1、2019-2020学年湖南省邵阳市武冈市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将每小题的正确答案序号填至下面答题栏的对应栏内）1（3分）反比例函数的图象分布在A第一、二象限B第一、三象限C第二、四象限D第三、四象限2（3分）若是关于的一元二次方程，则的值是A0B2CD3（3分）若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是ABCD4（3分）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，则反比例函数的解析式为ABCD5（3分）关于的一元二次方程，常数项为0，则值等于A1B2C1
2、或2D06（3分）一元二次方程的一个根是，则的值为A2BC3D7（3分）如图，在宽度为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是ABCD8（3分）若相似与的相似比为，则与的面积比为ABCD9（3分）下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是ABCD10（3分）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点，使得，点在上，并且点，在同一条直线上若测得，则河的宽度等于ABCD二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）11（
3、3分）如图，已知点在反比例函数图象上，轴于点，且的面积为1，则反比例函数的解析式为 12（3分）若点在反比例函数的图象上，则当函数值时，自变量的取值范围是 13（3分）一元二次方程的根是 14（3分）若关于的一元二次方程有两个不同的实数根，则应满足的条件15（3分）如图，身高1.8米的小明同学沿着旗杆在地面的影子由向走去，当他走到点处时，他的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得，则旗杆的高度是16（3分）若，且，则 17（3分）如图，中，若，则 18（3分）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为 三、解答题（本大题共6个小题，共66分，
4、要写出必要的解题过程）19（12分）解方程：（1）（2）（3）（4）20（8分）已知等腰三角形的一边长为3，它的其它两边长恰好是关于的一元二次方程的两个实数根，求的值21（8分）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、两点（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式；（3）求的面积22（8分）如图，点、在一条直线上，求证：23（10分）新华商场为迎接家电下乡活动销售某种冰箱，每台进价为2500元，市场调研表明；当销售价定为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？24
5、（10分）如图，在中，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点、分别从点、同时出发，经几秒钟与相似？试说明理由25（10分）已知点、分别是四边形边、上的点，且与相交于点（1）如图，若，且，求证：；（2）如图，若，且时，求证：2019-2020学年湖南省邵阳市武冈市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将每小题的正确答案序号填至下面答题栏的对应栏内）1（3分）反比例函数的图象分布在A第一、二象限B第一、三象限C第二、四象限D第三、四象限【分析】先根据反比例函
6、数的解析式判断出的符号，再根据反比例函数的性质即可得出结论【解答】解：反比例函数中，反比例函数的图象分布在一、三象限故选：【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当时，反比例函数图象的两个分支分别位于一三象限是解答此题的关键2（3分）若是关于的一元二次方程，则的值是A0B2CD【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可【解答】解：是关于的一元二次方程，解得，故选：【点评】本题利用了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且特别要注意的条件这是
7、在做题过程中容易忽视的知识点3（3分）若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是ABCD【分析】根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从，和，两方面分类讨论得出答案【解答】解：，分两种情况：（1）当，时，正比例函数数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；（2）当，时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项符合故选：【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题4（3分）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，则反比例函数的解析式为ABCD【
8、分析】先求出点的坐标，然后表示出、的长度，根据，求出点的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式【解答】解：直线与轴交于点，即，点的横坐标为，点在直线上，点，反比例函数的解析式为：故选：【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意确定点的横坐标并求出纵坐标是解题的关键5（3分）关于的一元二次方程，常数项为0，则值等于A1B2C1或2D0【分析】根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组，求出的值即可【解答】解：关于的一元二次方程，常数项为0，解得：故选：【点评】本题考查了一元二次方程的定义一元二次方程的一般形式是：，是常数且，特别要注意的条件这是
9、在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项其中，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项6（3分）一元二次方程的一个根是，则的值为A2BC3D【分析】的一个根是，那么就可以把代入方程，从而可直接求【解答】解：把代入中，得，解得，故选：【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解根与方程的关系7（3分）如图，在宽度为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是ABCD【分析】设小路宽为米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了米，进而即可
10、列出方程，求出答案【解答】解：利用平移，原图可转化为右图，设小路宽为米，根据题意得：故选：【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案另外还要注意解的合理性，从而确定取舍8（3分）若相似与的相似比为，则与的面积比为ABCD【分析】由相似与的相似比为，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得与的面积比【解答】解：相似与的相似比为，与的面积比为故选：【点评】本题考查对相似三角形性质注意相似三角形面积的比等于相似比的平方9（3分）下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点
11、上，则与相似的三角形所在的网格图形是ABCD【分析】根据勾股定理求出的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案【解答】解：根据勾股定理，所以的三边之比为，、三角形的三边分别为2，三边之比为，故选项错误；、三角形的三边分别为2，4，三边之比为，故选项正确；、三角形的三边分别为2，3，三边之比为，故选项错误；、三角形的三边分别为，4，三边之比为，故选项错误故选：【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键10（3分）如图，为估算某河的宽度，在河对
12、岸选定一个目标点，在近岸取点，使得，点在上，并且点，在同一条直线上若测得，则河的宽度等于ABCD【分析】由两角对应相等可得，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离【解答】解：，解得：，故选：【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）11（3分）如图，已知点在反比例函数图象上，轴于点，且的面积为1，则反比例函数的解析式为【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即【解答】解：由于是图象上任意一点，则，又反比例函数的图象在二、四象限，则所
13、以这个反比例函数的解析式是故答案为：【点评】主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得三角形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义12（3分）若点在反比例函数的图象上，则当函数值时，自变量的取值范围是或【分析】先根据点在反比例函数的图象上求出的值，进而得出反比例函数的解析式，画出函数图象，根据其图象即可得出结论【解答】解：点在反比例函数的图象上，反比例函数的解析式为，其图象如图所示：由函数图象可知，当函数值时，或故答案为：或【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特点，先将点的坐标代入反比例函数的解析式即可求出的
14、值，然后画出函数图象，利用数形结合的思想求出的取值范围13（3分）一元二次方程的根是，【分析】分解因式得到，推出，求出方程的解即可【解答】解：，分解因式得：，即，解方程得：，故答案为：，【点评】本题主要考查对等式的性质，解一元一次方程，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键14（3分）若关于的一元二次方程有两个不同的实数根，则应满足的条件【分析】利用判别式的意义得到，然后解不等式即可【解答】解：根据题意得，解得故答案为【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当
15、时，方程无实数根15（3分）如图，身高1.8米的小明同学沿着旗杆在地面的影子由向走去，当他走到点处时，他的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得，则旗杆的高度是9米【分析】因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可【解答】解：设旗杆高度为，由题意得，解得：米故答案为：9米【点评】本题考查了考查相似三角形的性质和投影知识，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题16（3分）若，且，则15【分析】根据，得到，代入已知数据计算即可【解答】解：，又，故答案为：15【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的
16、比相等并找准对应边是解题的关键17（3分）如图，中，若，则12【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，分别求出、的长，计算即可【解答】解：，故答案为：12【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键18（3分）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为1【分析】根据反比例函数系数的几何意义得到，然后利用进行计算即可【解答】解：轴于点，交于点，故答案为1【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为三、解答题（本大题共6个小题，共66分，要
17、写出必要的解题过程）19（12分）解方程：（1）（2）（3）（4）【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用配方法求解可得；（3）利用配方法求解可得；（4）利用公式法求解可得【解答】解：（1），则或，（2）方程两边同时，得，根据平方根的意义，得 ， ， ；（3）移项，得，将二次项系数化为1，得，配方，得，根据平方根的意义，得，；（4），【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键20（8分）已知等腰三角形的一边长为3，它的其它两边长恰好是关于的一元二次方程的两个实数
18、根，求的值【分析】利用判别式的意义得到，讨论：当3是腰时，把代入方程得，此时方程的另一根为5，三角形存在；两腰都是方程的根时，即，则，此时两根都为4，三角形存在【解答】解：根据题意得，解得，当3是腰时，3是方程的一个根，把代入方程得，解得，此时方程的另一根为5，三角形存在；两腰都是方程的根时，即方程有两个相等根，则，此时两根都为4，三角形存在，综上所述，或16【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根也考查了三角形三边的关系21（8分）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、两点（1）求反
19、比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式；（3）求的面积【分析】（1）根据反比例函数的图象过点利用待定系数法求出即可；（2）根据（1）中所求得出点坐标，进而利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（3）将三角形分割为，求出即可【解答】解：（1）因为经过，所以所以反比例函数的解析式为（2）因为在上，所以所以的坐标是把、代入得：，解得，所以（3）设直线与坐标轴分别交于、，则、所以：【点评】此题主要考查了待定系数法求出反比例函数、一次函数解析式以及求三角形面积等知识，根据已知得出点坐标以及得出是解题关键22（8分）如图，点、在一条直线上，求证：【分析】根据垂直的性质和给出的条件证明有两对角相等的两个
20、三角形相似即可【解答】证明：，又，【点评】本题考查了相似三角形的判定，常见的判定方法有（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法相似的基本图形可分别记为“”型和“”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似23（10分）新华商场为迎接家电下乡活动销售某种冰箱，每台进价为2500元，市场调研表明；当销售价定为2900元时，平均每天能售出8台
21、；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？【分析】销售利润一台冰箱的利润销售冰箱数量，一台冰箱的利润售价进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利销售的件数元，即可列方程求解【解答】解：设每台冰箱的定价应为元，依题意得解方程得经检验符合题意答：每台冰箱的定价应为2750元【点评】本题关键是会表示一台冰箱的利润，销售量增加的部分找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键24（10分）如图，在中，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点、分别
22、从点、同时出发，经几秒钟与相似？试说明理由【分析】首先设经秒钟与相似，由题意可得，又由是公共角，分别从与分析，即可求得答案【解答】解：设经秒钟与相似，则，是公共角，当，即时，解得：；当，即时，解得：，经2或0.8秒钟与相似【点评】此题考查了相似三角形的判定此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用25（10分）已知点、分别是四边形边、上的点，且与相交于点（1）如图，若，且，求证：；（2）如图，若，且时，求证：【分析】（1）根据已知条件得到四边形是矩形，由矩形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据已知条件得到，推出，根据，得到，等量代换即可得到结论；【解答】（1）证明：，四边形是矩形，；（2）证明：，四边形是平行四边形，【点评】本题考查了矩形性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键
