1、2019-2020学年浙江省杭州市萧山区临浦片九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1（3分）下列函数中，属于二次函数的是ABCD2（3分）商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.1”下列说法正确的是A抽10次奖必有一次抽到一等奖B抽一次不可能抽到一等奖C抽10次也可能没有抽到一等奖D抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖3（3分）如图，点，是上的三点，若，则的度数为ABCD4（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为ABCD5（3分）如图，把绕点顺时针旋转得到，交
2、于点，若，则的度数为ABCD6（3分）若抛物线与轴的交点为，则下列说法正确的是A抛物线开口向下B抛物线与轴的交点为，C当时，有最大值为0D抛物线的对称轴是直线7（3分）如图，点是以为直径的半圆的三等分点，则图中阴影部分的面积是ABCD8（3分）已知点在半径为5的上运动，是的一条弦且，则使的面积为8的点共有个A1B2C3D49（3分）已知函数，并且，是方程的两个根，则实数，的大小关系可能是ABCD10（3分）如图，为直径上一动点，过点的直线交于，两点，且，于点，于点，当点在上运动时设，下列中图象中，能表示与的函数关系式的图象大致是ABCD二、填空题（每题4分，共24分）11（4分）有6张卡片，每
3、张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是 12（4分）写出一个二次函数解析式，使它的图象的顶点在轴上： 13（4分）如图，在中，于，若，且，则 14（4分）如图，是的内接三角形，是的直径，的平分线交于点，则的度数是15（4分）如图，中，若以点为旋转6中心，将旋转度到的位置，使点恰好落在边上，则等于16（4分）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点将抛物线沿轴平移个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则的取值范围是三、解答题（本大题共8小题，共64分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（6分）如图，在中，求证
4、：18（6分）已知二次函数（1）完成下表；（2）在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象19（8分）已知二次函数的图象经过点和点，且有最小值为（1）求这个函数的解析式；（2）函数的开口方向、对称轴；（3）当时，的取值范围20（8分）如图，的直径的长为10，弦的长为5，的平分线交于点（1）求的度数；（2）求弦的长21（8分）在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字请你用画树形图或列表的方法，求下列事件的概率：（1）两次取出小球上的数字相同的概率；（2）两次取出
5、小球上的数字之和大于3的概率22（8分）如图，已知点，的坐标分别为、，将绕点按顺时针方向旋转得到（1）画出；（2）的对应点为，写出点的坐标；（3）求出旋转到的路线长23（10分）已知函数，为实数）（1）当，取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与轴有交点吗？请判断并说明理由；（2）若它是一个二次函数，假设，那么：当时，随的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；它一定经过哪个点？请说明理由24（12分）如图，点在轴的正半轴上，交轴于、两点，以为直角边作等腰，分别交轴和于、两点，连接、（1）求证：；（2）若点到的距离为，求线段的长；（3）当的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生
6、变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由2019-2020学年浙江省杭州市萧山区临浦片九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1（3分）下列函数中，属于二次函数的是ABCD【分析】根据二次函数的定义选择正确的选项即可【解答】解：、是一次函数，错误；、是一次函数，错误；、是二次函数，正确；、不是整式函数，错误；故选：【点评】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如、是常数，的函数，叫做二次函数2（3分）商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.1”下列说法正确的是A抽10次奖
7、必有一次抽到一等奖B抽一次不可能抽到一等奖C抽10次也可能没有抽到一等奖D抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖【分析】根据概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现进行解答即可【解答】解：根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为”就是说抽10次可能抽到一等奖，也可能没有抽到一等奖，故选：【点评】此题主要考查了概率的意义，概率是对事件发生可能性大小的量的表现3（3分）如图，点，是上的三点，若，则的度数为ABCD【分析】直接利用圆周角定理求解【解答】解：故选：【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一
8、半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径4（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为ABCD【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律解答【解答】解：二次函数的图象向上平移2个单位，得故选：【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减5（3分）如图，把绕点顺时针旋转得到，交于点，若，则的度数为ABCD【分析】利用旋转和等腰三角形的性质即可解决问题；【解答】解：由旋转的性质可知：，故选：【点评】本题考查旋转变换、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型6（3分）若抛物线与轴的交点
9、为，则下列说法正确的是A抛物线开口向下B抛物线与轴的交点为，C当时，有最大值为0D抛物线的对称轴是直线【分析】、由，可得出抛物线开口向上，选项错误；、由抛物线与轴的交点坐标可得出值，进而可得出抛物线的解析式，令求出值，由此可得出抛物线与轴的交点为、，选项错误；、由抛物线开口向上，可得出无最大值，选项错误；、由抛物线的解析式利用二次函数的性质，即可求出抛物线的对称轴为直线，选项正确综上即可得出结论【解答】解：、，抛物线开口向上，选项错误；、抛物线与轴的交点为，抛物线的解析式为当时，有，解得：，抛物线与轴的交点为、，选项错误；、抛物线开口向上，无最大值，选项错误；、抛物线的解析式为，抛物线的对称轴
10、为直线，选项正确故选：【点评】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个选项的正误是解题的关键7（3分）如图，点是以为直径的半圆的三等分点，则图中阴影部分的面积是ABCD【分析】连接，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，根据勾股定理求出，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案【解答】解：连接，点是以为直径的半圆的三等分点，为半圆的直径，的面积的面积，扇形的面积，则阴影部分的面积，故选：【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握勾股定理、扇形面积公式是解题的关键8（3分）已知点在半径为5的
11、上运动，是的一条弦且，则使的面积为8的点共有个A1B2C3D4【分析】根据的面积可将高求出，即上的点到的距离为高长的点都符合题意【解答】解：过圆心向弦作垂线，再连接半径设的高为可得：弦心距，故过圆心向所在的半圆作弦心距为1的弦与的两个点符合要求；，故将弦心距延长与相交，交点也符合要求，故符合要求的点由3个故选：【点评】在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂径定理来解题9（3分）已知函数，并且，是方程的两个根，则实数，的大小关系可能是ABCD【分析】令抛物线解析式中，得到方程的解为，即为抛物线与轴交点的横坐标为，再由抛物线开口向下得到时大于0，得到与时函数值大于0，即可确定出，的大小关系
12、【解答】解：函数，令，根据题意得到方程的两个根为，当或时，实数，的大小关系为故选：【点评】此题考查了抛物线与轴的交点，熟练掌握抛物线的性质是解本题的关键10（3分）如图，为直径上一动点，过点的直线交于，两点，且，于点，于点，当点在上运动时设，下列中图象中，能表示与的函数关系式的图象大致是ABCD【分析】本题考查动点函数图象的问题【解答】解：点从点运动到点的过程中，的值逐渐增大，的长度随值的变化先变大再变小，当与重合时，有最大值，时，过点，此时：，所以，随着的增大，先增后降，类抛物线故选：【点评】注意分析随的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决本题也可以通过求函数解析式的方法求解，不过
13、这种方法比较复杂二、填空题（每题4分，共24分）11（4分）有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是【分析】分别求出从1到6的数中3的倍数的个数，再根据概率公式解答即可【解答】解：从1到6的数中3的倍数有3，6，共2个，从中任取一张卡片，（卡片上的数是3的倍数）故答案为：【点评】考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比12（4分）写出一个二次函数解析式，使它的图象的顶点在轴上：（答案不唯一）【分析】根据二次函数的图象的顶点在轴上，则，进而得出答案【解答】解：由题意可得：（答案不唯一）故答案为：（答案不唯一）【
14、点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出的值是解题关键13（4分）如图，在中，于，若，且，则【分析】连接，根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据垂径定理计算【解答】解：连接，由圆周角定理得，由勾股定理得，故答案为：【点评】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧14（4分）如图，是的内接三角形，是的直径，的平分线交于点，则的度数是【分析】利用圆周角定理得到，再利用角平分线定理得到，然后根据三角形内角和计算的度数【解答】解：是的直径，平分，故答案为【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂
15、直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了圆周角定理15（4分）如图，中，若以点为旋转6中心，将旋转度到的位置，使点恰好落在边上，则等于【分析】先根据互余计算出，再根据旋转的性质得，则根据等腰三角形的性质得，然后在中根据三角形内角和定理可计算出的度数【解答】解：，旋转到的位置，使点恰好落在边 上，即故答案为【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了等腰三角形的性质16（4分）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点将抛物线沿轴平移个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则的取值范围是或【
16、分析】当向下平移1到3个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点，当抛物线向下平移4个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点，即可求解【解答】解：当向下平移1到3个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点，当抛物线向下平移3到4个单位（不含3和4个单位）时，抛物线与有两个交点，当抛物线向下平移4个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点，故答案为：或【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征三、解答题（本大题共8小题，共64分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（6分）如图，在中，求证：【
17、分析】根据，得到，得到，证明结论【解答】证明：，即，【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键18（6分）已知二次函数（1）完成下表；（2）在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象【分析】（1）选取合适的的值，求出对应的的值即可完成表格，；（2）利用描点法画出函数图象【解答】解：（1）完成表格如下：012340（2）描点，画出该二次函数图象如下：【点评】本题主要考查二次函数的图象，解题的关键是选取合适的的值，求出对应的的值19（8分）已知二次函数的图象经过点和点，且有最小值为（1
18、）求这个函数的解析式；（2）函数的开口方向、对称轴；（3）当时，的取值范围【分析】由题意得：函数的对称轴为，此时，则函数的表达式为：，即可求解【解答】解：（1）由题意得：函数的对称轴为，此时，则函数的表达式为：，把点坐标代入上式，解得：，则函数的表达式为：（2），函数开口向上，对称轴为：；（3）当时，的取值范围为：或【点评】本题考查的是二次函数基本性质，函数的开口方向、对称轴、的取值范围都是函数的基本属性，是一道基本题20（8分）如图，的直径的长为10，弦的长为5，的平分线交于点（1）求的度数；（2）求弦的长【分析】（1）在中，推出，推出可得（2）只要证明为等腰直角三角形，推出即可解决问题；【
19、解答】解：（1）为的直径，在中，（2）连接平分，又，为等腰直角三角形【点评】本题主要考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键21（8分）在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字请你用画树形图或列表的方法，求下列事件的概率：（1）两次取出小球上的数字相同的概率；（2）两次取出小球上的数字之和大于3的概率【分析】（1）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次取出小球上的数字相同的结果数，然后根据概率公式求解；（2）找
20、出两次取出小球上的数字之和大于3的结果数，然后利用概率公式求解【解答】解：（1）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次取出小球上的数字相同的结果数为3，所以两次取出小球上的数字相同的概率；（2）两次取出小球上的数字之和大于3的结果数为6，所以两次取出小球上的数字之和大于3的概率【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率22（8分）如图，已知点，的坐标分别为、，将绕点按顺时针方向旋转得到（1）画出；（2）的对应点为，写出点的坐标；（3）求出旋转到的路线长【分析】（1）将点、分别绕点按顺时
21、针方向旋转得到对应点，再首尾顺次连接可得；（2）根据以上图形可得；（3）利用勾股定理求出的长，然后根据弧长公式计算可得【解答】解：（1）如图所示（2）由图可知（3），弧的长为【点评】本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质及弧长公式23（10分）已知函数，为实数）（1）当，取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与轴有交点吗？请判断并说明理由；（2）若它是一个二次函数，假设，那么：当时，随的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；它一定经过哪个点？请说明理由【分析】认真审题，首先根据我们所学过的三类函数进行分析，并分类讨论，可得出第一题的答案，再根据二次函数
22、的性质，进行分析可得出第二问的答案【解答】解：（1）当，时，函数，为实数）是一次函数，它一定与轴有一个交点，当时，函数，为实数）与轴有交点；当，时，函数，为实数）是二次函数，当时，即：，；函数，为实数）与轴有交点；当，时，函数是一次函数，当时，函数，为实数）与轴有交点；（2）假命题，若它是一个二次函数，则，函数，抛物线开口向上，对称轴：，对称轴在轴左侧，当时，有可能随的增大而增大，也可能随的增大而减小，当时，当时，它一定经过点和【点评】本题主要考查了一次函数、二次函数、反比例函数的定义，以及二次函数的性质，是一道综合题目，在草纸上画出草图，根据数形结合的思想进行解答是解题的关键，注意总结24（
23、12分）如图，点在轴的正半轴上，交轴于、两点，以为直角边作等腰，分别交轴和于、两点，连接、（1）求证：；（2）若点到的距离为，求线段的长；（3）当的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线性质求出，推出，根据求出即可；（2）过点作交的延长线于，过点作于，连接，根据证，推出，证，推出，求出长，根据勾股定理和等腰直角三角形性质求出的平方，即可求出答案；（3）过点作于，过点作于，根据证，推出，推出，得出，推出，得出等腰直角三角形即可【解答】（1）证明：连接，又，又，（2）解：过点作交的延长线于，过点作于，连接，则，在和中，又，在和中，在中，在中，（3）解：的值不发生变化，过点作于，过点作于，在和中，又，而，又，为等腰直角三角形，【点评】本题综合考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，线段垂直平分线性质等知识点，解（1）小题关键是求出，解（2）小题的关键是求出的长，解（3）小题的关键是证出等腰直角三角形，此题综合性比较强，有一定的难度，但题型较好
