1、2018-2019学年山东省淄博市部分学校高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A1，0，1，2，3，Bx|log2x1，则AB（）A1，2B1，0，1，2C1，2，3D1，0，1，2，32（5分）若角的终边经过点P（1，2），则sin（）ABCD3（5分）已知直线l1：2x+ay30与l2：（a1）x+y+10，若l1l2，则a（）A2B1C2或1D2或14（5分）已知向量|2，|4，且12，则与的夹角为（）ABCD5（5分）已知tan3，tan5，则tan（）（）ABCD6（5分）在AB
2、C中角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，B，则A（）AB或C或D7（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右甲移个单位长度8（5分）从某健康体检中心抽取了8名成人的身高数据（单位：厘米），数据分别为172，170，172，166，168，168，172，175，则这组数据的中位数和众数分别是（）A171 172B170 172C168 172D170 1759（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a：b：c4：3：2，则（）ABCD10（5分）已知ABC的三个顶点都在一个球面上，ABBC2，AC
3、4，且该球的球心到平面ABC的距离为2，则该球的表面积为（）A80BC32D11（5分）若圆（x1）2+（y+2）2r2（r0）上有且仅有两个点到直线2xy+60的距离等于，则r的取值范围是（）A（0，）B（，3）C（，2）D（2，3）12（5分）已知函数f（x）sin（x）（0），若f（x）在区间（，2内没有零点，则的取值范围是（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸中的横线上.13（5分）若函数f（x）3x+a（xR）的图象过点（2，3），则f（0） 14（5分）一组样本数据8，10，18，12的方差为 15（5分）已知扇形
4、的半径为3，面积为9，则该扇形的弧长为 16（5分）在边长为2的菱形ABCD中，ABC60，O是对角线AC与BD的交点，若点F是线段CD上的动点，且点F关于点O的对称点为G，则的最小值为 三、解答题；本大题共6小题，共0分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知向量（sin，2），（5，cos），且（1）求tan的值：（2）求的值18（12分）某校从高一年级的一次月考成绩中随机抽取了50名学生的成绩（满分100分，且抽取的学生成绩都在50，100内），按成绩分为50，60），60，70），70，80），80.90），90，100五组，得到如图所示的
5、频率分布直方图（1）用分层抽样的方法从月考成绩在80，100内的学生中抽取6人，求分别抽取月考成绩在80，90）和90，100内的学生多少人；（2）在（1）的前提下，从这6名学生中随机抽取2名学生进行调查，求月考成绩在90，100内至少有1名学生被抽到的概率19（12分）如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EFAD求证：（1）EF平面ABC；（2）ADAC20（12分）在锐角ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinAcosC+csinAcosAb0（1）求角A的大小；（2）若a4，求ABC面积的最
6、大值21（12分）已知函数f（x）2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x+）（0）（1）求f（x）的最小正周期；（2）若，求当f（x）2时自变量x的取值集合22（12分）已知圆O：x2+y29（O为坐标原点），直线l：x+y100（1）过直线l上任意一点A作圆O的两条切线，切点分别为B，C，求四边形ABOC面积的最小值；（2）过点P（3，0）的直线PM，PN分别与圆O交于点M，N（M，N不与P重合），若kPMkPN3，试问直线MN是否过定点？并说明理由2018-2019学年山东省淄博市部分学校高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在
7、每小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A1，0，1，2，3，Bx|log2x1，则AB（）A1，2B1，0，1，2C1，2，3D1，0，1，2，3【分析】Bx|log2x1x|0x2，可直接求出AB【解答】解：Bx|log2x1x|0x2，A1，0，1，2，3，AB1，2故选：A【点评】本题考查了解对数不等式和交集的运算，熟练掌握对数的运算性质是解题关键，属基础题2（5分）若角的终边经过点P（1，2），则sin（）ABCD【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求出sin的值【解答】解：角的终边经过点P（1，2），则sin故选：B【点评】本题主要考查任意角的三角函
8、数的定义，属于基础题3（5分）已知直线l1：2x+ay30与l2：（a1）x+y+10，若l1l2，则a（）A2B1C2或1D2或1【分析】由题意利用两条直线平行的条件，求得a的值【解答】解：直线l1：2x+ay30与l2：（a1）x+y+10，若l1l2，则 ，求得a2 或a1，故选：C【点评】本题主要考查两条直线平行的条件，属于基础题4（5分）已知向量|2，|4，且12，则与的夹角为（）ABCD【分析】直接利用向量的数量积，转化求解即可【解答】解：向量|2，|4，且12，可得：cos，则与的夹角为：故选：D【点评】本题考查向量的数量积求解向量的夹角，是基本知识的考查5（5分）已知tan3，
9、tan5，则tan（）（）ABCD【分析】直接利用两角差的正切公式求得结果【解答】解：tan3，tan5，则tan（），故选：A【点评】本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题6（5分）在ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，B，则A（）AB或C或D【分析】直接利用正弦定理以及三角形性质求解即可【解答】解：在ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，B，由正弦定理可得：sinA，ba，BA则A故选：D【点评】本题考查正弦定理的应用，是基本知识的考查7（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右
10、甲移个单位长度【分析】由题意利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：只需将函数的图象向左平移个单位，可得函数cos（x+） 的图象，故选：C【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题8（5分）从某健康体检中心抽取了8名成人的身高数据（单位：厘米），数据分别为172，170，172，166，168，168，172，175，则这组数据的中位数和众数分别是（）A171 172B170 172C168 172D170 175【分析】这组数据从小到大为166，168，168，170，172，172，172，175，由此能求出这组数据的中位数和众数【解答】解
11、：数据分别为172，170，172，166，168，168，172，175，这组数据从小到大为166，168，168，170，172，172，172，175，这组数据的中位数为：171，众数为172故选：A【点评】本题考查中位数、众数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a：b：c4：3：2，则（）ABCD【分析】由题意不妨设a4k，b3k，c2k，k0，根据正弦定理，二倍角的正弦函数公式，余弦定理化简已知即可求解【解答】解：a：b：c4：3：2，不妨设a4k，b3k，c2k，k0，又：sin2C2sinCcosC，由余弦定理可得：c
12、osC，故选：D【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题10（5分）已知ABC的三个顶点都在一个球面上，ABBC2，AC4，且该球的球心到平面ABC的距离为2，则该球的表面积为（）A80BC32D【分析】由题意得到AC即为A、B、C三点所在圆的直径，取AC的中点M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在RtOMA中，OM2，MA2，则OA可求，从而得出该球的表面积【解答】解：在三角形ABC中，ABBC2，AC4，则三角形ABC是以AC为斜边的直角三角形，如图所示：取AC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的
13、圆即为M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在RtOMA中，OM2，MA2，OA，即球的半径为球的表面积为：S故选：C【点评】本题考查球的有关计算问题，点到平面的距离，是基础题11（5分）若圆（x1）2+（y+2）2r2（r0）上有且仅有两个点到直线2xy+60的距离等于，则r的取值范围是（）A（0，）B（，3）C（，2）D（2，3）【分析】先求出圆心到直线的距离，将此距离和圆的半径结合在一起考虑，求出圆上有三个点到直线的距离等于，以及圆上只有一个点到直线的距离等于的条件，可得要求的r的范围【解答】解：圆（x1）2+（y+2）2r2（r0）的圆心到直线2xy+60的距离为d：d2，当
14、r时，圆上只有一个点到直线的距离等于，当r3时，圆上有三个点到直线的距离等于，圆（x1）2+（y+2）2r2（r0）上有且仅有两个点到直线2xy+60的距离等于时，圆的半径r的取值范围是：r3，故选：B【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题12（5分）已知函数f（x）sin（x）（0），若f（x）在区间（，2内没有零点，则的取值范围是（）ABCD【分析】f（x）在区间（，2内没有零点，则kZ，然后解出的范围即可【解答】解：x（，2，0，f（x）在区间（，2内没有零点，kZ，kZ，k1或k0，当k1时，；当k0时，的取值范围为：故选：B【点评】本题考查了三角函数
15、的图象与性质和零点存在定理，考查了转化思想和数形结合思想，属中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸中的横线上.13（5分）若函数f（x）3x+a（xR）的图象过点（2，3），则f（0）5【分析】由题意利用待定系数法求出a的值，可得函数解析式，进而求得f（0）的值【解答】解：函数f（x）3x+a（xR）的图象过点（2，3），32+a3，求得a6，则 函数f（x）3x6，f（0）165，故答案为：5【点评】本题主要考查利用待定系数法求函数解析式，求函数的值，属于基础题14（5分）一组样本数据8，10，18，12的方差为14【分析】根据题意，先求出数据的平均数，结合
16、方差计算公式计算可得答案【解答】解：根据题意，数据8，10，18，12的平均数12，则其方差S2（812）2+（1012）2+（1812）2+（1212）214；故答案为：14【点评】本题考查数据的平均数、方差的计算，属于基础题15（5分）已知扇形的半径为3，面积为9，则该扇形的弧长为6【分析】根据弧长公式以及Srl进行解答【解答】解：设该扇形的弧长为l，则：93l，解得l6故答案是：6【点评】本题考查了扇形面积的计算和弧长的计算，熟记公式即可解答该题，属于基础题16（5分）在边长为2的菱形ABCD中，ABC60，O是对角线AC与BD的交点，若点F是线段CD上的动点，且点F关于点O的对称点为G
17、，则的最小值为6【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性表示与数量积运算，即可求出的最小值【解答】解：如图所示，由菱形的对称性知，点G在线段AB上，且AGCF，设，其中01；则（1），所以（+）（）（+）（1）（1）+（1）2（1）3+4（1）3421；又0，1，所以当1时，取得最小值为6故答案为：6【点评】本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，是中档题三、解答题；本大题共6小题，共0分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知向量（sin，2），（5，cos），且（1）求tan的值：（2）求的值【分析】（1）由数量积的坐标运算列式求得tan的值；（2）利用
18、诱导公式化简，然后化弦为切结合（1）求解【解答】解：（1）（sin，2），（5，cos），且，即5sin2cos，得tan；（2）【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查利用诱导公式化简求值，考查计算能力，是基础题18（12分）某校从高一年级的一次月考成绩中随机抽取了50名学生的成绩（满分100分，且抽取的学生成绩都在50，100内），按成绩分为50，60），60，70），70，80），80.90），90，100五组，得到如图所示的频率分布直方图（1）用分层抽样的方法从月考成绩在80，100内的学生中抽取6人，求分别抽取月考成绩在80，90）和90，100内的学生多少人；（2）在（1）的
19、前提下，从这6名学生中随机抽取2名学生进行调查，求月考成绩在90，100内至少有1名学生被抽到的概率【分析】（1）利用频率分布直方图数据结合分层抽样定义计算可得，（2）列举所有基本事件，利用古典概型定义计算即可【解答】解：（1）因为（0.008+a+0.024+0.044+0.008）101，所以a0.016，则月考成绩在80，90）内的学生有500.016108人；月考成绩在90，100内的学生有500.008104人，“故用分层抽样的方法从月考成绩在80，90）内的学生中抽取4人，从月考成绩在90，100内的学生中抽取2人；（2）在（2）由（1）可知，被抽取的6人中有4人的月考成绩在809
20、0）内，分别记为a，b，c，d；有2人的月考成绩在90，100内，分别记为A，B；则从这6名学生中随机抽取2名学生的情况为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，A），（a，B），（b，c），（b，d），（b，A），（b，B），（c，d），（c，A），（c，B），（d，A），（dB），（A，B），共15种；被抽到的学生至少有1名月考成绩在90，100内的情况为：（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（d，A）（d，B），（A，B），共9种故月考成在0至少有1名学生被抽到的概率为：P；【点评】本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，考查频率公式，频率分布直
21、方图坐标轴的应用，分层抽样和古典概型，属于基础题19（12分）如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EFAD求证：（1）EF平面ABC；（2）ADAC【分析】（1）利用ABEF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FGBC，则EGAC，利用线面垂直的性质定理可知FGAD，结合线面垂直的判定定理可知AD平面EFG，从而可得结论【解答】证明：（1）因为ABAD，EFAD，且A、B、E、F四点共面，所以ABEF，又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF平
22、面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FGBC，则EGAC，因为BCBD，FGBC，所以FGBD，又因为平面ABD平面BCD，所以FG平面ABD，所以FGAD，又因为ADEF，且EFFGF，所以AD平面EFG，所以ADEG，故ADAC【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题20（12分）在锐角ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinAcosC+csinAcosAb0（1）求角A的大小；（2）若a4，求ABC面积的最大值【分析】（1）运用正弦定理和两角和的
23、正弦公式、诱导公式，即可得到所求角；（2）运用余弦定理和基本不等式可得bc的最大值，再由三角形的面积公式可得所求最大值【解答】解：（1）asinAcosC+csinAcosAb0，可得sin2AcosC+sinCsinAcosAsinB，即sinA（sinAcosC+cosAsinC）sinAsin（A+C）sinAsinBsinB，由sinB0，可得sinA，可得锐角A；（2）a4，可得a2b2+c22bccosAb2+c2bc2bcbcbc，则bc16，当且仅当bc4取得等号，可得ABC面积取得最大值164【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，以及基本不等式的运用，考
24、查运算能力，属于基础题21（12分）已知函数f（x）2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x+）（0）（1）求f（x）的最小正周期；（2）若，求当f（x）2时自变量x的取值集合【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论（2）由题意求得的值，可得f（x）的解析式，再根据f（x）2，求得x的取值集合【解答】解：（1）函数f（x）2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x+）sin（2x+2）+cos（2x+2）+12sin（2x+2+）+1，故f（x）的最小正周期为（2）若2sin（2+2+）+1，+2k，kZ，k，当f（x）2sin（2x+）+
25、12时，求得2sin（2x+），故2x+2k+，或2x+2k+，求得xk，或者 xk+， 故自变量x的取值集合为x|xk，或者 xk+，kZ【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，根据三角函数的值求角，属于中档题22（12分）已知圆O：x2+y29（O为坐标原点），直线l：x+y100（1）过直线l上任意一点A作圆O的两条切线，切点分别为B，C，求四边形ABOC面积的最小值；（2）过点P（3，0）的直线PM，PN分别与圆O交于点M，N（M，N不与P重合），若kPMkPN3，试问直线MN是否过定点？并说明理由【分析】（1）将四边形ABOC的面积的最小值转化为|OA|的最小值可得（2）
26、利用kPMkPN3，设出直线PM和PN的方程后，联立直线PM和PN解得M，N的坐标，根据两点式得到直线MN的方程，令k1得两条直线方程，解方程组得交点坐标即为定点【解答】解：（1）由题意可得圆心O到直线l的距离为d5，从而|OA|d5，则过点A的切线长|AB|4，故四边形ABOC的面积为|AB|OB|4312，即四边形ABOC的面积的最小值为12（2）因为kPMkPN3，所以直线直线PM与直线PN的斜率都存在且不为0，设直线PM的方程为：yk（x3），则直线PN的方程为y（x3），联立方程，消去y并整理得（x3）（k2+1）x（3k23）0，解得x3或x，则M（，），同理可得N（，），所以MN：y+（x）（k），令k1，得，解得，取Q（，0），可以证得kQMkQN，所以直线MN过定点（，0）当k时，MNx轴，易知OPM与OPN均为正三角形，直线MN的方程为：x，也过定点（，0）综上，直线MN过定点（，0）【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，属难题
