1、2019-2020学年山东省滨州市六校联考九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题选对得3分，满分36分）1（3分）下列环保标志中，是中心对称图形的是ABCD2（3分）一元二次方程配方后可变形为ABCD3（3分）若在平面直角坐标系内，两点关于原点对称，则的值为A9BC3D54（3分）某县政府2011年投资0.5亿元用于保障性房建设，计划到2013年投资保障性房建设的资金为0.98亿元如果从2011年到2013年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是ABCD5（3分）若二次函数的图象经过点，则关于的方程的实数根为A，B，C，D，6（3分）已知圆内接正三角形的面积为，则该
2、圆的内接正六边形的边心距是A2B1CD7（3分）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为ABCD8（3分）如图，一圆弧过方格的格点、，在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆心坐标是ABCD9（3分）如图，、分别切于、，分别交，于、，已知到的切线长为，则的周长为ABCD10（3分）如图，抛物线与轴交于点，把抛物线与线段围成的图形记为，将绕点中心对称变换得，与轴交于另一点，将绕点中心对称变换得，连接，与的顶点，则图中阴影部分的面积为A32B24C36D4811（3分）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：；若，是抛物线上两点，则其
3、中说法正确的是ABCD12（3分）如图，半径为4的中，为直径，弦且过半径的中点，点为上一动点，于点当点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为ABCD二、填空题（本大题共8小题，每小题填对得5分，满分40分）13（5分）已知是关于的一元二次方程，则的值为14（5分）已知，是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是 15（5分）如图所示是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面宽为，水的最大深度为，则该输水管的直径为 16（5分）圆锥形礼帽的底面半径为，母线长为，则这个圆锥形礼帽的侧面积为 17（5分）如图，内接于，为直径，那么的长为 18（5分）如图，是的直径，点在上，为弧的中点，是
4、直径上一动点，则的最小值为 19（5分）如图，在中，将绕的中点逆时针旋转得到，其中点的运动路径为，则图中阴影部分的面积为20（5分）“如果二次函数的图象与轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若、是关于的方程的两根，且，则请用“”来表示、的大小关系是 三、解答题（本大题共6个小题，满分74分，解答时请写出必要的演推过程）21（10分）用适当的方法解下列方程：（1）（2）22（12分）已知关于的方程（1）若方程总有两个实数根，求的取值范围；（2）若方程有一个实数根为1，求的值和另一个根23（12分）如图，已知是等边三角形的外接圆，点在圆上，在
5、的延长线上有一点，使，交于（1）求证：是的切线；（2）求证：24（13分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）设每件商品的售价上涨元为正整数），每个月的销售利润为元（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）为了使顾客尽量满意，每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？25（13分）已知正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点、，当绕点旋转到时（如图，则（1）线段、
6、和之间的数量关系是 ；（2）当绕点旋转到时（如图，线段、和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（3）当绕点旋转到（如图的位置时，线段、和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想26（14分）已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，点是线段上方抛物线上的一个动点（1）求抛物线的解析式；（2）当点运动到什么位置时，的面积有最大值？（3）过点作轴的垂线，交线段于点，再过点做轴交抛物线于点，连结，请问是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题选对得3分，满分36分）1（3分）下列环保标志中，是中心对称图形的是AB
7、CD【分析】根据中心对称图形的概念求解即可【解答】解：、是中心对称图形，本选项正确；、不是中心对称图形，本选项错误；、不是中心对称图形，本选项错误；、不是中心对称图形，本选项错误故选：【点评】本题考查了中心对称图形的概念中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合2（3分）一元二次方程配方后可变形为ABCD【分析】移项，系数化成1，再配方，即可得出选项【解答】解：，故选：【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键3（3分）若在平面直角坐标系内，两点关于原点对称，则的值为A9BC3D5【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数列方程求出、的值，然后相加计算
8、即可得解【解答】解：，两点关于原点对称，解得，所以，故选：【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键4（3分）某县政府2011年投资0.5亿元用于保障性房建设，计划到2013年投资保障性房建设的资金为0.98亿元如果从2011年到2013年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是ABCD【分析】一般用增长后的量增长前的量增长率），2012年要投入资金是万元，在2012年的基础上再增长，就是2013年的资金投入，由此可列出方程，求解即可【解答】解：设这两年中投入资金的平均年增长率是，由题意得：，解得： （不合题意舍去）答：这两年中投
9、入资金的平均年增长率约是故选：【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识增长前的量年平均增长率）增长后的量5（3分）若二次函数的图象经过点，则关于的方程的实数根为A，B，C，D，【分析】先求出函数的解析式，求出和轴的交点坐标，根据平移规律得出即可【解答】解：把代入二次函数得：，解得：，所以二次函数的解析式为，当时，解得：，即二次函数与轴的交点坐标是和，所以把二次函数向左平移2个单位得出二次函数，即关于的方程的实数根为或，故选：【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与轴的交点问题，平移的性质等知识点，能求出二次函数与轴的交点坐标是解此题的关键6（3分）已知圆内接正三角形的面
10、积为，则该圆的内接正六边形的边心距是A2B1CD【分析】根据题意可以求得半径，进而解答即可【解答】解：因为圆内接正三角形的面积为，所以圆的半径为，所以该圆的内接正六边形的边心距，故选：【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距7（3分）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为ABCD【分析】直接根据图形平移的性质即可得出结论【解答】解：将抛物向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为：，即故选：【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键8（3分）如图，一
11、圆弧过方格的格点、，在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆心坐标是ABCD【分析】根据垂径定理可得：分别作与的垂直平分线，相交于点，则点即是该圆弧所在圆的圆心然后由点的坐标为，即可得到点的坐标【解答】解：如图：分别作与的垂直平分线，相交于点，则点即是该圆弧所在圆的圆心点的坐标为，点的坐标为故选：【点评】此题考查了垂径定理的应用以及点与坐标的关系此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用9（3分）如图，、分别切于、，分别交，于、，已知到的切线长为，则的周长为ABCD【分析】由切线长定理可知、，则可求得的周长，可求得答案【解答】解：、分别切于、，故选：【点评】本题主要考查切线长定理
12、，掌握从圆外一点引圆的两条切线所得的切线长相等是解题的关键10（3分）如图，抛物线与轴交于点，把抛物线与线段围成的图形记为，将绕点中心对称变换得，与轴交于另一点，将绕点中心对称变换得，连接，与的顶点，则图中阴影部分的面积为A32B24C36D48【分析】将抛物线的一般式变形为顶点式即可得出的顶点坐标，由二次函数图象上点的坐标特征求出点、的坐标，根据中心对称的性质即可得出、的顶点坐标，再根据对称性即可得出阴影部分的面积【解答】解：，的顶点坐标为当时，有，解得：，点的坐标为，点的坐标为将绕点中心对称变换得，将绕点中心对称变换得，的顶点坐标为，点的坐标为，的顶点坐标为，故选：【点评】本题考查了抛物线
13、与轴的交点以及二次函数图象与几何变换，根据中心对称找出、的顶点坐标是解题的关键11（3分）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：；若，是抛物线上两点，则其中说法正确的是ABCD【分析】根据图象得出，即可判断；把代入抛物线的解析式即可判断，求出点关于对称轴的对称点的坐标是，根据当时，随的增大而增大即可判断【解答】解：二次函数的图象的开口向上，二次函数的图象轴的交点在轴的负半轴上，二次函数图象的对称轴是直线，正确；，正确；二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点与轴的另一个交点的坐标是，把代入得：，错误；二次函数图象的对称轴为，点关于对称轴的对称点的坐标是，根据当时，随的增大而增
14、大，正确；故选：【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力12（3分）如图，半径为4的中，为直径，弦且过半径的中点，点为上一动点，于点当点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为ABCD【分析】连接，由，利用垂径定理得到为的中点，由中点的定义确定出的长，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，由求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，由垂直于，得到三角形始终为直角三角形，点的运动轨迹为以为直径的半径，如图中红线所示，当位于点时，此时与重合；当位于时，此时与重合，可得出当点从点出发顺时针运动到点时，点所经
15、过的路径长，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长，即可求出点所经过的路径长【解答】解：连接，为的中点，即，的半径为4，弦且过半径的中点，在中，根据勾股定理得：，又，在中，根据勾股定理得：，始终是直角三角形，点的运动轨迹为以为直径的半圆，当位于点时，此时与重合；当位于时，此时与重合，当点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长，在中，所对圆心角的度数为，直径，的长为，则当点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为故选：【点评】此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长
16、公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长，是解本题的关键二、填空题（本大题共8小题，每小题填对得5分，满分40分）13（5分）已知是关于的一元二次方程，则的值为0或3【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案【解答】解：是关于的一元二次方程，解得：，故答案为：0或3【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握次数是解题关键14（5分）已知，是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是【分析】把、的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式，化成顶点式即可【解答】解：，是抛物线上两点，代入得：，解得：，顶点坐标为，故答案为：【点
17、评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能求出函数的解析式是解此题的关键15（5分）如图所示是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面宽为，水的最大深度为，则该输水管的直径为【分析】先过点作于点，连接，由垂径定理可知，设，则，在中，利用勾股定理即可求出的值，从而得出该输水管的直径的长【解答】解：过点作于点，连接，则，设，则，在中，即，解得故该输水管的直径为；故答案为：【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键16（5分）圆锥形礼帽的底面半径为，母线长为，则这个圆锥形礼帽的侧面积为【分析】圆锥的侧面积底面
18、半径母线长，把相关数值代入计算即可【解答】解：圆锥形礼帽的侧面积故答案为：【点评】考查圆锥的计算；掌握圆锥的侧面积计算公式是解决本题的关键17（5分）如图，内接于，为直径，那么的长为4【分析】根据三角形内角和定理求出，根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质计算即可【解答】解：，由圆周角定理得，为直径，故答案为：4【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质是解题的关键18（5分）如图，是的直径，点在上，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为【分析】首先利用在直线上的同侧有两个点、，在直线上有到、的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即
19、作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算【解答】解：作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点此时最小，且等于的长连接，弧的度数是，则弧的度数是，根据垂径定理得弧的度数是，则，又，则【点评】此题主要考查了确定点的位置，垂径定理的应用19（5分）如图，在中，将绕的中点逆时针旋转得到，其中点的运动路径为，则图中阴影部分的面积为【分析】先利用勾股定理求出，再根据，计算即可【解答】解：绕的中点逆时针旋转得到，此时点在斜边上，故答案为【点评】本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
20、属于中考常考题型20（5分）“如果二次函数的图象与轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若、是关于的方程的两根，且，则请用“”来表示、的大小关系是【分析】依题意画出函数图象草图，根据二次函数的增减性求解【解答】解：依题意，画出函数的图象，如图所示函数图象为抛物线，开口向上，与轴两个交点的横坐标分别为，方程转化为，方程的两根是抛物线与直线的两个交点由，可知对称轴左侧交点横坐标为，右侧为由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，随增大而减少，则有；在对称轴右侧，随增大而增大，则有综上所述，可知，故答案为：【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，
21、考查了数形结合的数学思想解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算三、解答题（本大题共6个小题，满分74分，解答时请写出必要的演推过程）21（10分）用适当的方法解下列方程：（1）（2）【分析】（1）用公式法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可【解答】解：（1），；（2），或，【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握各种解法是解题的关键22（12分）已知关于的方程（1）若方程总有两个实数根，求的取值范围；（2）若方程有一个实数根为1，求的值和另一个根【分析】（1）根据方程总有两个实数根知，解之可得；（2）将代入方程得到关于的方程，解之求得的值，继而还原方
22、程，解之可得答案【解答】解：（1）关于的方程总有两个实数根，解得：（2）将代入方程，得：，整理，得：，解得：，则方程为，解得，故的值为1，方程的另一个根为3【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，则，也考查了一元二次方程根的判别式23（12分）如图，已知是等边三角形的外接圆，点在圆上，在的延长线上有一点，使，交于（1）求证：是的切线；（2）求证：【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：，证明，可得：是的切线；（2）先根据等边三角形性质得：，由四点共圆的性质得：，得是等边三角形，证明，可得结论【解答】证明：（1）连接，是等边三角形的外接圆，是的切线；（2）是等边三角形，、四
23、点共圆，是等边三角形，即，在和中，【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形及外接圆，四点共圆等知识点的综合运用，属于基础题，熟练掌握等边三角形的性质是关键24（13分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）设每件商品的售价上涨元为正整数），每个月的销售利润为元（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）为了使顾客尽量满意，每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？【分析】（1）根
24、据题意可知与的函数关系式（2）根据题意可知，当时有最大值（3）设，解得的值【解答】解：（1）由题意得：且为整数）；（2）由（1）中的与的解析式配方得：，当时，有最大值2402.5，且为整数，当时，（元，当时，（元，当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元（3）当时，解得：，为了使顾客尽量满意，每件商品的定价需尽量低，所有舍去当时，当售价定为每件51元，每个月的利润为2200元【点评】此题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，体现建模思想的渗透25（13分）已知正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点、，当绕点旋转到时（如图，则（
25、1）线段、和之间的数量关系是；（2）当绕点旋转到时（如图，线段、和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（3）当绕点旋转到（如图的位置时，线段、和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想【分析】（1）连接，交于点，则可知垂直平分，结合，可证明，可得到，同理可得到，可得出结论；（2）在的延长线上，截取，连接，则可证明，可得到，进一步可证明，可得结论；（3）在上截取，连接，可先证明，进一步可证明，可得到，从而可得到【解答】解：（1）如图1，连接，交于点，四边形为正方形，且，且平分，且，即，在和中，同理可得，故答案为：；（2）猜想：，证明如下：如图2，在的延长线上，截取，连接，在和中，在和中
26、，又，；（3）证明如下：如图3，在上截取，连接，和中，即，在和中，【点评】本题为四边形的综合应用，涉及知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质等在（1）中证得是解题的关键，在（2）、（3）中构造三角形全等是解题的关键本题考查知识点不多，但三角形全等的构造难度较大26（14分）已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，点是线段上方抛物线上的一个动点（1）求抛物线的解析式；（2）当点运动到什么位置时，的面积有最大值？（3）过点作轴的垂线，交线段于点，再过点做轴交抛物线于点，连结，请问是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）待定系数
27、法求解可得；（2）作与点，交于点，作，先求出直线解析式为，设，则，由列出关于的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）若为等腰直角三角形，则，设点的横坐标为，表示出、的长，列出关于的方程，解之可得答案【解答】解：（1）抛物线过点、，设抛物线解析式为，将点代入，得：，解得：，所以抛物线解析式为；（2）如图1，过点作与点，交于点，作于点，设直线解析式为，将点、代入，得：，解得：，则直线解析式为，设其中，则，当时，位于时，的面积有最大值；方法二：如图2，连接，作轴于点，作轴于点，设其中，则，当时，即位于时，的面积有最大值（3）如图3，若为等腰直角三角形，则，设点的横坐标为，点的横坐标为，则，解得：或，所以或，【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点
