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三年高考(2016-2018)数学(理科)真题分类解析:专题04-函数性质与应用

1、专题 04 函数性质与应用 考纲解读明方向考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度1.函数的单调性及最值理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义2.函数的奇偶性 了解函数奇偶性的含义,会判断简单的函数的奇偶性3.函数的周期性 了解函数周期性的含义选择题、填空题、 分析解读1.考查函数的单调区间的求法及单调性的应用,如应用单调性求值域、比较大小或证明不等式,运用定义或导数判断或证明函数的单调性等.2.借助数形结合的思想解题.函数的单调性、周期性、奇偶性的综合性问题是高考热点,应引起足够的重视. 3.本节内容在高考中分值为 5 分左右,属于中档题.命题探究练扩展2018 年高考全景展示1 【20

2、18 年理数全国卷 II】 已知 是定义域为 的奇函数,满足 若,则 A. B. 0 C. 2 D. 50【答案】C【解析】分析:先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期,再根据周期以及对应函数值求结果.详解:因为 是定义域为 的奇函数,且 ,所以,因此,因为,所以 ,从而 ,选 C.点睛:函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解2 【2018 年江苏卷】函数 满足 ,且在区间 上,则 的值为_【答案】点睛:(1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现

3、的形式时,应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 3.【2018 年理新课标 I 卷】已知函数 ,则 的最小值是_【答案】【解析】分析:首先对函数进行求导,化简求得 ,从而确定出函数的单调区间,减区间为 ,增区间为 ,确定出函数的最小值点,从而求得 代入求得函数的最小值.详解: ,所以当 时函数单调减,当 时函数单调增,从而得到函数的减区间为 ,函数的增区间为 ,所以当 时,函数 取得最小值,此时,所以 ,故答案是 .点睛:该题考查的是有关应用导数研究函数

4、的最小值问题,在求解的过程中,需要明确相关的函数的求导公式,需要明白导数的符号与函数的单调性的关系,确定出函数的单调增区间和单调减区间,进而求得函数的最小值点,从而求得相应的三角函数值,代入求得函数的最小值.2017 年高考全景展示1.【2017 天津,理 6】已知奇函数 在 R 上是增函数, .若 ,()fx()gxf2(log5.1)a, ,则 a,b,c 的大小关系为( )0.8(2)bg(3)cg(A) (B) (C) (D)abacbca【答案】 C【解析】因为 是奇函数且在 上是增函数,所以在 时, ,()fxR0x()0fx从而 是 上的偶函数,且在 上是增函数,()g0,),2

5、2lo5.1(lg.)a,又 ,则 ,所以即 ,0.8482lo5.130.82log5.13,.2()(l.)(3g所以 ,故选 Cbac【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题,指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数,借助指数函数和对数函数的图象,利用函数的单调性进行比较大小,特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小,还可以解不等式.2.【2017 课标 3,理 15】设函数 则满足 的 x 的取值范围是10()2xf, , , 1()2fx_.【答案】 1,4写成分段函数的形式: ,132,012,xxgxff 函数 在区间 三段区间内

6、均单调递增,gx1,0,2且: ,0 011,4据此 x 的取值范围是: .1,4【考点】 分段函数;分类讨论的思想【名师点睛】(1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现 f(f(a)的形式时,应从内到外依次求值 .(2)当给出函数值求自变量的值时,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.3.【2017 山东,理 15】若函数 xef( 2.718 是自然对数的底数)在 fx的定义域上单调递增,则称函数 fx具有 M性质.下列函数中所有具有 M性质的

7、函数的序号为 . 2xf 3xf 3fx 2fx【答案】 2xxef,令 2xge,则10xge , 2xxef在 R上单调递增,故2fx具有 性质【考点】1.新定义问题.2.利用导数研究函数的单调性.【名师点睛】1.本题考查新定义问题,属于创新题,符合新高考的走向它考查学生的阅读理解能力,接受新思维的能力,考查学生分析问题与解决问题的能力,新定义的概念实质上只是一个载体,解决新问题时,只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可2.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数 f(x)的定义域( 定义域优先);(2)求导函数 f(x);(3)在函数 f(x)的定义域内求不等式 f(x)0

8、 或 f(x)0 的解集(4)由 f(x)0( f(x)0)的解集确定函数 f(x)的单调增(减)区间若遇不等式中带有参数时,可分类讨论求得单调区间3.由函数 f(x)在(a,b)上的单调性,求参数范围问题,可转化为 f(x)0(或 f(x)0)恒成立问题,要注意“”是否可以取到4.【2017 浙江,17】已知 R,函数 在区间1 ,4上的最大值是 5,则 的axf|4|)( a取值范围是_ 【答案】 9(,2【解析】试题分析: ,分类讨论:41,5xx当 时, ,5a42faax函数的最大值 ,舍去;924,当 时, ,此时命题成立;5fxx当 时, ,则:5amax4,aa或: ,解得:

9、或4592综上可得,实数 的取值范围是 a9,2【考点】基本不等式、函数最值【名师点睛】本题利用基本不等式,由 ,通过对解析式中绝对值号的处理,41,5xx进行有效的分类讨论:当 ; ; ,问题的难点最要在于对分界点的确认5aa及讨论上,属难题解题时,应仔细对各个情况进行逐一讨论5.【2017 江苏,11】已知函数 , 其中 e 是自然对数的底数. 若31()2exfx,2(1)()0faf则实数 的取值范围是 .【答案】 ,2【解析】因为 ,所以函数 是奇函数,31()2e()xfxf()fx因为 ,所以数 在 上单调递增,2)e0xfxR又 ,即 ,所以 ,即 ,1)0(fa2()(1af

10、f21a210a解得 ,故实数 的取值范围为 .2,【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为 的形式,然()()fgxfh后根据函数的单调性去掉“ ”,转化为具体的不等式(组),此时要注意 与 的取值应在f外层函数的定义域内2016 年高考全景展示1.【2016 年高考北京理数】已知 , ,且 ,则( )xyR0xyA.B. C.D.10xysin01()2ln0xy【答案】C考点: 函数性质【名师点睛】函数单调性的判断:(1)常用的方法有:定义法、导数法、图象法及复合函数法(2)两个增(减) 函数的和仍为增(减) 函数;一个增(减) 函数与一个减

11、( 增)函数的差是增(减)函数;(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.2.【2016 高考新课标 2 理数】已知函数 满足 ,若函数 与()fxR()2()fxf1xy图像的交点为 则 ( )()yfx12(,),(),mxyy1()iiiy(A)0 (B) (C) (D)24m【答案】C【解析】试题分析:由于 ,不妨设 ,与函数 的交点为2fxf1fx1xy,故 ,故选 C.1,2,0121y考点: 函数图象的性质【名师点睛】如果函数 , ,满足 ,恒有 ,那么函数的图()fxDx()()faxfb象有对称轴 ;如果函数 , ,

12、满足 ,恒有2abxf(a b) ()f D,那么函数的图象有对称中心.()ff3. 【2016 高考山东理数】已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x0 时, ;当 时,3()1fx1x;当 时, .则 f(6)= ( )()(fxf12x1()2ff(A)2 (B) 1 (C)0 (D)2【答案】D考点:1.函数的奇偶性与周期性;2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性,是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题,关键在于利用分段函数的概念,发现周期函数特征,进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.4.【201

13、6 年高考四川理数】已知函数 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,当 0x1 时,()fx,则 = .()4xf5()(12ff【答案】-2【解析】试题分析:因为函数 是定义在 上周期为 2 的奇函数,所以()fxR,所以 ,即 ,(1)(,12(1)ff f()1f()0f,所以 .25)()42ffff 52ff考点:函数的奇偶性和周期性.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性,周期性,属于基本题,在求值时,只要把 和 ,5()2f(1f利用奇偶性与周期性化为 上的函数值即可(0,1)5.【2015 高考新课标 1,理 13】若函数 f(x)= 为偶函数,则 a= 2ln)ax【答案】1【解

14、析】由题知 是奇函数,所以 =2ln()yxa22l()ln()x,解得 =1.2ln()0ax【考点定位】函数的奇偶性【名师点睛】本题主要考查已知函数奇偶性求参数值问题,常用特值法,如函数是奇函数,在 x=0处有意义,常用 f(x)=0,求参数,否则用其他特值,利用特值法可以减少运算.6.【2016 高考天津理数】已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(- ,0)上单调递增.若实数a 足,则 a 的取值范围是_.1(2)(2)ff【答案】 3,考点:利用函数性质解不等式【名师点睛】不等式中的数形结合问题,在解题时既要想形又要以形助数,常见的“以形助数”的方法有:(1)借助数轴,运用数轴的有关概念,解决与绝对值有关的问题,解决数集的交、并、补运算非常有效(2)借助函数图象性质,利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法,需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化