1、专题 04 函数性质与应用 考纲解读明方向考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度1.函数的单调性及最值理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义2.函数的奇偶性 了解函数奇偶性的含义,会判断简单的函数的奇偶性3.函数的周期性 了解函数周期性的含义选择题、填空题、 分析解读1.考查函数的单调区间的求法及单调性的应用,如应用单调性求值域、比较大小或证明不等式,运用定义或导数判断或证明函数的单调性等.2.借助数形结合的思想解题.函数的单调性、周期性、奇偶性的综合性问题是高考热点,应引起足够的重视. 3.本节内容在高考中分值为 5 分左右,属于中档题.命题探究练扩展2018 年高考全景展示1 【20
2、18 年理数全国卷 II】 已知 是定义域为 的奇函数，满足 若，则 A. B. 0 C. 2 D. 50【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为 是定义域为 的奇函数，且 ，所以,因此，因为，所以 ，从而 ，选 C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解2 【2018 年江苏卷】函数 满足 ，且在区间 上，则 的值为_【答案】点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现
3、的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 3.【2018 年理新课标 I 卷】已知函数 ，则 的最小值是_【答案】【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得 ，从而确定出函数的单调区间，减区间为 ，增区间为 ，确定出函数的最小值点，从而求得 代入求得函数的最小值.详解： ，所以当 时函数单调减，当 时函数单调增，从而得到函数的减区间为 ，函数的增区间为 ，所以当 时，函数 取得最小值，此时，所以 ，故答案是 .点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数
4、的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.2017 年高考全景展示1.【2017 天津，理 6】已知奇函数 在 R 上是增函数， .若 ，()fx()gxf2(log5.1)a， ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）0.8(2)bg(3)cg（A） （B） （C） （D）abacbca【答案】 C【解析】因为 是奇函数且在 上是增函数，所以在 时， ，()fxR0x()0fx从而 是 上的偶函数，且在 上是增函数，()g0,)，2
5、2lo5.1(lg.)a，又 ，则 ，所以即 ，0.8482lo5.130.82log5.13，.2()(l.)(3g所以 ，故选 Cbac【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.2.【2017 课标 3，理 15】设函数 则满足 的 x 的取值范围是10()2xf， ， ， 1()2fx_.【答案】 1,4写成分段函数的形式： ，132,012,xxgxff 函数 在区间 三段区间内
6、均单调递增，gx1,0,2且： ，0 011,4据此 x 的取值范围是： .1,4【考点】 分段函数；分类讨论的思想【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值 .(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.3.【2017 山东，理 15】若函数 xef（ 2.718 是自然对数的底数）在 fx的定义域上单调递增，则称函数 fx具有 M性质.下列函数中所有具有 M性质的
7、函数的序号为 . 2xf 3xf 3fx 2fx【答案】 2xxef，令 2xge，则10xge ， 2xxef在 R上单调递增，故2fx具有 性质【考点】1.新定义问题.2.利用导数研究函数的单调性.【名师点睛】1.本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可2.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数 f(x)的定义域( 定义域优先)；(2)求导函数 f(x)；(3)在函数 f(x)的定义域内求不等式 f(x)0
8、 或 f(x)0 的解集(4)由 f(x)0( f(x)0)的解集确定函数 f(x)的单调增(减)区间若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间3.由函数 f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为 f(x)0(或 f(x)0)恒成立问题，要注意“”是否可以取到4.【2017 浙江，17】已知 R，函数 在区间1 ，4上的最大值是 5，则 的axf|4|)( a取值范围是_ 【答案】 9(,2【解析】试题分析： ，分类讨论：41,5xx当 时， ，5a42faax函数的最大值 ，舍去；924,当 时， ，此时命题成立；5fxx当 时， ，则：5amax4,aa或： ，解得：
9、或4592综上可得，实数 的取值范围是 a9,2【考点】基本不等式、函数最值【名师点睛】本题利用基本不等式，由 ，通过对解析式中绝对值号的处理，41,5xx进行有效的分类讨论：当 ； ； ，问题的难点最要在于对分界点的确认5aa及讨论上，属难题解题时，应仔细对各个情况进行逐一讨论5.【2017 江苏，11】已知函数 , 其中 e 是自然对数的底数. 若31()2exfx,2(1)()0faf则实数 的取值范围是 .【答案】 ,2【解析】因为 ，所以函数 是奇函数，31()2e()xfxf()fx因为 ，所以数 在 上单调递增，2)e0xfxR又 ，即 ，所以 ，即 ，1)0(fa2()(1af
10、f21a210a解得 ，故实数 的取值范围为 .2,【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为 的形式，然()()fgxfh后根据函数的单调性去掉“ ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 与 的取值应在f外层函数的定义域内2016 年高考全景展示1.【2016 年高考北京理数】已知 ， ，且 ，则（ ）xyR0xyA.B. C.D.10xysin01()2ln0xy【答案】C考点： 函数性质【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法(2)两个增(减) 函数的和仍为增(减) 函数；一个增(减) 函数与一个减
11、( 增)函数的差是增(减)函数；(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.2.【2016 高考新课标 2 理数】已知函数 满足 ，若函数 与()fxR()2()fxf1xy图像的交点为 则 （ ）()yfx12(,),(),mxyy1()iiiy（A）0 （B） （C） （D）24m【答案】C【解析】试题分析：由于 ，不妨设 ，与函数 的交点为2fxf1fx1xy，故 ，故选 C.1,2,0121y考点： 函数图象的性质【名师点睛】如果函数 ， ，满足 ，恒有 ，那么函数的图()fxDx()()faxfb象有对称轴 ；如果函数 ， ，
12、满足 ，恒有2abxf(a b) ()f D，那么函数的图象有对称中心.()ff3. 【2016 高考山东理数】已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x0 时， ；当 时，3()1fx1x；当 时， .则 f(6)= （ ）()(fxf12x1()2ff（A）2 （B） 1 （C）0 （D）2【答案】D考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.4.【201
13、6 年高考四川理数】已知函数 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0x1 时，()fx，则 = .()4xf5()(12ff【答案】-2【解析】试题分析：因为函数 是定义在 上周期为 2 的奇函数，所以()fxR，所以 ，即 ，(1)(,12(1)ff f()1f()0f，所以 .25)()42ffff 52ff考点：函数的奇偶性和周期性.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把 和 ，5()2f(1f利用奇偶性与周期性化为 上的函数值即可(0,1)5.【2015 高考新课标 1，理 13】若函数 f(x)= 为偶函数，则 a= 2ln)ax【答案】1【解
14、析】由题知 是奇函数，所以 =2ln()yxa22l()ln()x，解得 =1.2ln()0ax【考点定位】函数的奇偶性【名师点睛】本题主要考查已知函数奇偶性求参数值问题，常用特值法，如函数是奇函数，在 x=0处有意义，常用 f(x)=0,求参数，否则用其他特值，利用特值法可以减少运算.6.【2016 高考天津理数】已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间（- ，0）上单调递增.若实数a 足，则 a 的取值范围是_.1(2)(2)ff【答案】 3,考点：利用函数性质解不等式【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效(2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化
