、
13、的符号，即得的符号；由抛物线与轴有两个交点判断即可；由，得到，所以；将代入抛物线解析式得到，再将代入抛物线解析式得到，两个不等式相乘，根据两数相乘异号得负的取符号法则及平方差公式变形后，得到，【解答】解：二次函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，与轴交于正半轴，结论错误；二次函数图象与轴有两个交点，结论正确；，结论错误；时，时，即，故正确综上所述，正确的结论有2个故选：【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定二、填空题（每小题3分，共15分）11（3分）若将二次函数配方为的形式，则【分析】利用配方法先提出二次项系数
14、，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式【解答】解：故本题答案为：【点评】，二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：，、为常数）；（2）顶点式：；（3）交点式（与轴）12（3分）关于的方程有实数根，则的取值范围是【分析】由于关于的方程有实数根，当时，方程为一元一次方程，此时一定有实数根；当时，方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，由此即可求出的取值范围【解答】解：关于的方程有实数根，当时，方程为一元一次方程，此时一定有实数根；当时，方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式，即，当，关于的方程有实数根故答案为【点评】本题考查了一元二
15、次方程根的判别式的应用此题要注意题干并没有说明方程一定是一元二次方程，因此要将所有的情况都考虑到13（3分）如图1，一个扇形纸片的圆心角为，半径为6如图2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（答案用根号表示）【分析】连接，利用折叠性质得由弧、线段和所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，根据勾股定理求出，从而得到，然后根据扇形面积公式，利用由弧、线段和所围成的图形的面积，进行计算即可【解答】解：连接，扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，由弧、线段和所围成的图形的面积，阴影部分的面积为，故答案为：【点评】本题考查的是扇形面积的计算折叠的性质，将
16、不规则图形面积转化为规则图形的面积、记住扇形面积的计算公式是解题的关键14（3分）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，续旋转2018次得到正方形，那么点的坐标是【分析】根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论【解答】解：四边形是正方形，且，连接，由勾股定理得：，由旋转得：，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到，发现是8次一循环，所以，点的坐标为，故答案为：【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中
17、心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法15（3分）已知二次函数自变量部分取值和对应函数值如表0123500若关于的一元二次方程在实数范围内有解，则实数最小值为【分析】根据图表求出函数开口方向，对称轴，再根据平移的规律得出，解得即可【解答】解：，的函数值都是，相等，二次函数的对称轴为直线，根据表格得，自变量时，函数值逐点减小，当时，达到最小，当时，函数值逐点增大，抛物线的开口向上，顶点为，若关于的一元二次方程在实数范围内有解，则二次函数与轴有交点，二次函数向上最大平移4个单位与轴有交点，解得，实数最小值为故答案为：【点评】本题考查了二次
18、函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，读懂图表信息，根据平移的性质得出二次函数和二次函数的关系是解题的关键三、解答题（共75分）16（10分）解下列方程（1）（2）【分析】（1）根据因式分解法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案【解答】解：（1），或，（2），【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型17（9分）如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上（1）在图1中，画出一个与成中心对称的格点三角形；（2）在图2中，画出一个与成轴对称且与有公共边的格点三角形；（3）在图3中，画出绕着点按顺时针方向旋转后的三角形【分析】（1）根据中心对称的
19、性质即可作出图形；（2）根据轴对称的性质即可作出图形；（3）根据旋转的性质即可求出图形【解答】解：（1）如图所示，为所求作（2）如图所示，为所求作（3）如图所示为所求作【点评】本题考查图形变换，解题的关键是正确理解图形变换的性质，本题属于基础题型18（6分）已知二次函数为常数）（1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点；（2）当取什么值时，该函数的图象与轴的交点在轴的上方？【分析】（1）代入求出的值，分和两种情况考虑方程解的情况，进而即可证出：不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与轴交点的纵坐标，令其大于0即可求出结论【解答】（1
20、）证明：当时，解得：，当，即时，方程有两个相等的实数根；当，即时，方程有两个不相等的实数根不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点；（2）解：当时，该函数的图象与轴交点的纵坐标为，当，即时，该函数的图象与轴的交点在轴的上方【点评】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）由方程有解证出该函数的图象与轴总有公共点；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与轴交点的纵坐标19（8分）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等设的长度为，
21、矩形区域的面积为（1）求与之间的函数关系式，并注明自变量的取值范围；（2）为何值时，有最大值？最大值是多少？【分析】（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形面积是矩形面积的2倍，可得出，设，则有，表示出与，进而表示出与的关系式，并求出的范围即可；（2）利用二次函数的性质求出的最大值，以及此时的值即可【解答】解：（1）三块矩形区域的面积相等，矩形面积是矩形面积的2倍，设，则，即，则；（2），且二次项系数为，当时，有最大值，最大值为300平方米【点评】此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键20（8分）如图，是的直径，点和点是上的两点，过点作的切线交延长线于点（1）
22、若，求的度数；（2）若，求半径的长【分析】（1）连接，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；（2）根据直角三角形的性质解答即可【解答】解：（1）连接，是的切线，是的半径，；（2），设的半径为，解得：，的半径为2【点评】此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质进行解答21（10分）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合如图所示，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷
23、水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点，求出值，此题得解；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的值，由此即可得出结论；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，代入点可求出值，再利用配方
24、法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论【解答】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，将代入，得：，解得：，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为（2）当时，有，解得：，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内（3）当时，设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，该函数图象过点，解得：，改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数
25、图象上点的坐标特征求出当时的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式22（12分）实践与探究在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，的对应点分别为，（1）如图，当点落在边上时，求点的坐标；（2）如图，当点落在线段上时，与交于点求证：；求点的坐标【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据旋转变换的性质得到，根据勾股定理求出，得到点的坐标；（2）根据旋转变换的性质得到，利用定理证明；根据全等三角形的性质得到，根据，得到，根据勾股定理求出，得到点的坐标【解答】解：（1），四边形是矩形，矩形是由矩形旋转得到的，在中，；（2）由旋转可知，在与中，
26、；，在与中，设，则，在中，解得，点的坐标为，【点评】本题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键23（12分）如图，抛物线的图象经过坐标原点，且与的另一交点为，（1）求抛物线的解析式；（2）若直线与抛物线相交于点和点（点在第二象限），设点是点关于原点的对称点，连接，试判断的形状，并说明理由；（3）在问题（2）的基础上，探究：平面内是否存在点，使得以点，为顶点的四边形是菱形？若存在直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先得出点、的坐标，利用对称
27、性求出点的坐标利用两点间的距离公式（勾股定理）可求出、的值，由三者相等即可得出为等边三角形；（3）根据等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在符合题意得点，设点的坐标为，分三种情况考虑：当为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点的坐标；当为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点的坐标；当为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点的坐标综上即可得出结论【解答】解：（1）抛物线的图象经过点和，解得：，抛物线的解析式为（2）是等边三角形由题意，得解得：，如图1，过点分别作轴，垂足分别为，在中，点与点关于原点对称，又，在中是等边三角形；（3）存在，理由如下：如图2，当为对角线时，有，解得：，此时，点的坐标为，；如图2，当为对角线时，有，则，此时点的坐标是，；如图2，当为对角线时，有，则，此时点的坐标是，；综上所述，符合条件的点的坐标是，或，或，【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用勾股定理（两点间的距离公式）求出、的值；（3）分为对角线、为对角线及为对角线三种情况求出点的坐标
