1、2017-2018学年山东省潍坊市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）sin78cos18cos78sin18（）ABCD2（5分）已知向量（1，2），（2，t），若，则t（）A4B1C2D43（5分）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（，），则cos（）ABCD4（5分）在ABC中，AB6，A75，B45，则AC（）A4B2C6D125（5分）根据如图给出的2010年到2017年某地区旅游总人数柱形图，以下结论中不正确的是（）A旅游总人数逐年增加B2017年旅游总人
2、数超过2015年和2016年两年的旅游总人数的和C旅游总人数与年份成正相关D从2014年起旅游总人数增长加快6（5分）经过A（4，0），B（2，0）两点，且圆心在直线xy+10上的圆的方程为（）A（x3）2+（y4）217B（x4）2+（y5）225C（x3）2+（y+4）217D（x+4）2+（y+5）2257（5分）已知函数f（x）（a1且a1），若f（1）2，则f（f（）（）A1BCD8（5分）在ABC中，AB2，AC，若，则的值为（）A1B2C1D29（5分）某产品生产厂家的市场部在对4家商城进行调研时，获得该产品售价x（单位：元）和销售量y（单位：万件）之间的四组数据如表：售价x（元
3、）44.55.56销售量y（万件）1211109为决策产品的市场指导价，用最小二乘法求得销售量y与售价x之间的线性回归方程为1.4x+，若售价为8元，则销售量约为（）A6.1万件B6.3万件C6.5万件D6.7万件10（5分）甲、乙两名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，两人的测试成绩如表甲的成绩环数78910频数6446乙的成绩环数78910频数4664设s1，s2分别表示甲，乙两名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）As1s2Bs1s2Cs1s2Ds1与s2不能比较大小11（5分）已知和是两个不重合的平面，m和n是两条不同的直线，则下列四个结论中正确的个数为（）若m，n，则mn；若m，n，
4、mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；A1B2C3D412（5分）如图，有一个边长为400米的正方形公园ABCD，在以正方形的四个顶点为圆心，150米为半径的四分之一圈内都种植了花卉，现计划在中间修建块矩形广场PQMN，其中P，Q，M，N四点都在相应的圆弧上，并且广场边界与公园边界对应平行，记QBC，则矩形广场的面积S的最小值为（）A38000m2B36000m2C35000m2D34000m2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知 14（5分）已知正三棱锥PABC的三条侧棱PA，PB，PC，两两垂直，底面边长为，则该正三棱锥的体积等于 15（5分）
5、经统计，在某银行的一个营业窗口等候的人数及相应的频率如表：排队人数012345人及5人以上频率0.10.160.30.30.10.04用排队人数的频率估计排队人数的概率值，则至多3人排队等候的概率为 16（5分）在平行四边形ABCD中，ABAC，ABAC1，点P是ABC的三边上的任意一点，设+（，R），则下列结论中正确的是 （填上所有正确结论的序号）0，0；当点P为AC中点时，+1；满足+的点P有且只有一个；的最大值为1三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知向量（1，2），（1，1）（1）若向量+k与向量+垂直，求实数k的值；（2）求
6、向量2+与向量的夹角18（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（sinA+sinC）+csinCbsinB（1）求角B；（2）若b，ABC的面积为，求ABC的周长19（12分）已知函数f（x）sin2x+cos2xsin2x（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；（2）求函数f（x）在区间，上的值域20（12分）为响应“潍坊市119消防安全月”活动，某校举行了一次消防安全知识竞赛，从该校所有学生的成绩（得分不低于50分，满分为100分）中随机抽取一个容量为n的样本进行统计，制成了如图所示的频率分布直方图和样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在50，60）和80，90）
7、的数据）（1）求样本容量n及频率分布直方图中的a，b的值；（2）在选取的样本中，利用分层抽样从成绩在80分以上（含80分）的同学中选出5人，再从选出的5人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少有1人的成绩不低于90分的概率21（12分）已知函数f（x）lg（1）证明：函数f（x）是奇函数；（2）若函数h（x）f（4x+1）lg（a2x）在区间（0，+）上有两个不同的零点，求实数a的取值范围22（12分）已知函数f（x）2sin（x+）（0，|）的部分图象如图所示（1）求f（x）的解析式；（2）将yf（x）的图象向左平移个单位，得到yg（x）的图象若函数yg（mx）（m0）在区间，上是增函
8、数，求实数m的取值范围；（3）已知A，B，C是ABC的三个内角，且f（）1，sinAsinBcos2，BC边上的中线AP的长为，试判断ABC的形状，并求ABC的面积2017-2018学年山东省潍坊市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）sin78cos18cos78sin18（）ABCD【分析】直接利用两角差的正弦化简求值【解答】解：sin78cos18cos78sin18sin（7818）sin60故选：D【点评】本题考查两角差的正弦，是基础的计算题2（5分）已知向量（1，2
9、），（2，t），若，则t（）A4B1C2D4【分析】直接利用向量共线的坐标运算列式求解【解答】解：（1，2），（2，t），且，1t2（2）0，即t4故选：A【点评】本题考查平面向量共线的坐标运算，是基础题3（5分）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（，），则cos（）ABCD【分析】由题意利用本任意角的三角函数的定义，求得cos的值【解答】解：角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（，），x，y，r|OP|3，则cos，故选：C【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题4（5分）在ABC中，AB6，A75，B45，则AC（）A4B2C6D
10、12【分析】根据题意，由三角形内角和定理可得C的值，结合正弦定理可得，解可得AC的值，即可得答案【解答】解：根据题意，在ABC中，A75，B45，则C180754560，又由AB6，则有，解可得：AC2；故选：B【点评】本题考查正弦定理的应用，关键是掌握正弦定理的内容5（5分）根据如图给出的2010年到2017年某地区旅游总人数柱形图，以下结论中不正确的是（）A旅游总人数逐年增加B2017年旅游总人数超过2015年和2016年两年的旅游总人数的和C旅游总人数与年份成正相关D从2014年起旅游总人数增长加快【分析】2017年旅游总人数为9000人，2015年和2016年两年的旅游总人数的和超过1
11、0000人，由此能求出结果【解答】解：由2010年到2017年某地区旅游总人数柱形图，得：在A中，旅游总人数逐年增加，故A正确；在B中，2017年旅游总人数为9000人，2015年和2016年两年的旅游总人数的和超过10000人，故2017年旅游总人数没有超过2015年和2016年两年的旅游总人数的和，故B错误；在C中，旅游总人数与年份成正相关，故C正确；在D中，从2014年起旅游总人数增长加快，故D正确故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，考查柱形图的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题6（5分）经过A（4，0），B（2，0）两点，且圆心在直线xy+1
12、0上的圆的方程为（）A（x3）2+（y4）217B（x4）2+（y5）225C（x3）2+（y+4）217D（x+4）2+（y+5）225【分析】求出过A，B的直线方程，联立两直线方程求出圆心坐标，进一步求得半径，则答案可求【解答】解：过A（4，0），B（2，0）两点的直线方程为x3，联立，解得圆心坐标为（3，4），半径为r所求圆的方程为（x3）2+（y4）217故选：A【点评】本题考查圆的方程的求法，考查数学转化思想方法，是基础题7（5分）已知函数f（x）（a1且a1），若f（1）2，则f（f（）（）A1BCD【分析】求出f（1）a2，从而f（x），进而f（），f（f（）f（），由此能求出结
13、果【解答】解：函数f（x）（a1且a1），f（1）2，f（1）a2，f（x），f（），f（f（）f（）故选：C【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题8（5分）在ABC中，AB2，AC，若，则的值为（）A1B2C1D2【分析】由已知可知D为BC的中点，从而有，结合向量数量积的定义即可求解【解答】解：，D为BC的中点，则故选：C【点评】本题主要考查了向量加法及减法的三角形法则及向量数量积性质的简单应用，属于基础试题9（5分）某产品生产厂家的市场部在对4家商城进行调研时，获得该产品售价x（单位：元）和销售量y（单位：万件）之间的四组数据如
14、表：售价x（元）44.55.56销售量y（万件）1211109为决策产品的市场指导价，用最小二乘法求得销售量y与售价x之间的线性回归方程为1.4x+，若售价为8元，则销售量约为（）A6.1万件B6.3万件C6.5万件D6.7万件【分析】由题意计算平均数，代入回归方程中求得的值，写出线性回归方程，利用方程计算x8时的值【解答】解：由题意知，（4+4.5+5.5+6）5，（12+11+10+9）10.5，代入回归方程1.4x+中，得10.51.45+，解得17.5，线性回归方程为1.4x+17.5；当x8时，1.48+17.56.3，即售价为8元时，销售量约为6.3万件故选：B【点评】本题考查了线
15、性回归方程的求法与应用问题，是基础题10（5分）甲、乙两名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，两人的测试成绩如表甲的成绩环数78910频数6446乙的成绩环数78910频数4664设s1，s2分别表示甲，乙两名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）As1s2Bs1s2Cs1s2Ds1与s2不能比较大小【分析】分别求出甲、乙的平均数，由此能判断甲，乙两名运动员这次测试成绩的标准差的大小【解答】解：甲的平均数（76+84+94+106）8.5，乙的平均数（74+86+96+104）8.5，甲的方差s126（78.5）2+4（88.5）2+4（98.5）2+6（108.5）21.425，乙的方差s22
16、4（78.5）2+6（88.5）2+6（98.5）2+4（108.5）21.05，s1s2故选：A【点评】本题考查两组数据的标准差的比较，考查平均数、方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题11（5分）已知和是两个不重合的平面，m和n是两条不同的直线，则下列四个结论中正确的个数为（）若m，n，则mn；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；A1B2C3D4【分析】在中，m与n相交、平行或异面；在中，与相交或平行；在中，由面面平行的判定定理得；在中，与相交或平行【解答】解：由和是两个不重合的平面，m和n是两条不同的直线，知：在中，若m，n，则m与n相交、平行或
17、异面，故错误；在中，若m，n，mn，则与相交或平行，故错误；在中，若m，n，mn，则由面面平行的判定定理得，故正确；在中，若m，n，mn，则与相交或平行，故错误故选：A【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题12（5分）如图，有一个边长为400米的正方形公园ABCD，在以正方形的四个顶点为圆心，150米为半径的四分之一圈内都种植了花卉，现计划在中间修建块矩形广场PQMN，其中P，Q，M，N四点都在相应的圆弧上，并且广场边界与公园边界对应平行，记QBC，则矩形广场的面积S的最小值为（）A38000m2B36000m
18、2C35000m2D34000m2【分析】在直角三角形BQE中，可得BE150cos，QE150sin，0，求得矩形的长和宽，运用换元法，结合三角函数的恒等变换，借助二次函数的最值求法，可得最小值【解答】解：QBC，如图在直角三角形BQE中，可得BE150cos，QE150sin，0，可得矩形PQMN的PQ400300sin，QM400300cos，则SPQQM（400300sin）（400300cos）100001612（sin+cos）+9sincos，设tsin+cossin（+），+，可得1t，sincos，可得S100001612t+50009（t）2+7，当t（1，S取得最小值50
19、00735000m2故选：C【点评】本题考查矩形的面积的最值的求法，由三角法运用三角函数的恒等变换和正弦函数的性质，转化为二次函数的最值求法，是解题的关键，属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知【分析】把已知的等式利用诱导公式sin（）cos化简，求出cosx的值，然后利用二倍角的余弦函数公式化简所求的式子，将cosx的值代入即可求出值【解答】解：sin（x）cosx，cos2x2cos2x121故答案为：【点评】此题考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键14（5分）已知正三棱锥PABC的三条侧棱PA，P
20、B，PC，两两垂直，底面边长为，则该正三棱锥的体积等于【分析】根据正三棱锥PABC的侧棱PA、PB、PC两两垂直，求出棱长，利用棱柱的体积公式求解即可【解答】解：正三棱锥PABC的侧棱PA、PB、PC两两垂直，且PAPBPC，AB，PAPBPC1，即正三棱锥PABC的外接球，即为分别以PA、PB、PC为长宽高的正方体的外接球，故三棱锥的体积为：故答案为：【点评】本题考查几何体的体积的求法，利用几何体的形状，体积公式的应用15（5分）经统计，在某银行的一个营业窗口等候的人数及相应的频率如表：排队人数012345人及5人以上频率0.10.160.30.30.10.04用排队人数的频率估计排队人数的
21、概率值，则至多3人排队等候的概率为0.44【分析】利用互斥事件概率加法公式直接求解【解答】解：由在某银行的一个营业窗口等候的人数及相应的频率表，用排队人数的频率估计排队人数的概率值，则至多3人排队等候的概率为：p0.3+0.1+0.040.44故答案为：0.44【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题16（5分）在平行四边形ABCD中，ABAC，ABAC1，点P是ABC的三边上的任意一点，设+（，R），则下列结论中正确的是（填上所有正确结论的序号）0，0；当点P为AC中点时，+1；满足+的点P有且只有一个；的最大值为1【分析
22、】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，求得0，0；点P为AC中点时，求出+1；根据x、y0，1，且+x+2y，判断满足条件的点P不只有一个；计算x+y12x，且x0，1，求得的最大值为1【解答】解：对于，建立平面直角坐标系，如图所示；A（0，0），B（1，0），C（0，1），D（1，1）；设点P（x，y），则x0，1，y0，1；（1，0），（1，1）；由+（，）（x，y），正确；对于，当点P为AC中点时，（0，），+1，正确；对于，由x0，1，y0，1，令+x+2y，满足条件的点P（x，y）不只有一个，错误；对于，x+yx+（1x）12x，且x0，1，x0时取得最大值为1，正确综上，正确的命题
23、序号是故答案为：【点评】本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知向量（1，2），（1，1）（1）若向量+k与向量+垂直，求实数k的值；（2）求向量2+与向量的夹角【分析】（1）求出（1+k，2k），（2，1），由向量+k与向量+垂直，能求出实数k的值（2）求出（3，3），（0，3），由此能求出向量2+与向量的夹角【解答】解：（1）向量（1，2），（1，1）（1+k，2k），（2，1），向量+k与向量+垂直，（）（）2+2k+2k0，解得实数k4（2）向量（1，2
24、），（1，1）（3，3），（0，3），cos，向量2+与向量的夹角为【点评】本题考查实数值的求法，考查向量的夹角的求法，考查向量垂直、向量坐标运算法则、向量的数量积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题18（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（sinA+sinC）+csinCbsinB（1）求角B；（2）若b，ABC的面积为，求ABC的周长【分析】（1）利用边角互化思想得a（a+c）+c2b2，由余弦定理求出cosB的值，从而得出角B的值；（2）由三角形的面积公式得出ac的值，再由余弦定理可计算出a+c的值，再加上b的值，即可得出ABC的周长【解答
25、】解：（1）a（sinA+sinC）+csinCbsinB，所以，a（a+c）+c2b2，则a2+c2b2ac，0B，因此，；（2）ABC的面积为，所以，ac4，由余弦定理可得b2a2+c22accosB（a+c）2ac（a+c）2421，a+c5，因此，ABC的周长为a+b+c5+【点评】本题考查正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，根据已知条件类型，选择合适的公式与定理，是解本题的关键，属于中等题19（12分）已知函数f（x）sin2x+cos2xsin2x（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；（2）求函数f（x）在区间，上的值域【分析】（1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正
26、弦函数的图象的对称性求出函数f（x）图象的对称轴方程（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间，上的值域【解答】解：（1）函数f（x）sin2x+cos2xsin2xsin2x+cos2x2sin（2x+），令2x+k+，求得x+，故函数f（x）图象的对称轴方程为x+，kX（2）在区间，上，2x+，故当2x+时，f（x）取得最小值为1，当2x+时，f（x）取得最大值为2，故函数f（x）在区间，上的值域1，2【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题20（12分）为响应“潍坊市119消防安全月”活动，某校举行了一次消防安全知识竞赛，
27、从该校所有学生的成绩（得分不低于50分，满分为100分）中随机抽取一个容量为n的样本进行统计，制成了如图所示的频率分布直方图和样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在50，60）和80，90）的数据）（1）求样本容量n及频率分布直方图中的a，b的值；（2）在选取的样本中，利用分层抽样从成绩在80分以上（含80分）的同学中选出5人，再从选出的5人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少有1人的成绩不低于90分的概率【分析】（1）由茎叶图得50，60）中的频数为8，由频率分布直方图得50，60）中的频率为0.16，由此能求出样本容量，由茎叶图得80，90）中的频数为6，由此能示出a，b（2）在
28、选取的样本中，成绩在80分以上（含80分）的同学有10人，其中成绩在80，90）中的同学有6人，成绩在90，100中的同学有4人，利用分层抽样从成绩在80分以上（含80分）的同学中选出5人，成绩在80，90）的同学选出3人，成绩在90，100的同学选出2人，再从选出的5人中随机抽取2人进行座谈，能求出所抽取的2人中至少有1人的成绩不低于90分的概率【解答】解：（1）由茎叶图得50，60）中的频数为8，由频率分布直方图得50，60）中的频率为0.016100.16，样本容量n50由茎叶图得80，90）中的频数为6，a0.012（0.008+0.012+0.016+b+0.040）101，解得b0
29、.024（2）在选取的样本中，成绩在80分以上（含80分）的同学有（0.012+0.008）105010人，其中成绩在80，90）中的同学有：0.01210506人，成绩在90，100中的同学有：0.00810504人，利用分层抽样从成绩在80分以上（含80分）的同学中选出5人，成绩在80，90）的同学选出：53人，成绩在90，100的同学选出5人，再从选出的5人中随机抽取2人进行座谈，基本事件总数n，所抽取的2人中至少有1人的成绩不低于90分的概率：p10.7【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布直方图、概率等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题21
30、（12分）已知函数f（x）lg（1）证明：函数f（x）是奇函数；（2）若函数h（x）f（4x+1）lg（a2x）在区间（0，+）上有两个不同的零点，求实数a的取值范围【分析】（1）先求出函数f（x）的定义域，再根据奇函数的定义：f（x）f（x）即可证明出函数f（x）是奇函数；（2）令h（x）0得到a4x2x+2a0，设t2x（t1），设g（t）at2t+2a在（1，+）上有两个不同的零点，显然a0，最后根据二次函数零点的判别即可求出a的范围【解答】解：（1）证明：由0得x1或x1，即函数的定义域为（，1）（1，+），对任意的x（，1）（1，+），f（x）lglglglgf（x），所以f（x）为
31、奇函数；（2）h（x）lglg（a2x）lg，由h（x）0得1，a4x2x+2a0，设t2x（t1），依题意，设g（t）at2t+2a在（1，+）上有两个不同的零点，显然a0，所以，即为，解得a【点评】本题考查了奇函数的定义，考查了二次函数零点个数的判断，注意运用换元法和二次函数的图象和性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题22（12分）已知函数f（x）2sin（x+）（0，|）的部分图象如图所示（1）求f（x）的解析式；（2）将yf（x）的图象向左平移个单位，得到yg（x）的图象若函数yg（mx）（m0）在区间，上是增函数，求实数m的取值范围；（3）已知A，B，C是ABC的三个内角，且f（
32、）1，sinAsinBcos2，BC边上的中线AP的长为，试判断ABC的形状，并求ABC的面积【分析】（1）由函数图象可得A，再由周期公式求得，利用五点作图的第二点求解，则函数解析式可求；（2）求出平移后yg（x）的解析式，结合函数yg（mx）（m0）在区间，上是增函数列式求实数m的取值范围；（3）由f（）1求得A，结合sinAsinBcos2求得B的值，进一步利用余弦定理求出三角形的边长，进一步利用三角形的面积公式求出结果【解答】解：（1）根据函数f（x）2sin（x+）（0，|）的部分图象，可得A2，+，2，再根据五点法作图可得2+，解得，函数f（x）2sin（2x）；（2）将yf（x）的
33、图象向左平移个单位，得到yg（x）f（x+）2sin2x 的图象；若函数yg（mx）（m0）在区间，上是增函数，则，解得0m；（3）由f（）1，得2sin（A）1，即sin（A），A（），A，即A由sinAsinBcos2，整理得：2sinAsinB1cos（AB），cos（AB）1，解得：AB，则ABC为等腰三角形由于AB，则C，BC上的中线AP的长为设AC2x，则AB2x，CPxBP，在APC中，利用余弦定理：AC2AP2+CP22APCPcosAPC，整理得：，同理在ABP中，利用余弦定理：AB2AP2+BP22APBPcosAPB，整理得：，+得：16x214+2x2，解得：x1即：ACBC2，AB2，ACABsinA【点评】本题考查三角函数关系式的恒等变换，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，考查计算能力，是中档题
