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2018-2019学年辽宁省沈阳市五校协作体高一(上)期中数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年辽宁省沈阳市五校协作体高一(上)期中数学试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1(5分)若全集U1,2,3,4且UA2,3,则集合A的真子集共有()A3个B5个C7个D8个2(5分)若函数yf(lnx)的定义域为e,e2,则函数yf(ex)的定义域为()A0,ln2B0,2C1,2De,e23(5分)函数f(x)()|x|+1的值域是()A(0,B(,1C(,D,+)4(5分)下列函数与yx是相同函数的是()AyBCylnexDyelnx5(5分)若方程lnx+3x100的解为x0,则不等式xx0的最大整

2、数解是()A1B2C3D46(5分)下列函数中,既不是奇函数又不是偶函数的是()Ayx2+|x|By2x2xCyDyx23x7(5分)若a0.3,b0.3,clog0.3,则下列结论正确的是()AacbBcbaCcabDabc8(5分)函数f(x)ax2+bx+a2b是定义在a3,2a上的偶函数,则f(a)+f(b)()A3B2C0Da2+b29(5分)函数f(x)lnx2图象是()ABCD10(5分)已知函数f(x)在(,+)上单调递增,则实数a的取值范围为()A(3,0B(3,1C(3,1)D(3,0)11(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1)0,且f(x)在(0,+)上单调递

3、减,则不等式0的解集为()A(,1)(0,1)B(,1)(1,+)C(,e)(0,e)D(,1)12(5分)已知x1、x2分别是函数f(x)ex+x4、g(x)lnx+x4的零点,则ex1+lnx2的值为()Ae2+ln3Be+ln3C3D4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13(5分)已知函数f(x),则ff() 14(5分)已知函数f(x)|2xe|a在R上有两个不同的零点,则实数a的取值范围为 15(5分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,有f(x),则f(x)在R上的解析式为f(x) 16(5分)已知函数f(x)log2(x+),则fln(lg2)+fln(l

4、og210) 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(10分)化简求值:(1)+(1.5)2(2)(lg5)2+lg2lg50+log54log85eln318(12分)已知全集UR,集合Ax|exe,Bx|1log2x3,Cx|a4x2a7(1)求(UA)B;(2)若ACC,求实数a的取值范围19(12分)为了落实国务院“提速降费”的要求,某市移动公司欲下调移动用户消费资费已知该公司共有移动用户10万人,人均月消费50元经测算,若人均月消费下降x%,则用户人数会增加万人(1)若要保证该公司月总收入不减少,试求x的取值范围;(2)为了布局“5G网络”,该公司拟定投入

5、资金进行5G网络基站建设,投入资金方式为每位用户月消费中固定划出2元进入基站建设资金,若使该公司总盈利最大,试求x的值(总盈利资金总收入资金总投入资金)20(12分)已知二次函数f(x)ax2+bx+c,满足f(1+x)f(1x),且不等式f(x)2x的解集为(1,3)(1)求函数f(x)的解析式;(2)已知关于x的方程f(x)txt+4有两个实数根x1、x2,且x10、x22,求实数t的取值范围21(12分)已知函数f(x),设F(x)f(x)+a(1)已知F(x)是定义在R上的奇函数,试求实数a的值并判断F(x)的单调性(需写出具体的判断过程);(2)若f(k3x)+f(3x9x2)2f(

6、0)对任意xR恒成立,试求实数k的取值范围22(12分)已知函数f(x)ln(ex+1)+kx是偶函数(1)求实数k的值;(2)若关于x的不等式5ef(x)2(log2)log2(2t)在x1,0时有解,试求实数t的取值范围2018-2019学年辽宁省沈阳市五校协作体高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1(5分)若全集U1,2,3,4且UA2,3,则集合A的真子集共有()A3个B5个C7个D8个【分析】先求出集合A,再由集合A中所含元素的个数求集合A的真子集的个数【解答】解:全集U1,2,

7、3,4且UA2,3,A1,4,集合A的真子集共有2213个故选:A【点评】若集合A中含有n个元素,则集合A中有2n1个元素2(5分)若函数yf(lnx)的定义域为e,e2,则函数yf(ex)的定义域为()A0,ln2B0,2C1,2De,e2【分析】由已知函数的定义域求得f(x)的定义域,再由ex在f(x)的定义域内求得x的范围得答案【解答】解:由函数yf(lnx)的定义域为e,e2,得exe2,则lnx1,2,由1ex2,得0xln2函数yf(ex)的定义域为0,ln2故选:A【点评】本题考查函数的定义域及其求法,关键是掌握该类问题的求解方法,是基础题3(5分)函数f(x)()|x|+1的值

8、域是()A(0,B(,1C(,D,+)【分析】可求出|x|+11,根据指数函数的单调性及值域,即可求出f(x)的值域【解答】解:|x|+11;f(x)的值域为故选:A【点评】考查函数值域的概念及求法,以及指数函数的单调性及值域4(5分)下列函数与yx是相同函数的是()AyBCylnexDyelnx【分析】根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,这两个函数是同一函数,进行判断即可【解答】解:对于A,y|x|,与yx(xR)的对应关系不同,不是同一函数;对于B,定义域满足x0,与yx(xR)的定义域不同,不是同一函数;对于C,ylnexx(xR),与yx(xR)的定义域相同,对应关系也相同,是同

9、一函数;对于D,定义域满足x0,与yx(xR)的定义域不同,不是同一函数故选:C【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题,解题时应判断它们的定义域是否相同,对应关系是否也相同,是基础题5(5分)若方程lnx+3x100的解为x0,则不等式xx0的最大整数解是()A1B2C3D4【分析】根据题意,由函数零点的定义,函数f(x)lnx+3x10的零点为x0,由二分法分析可得函数f(x)在(2,3)上存在零点,即2x03,分析可得等式xx0的最大整数解,即可得答案【解答】解:根据题意,若方程lnx+3x100的解为x0,则函数f(x)lnx+3x10的零点为x0,而函数f(x)lnx+3x

10、10为增函数,又由f(2)ln2+910ln210,f(3)ln3+170,则函数f(x)在(2,3)上存在零点,即2x03,则不等式xx0的最大整数解为2;故选:B【点评】本题考查函数的零点判定定理,关键是利用二分法求出函数零点所在的范围,属于基础题6(5分)下列函数中,既不是奇函数又不是偶函数的是()Ayx2+|x|By2x2xCyDyx23x【分析】根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性,综合即可得答案【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于A,f(x)x2+|x|,有f(x)x2+|x|f(x),则函数f(x)为偶函数,不符合题意;对于B,f(x)2x2x,有f(x)2x2x(2x2x)

11、f(x),则函数f(x)为奇函数,不符合题意;对于C,f(x)4(2x2x),有f(x)4(2x2x)4(2x2x)f(x),则函数f(x)为奇函数,不符合题意;对于D,f(x)x23x,有f(x)f(x)且f(x)f(x),则函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,符合题意;故选:D【点评】本题考查函数奇偶性的判断,关键是掌握函数奇偶性的定义,属于基础题7(5分)若a0.3,b0.3,clog0.3,则下列结论正确的是()AacbBcbaCcabDabc【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【解答】解:0a0.301,b0.30.301,clog0.3log10,cab故选:C【点评】

12、本题考查三个数的大小的比较,考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力,是基础题8(5分)函数f(x)ax2+bx+a2b是定义在a3,2a上的偶函数,则f(a)+f(b)()A3B2C0Da2+b2【分析】根据函数f(x)ax2+bx+a2b是定义在a3,2a上的偶函数,即可求出a,b,从而得出f(x)的解析式,进而求出f(a)+f(b)的值【解答】解:f(x)ax2+bx+a2b是定义在a3,2a上的偶函数;a1,b0;f(x)x2+1;f(a)+f(b)f(1)+f(0)2+13故选:A【点评】考查偶函数的定义,偶函数定义域的对称性,已知函数求值的方法9(5分)函数f(x

13、)lnx2图象是()ABCD【分析】函数f(x)lnx2是偶函数,图象关于y轴对称,函数f(x)lnx2的定义域是x|x0,由此利用排除法能求出结果【解答】解:函数f(x)lnx2是偶函数,图象关于y轴对称,由此排除C和D,函数f(x)lnx2的定义域是x|x0,选项A错误故选:B【点评】本题考查函数的图象的判断,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题10(5分)已知函数f(x)在(,+)上单调递增,则实数a的取值范围为()A(3,0B(3,1C(3,1)D(3,0)【分析】根据f(x)在(,+)上单调递增,列出不等式组,由此求得实数a的取值范围【解答】解:函数

14、f(x), 在(,+)上单调递增,求得3a1,故选:C【点评】本题主要考查函数的单调性的性质,分段函数的单调性的应用,考查转化思想以及计算能力11(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1)0,且f(x)在(0,+)上单调递减,则不等式0的解集为()A(,1)(0,1)B(,1)(1,+)C(,e)(0,e)D(,1)【分析】根据题意,由奇函数的性质即函数的单调性综合分析可得在(0,1)(,1)上,f(x)0,在(1,+)(1,0)上,f(x)0;进而分析可得00或,分析可得不等式的解集,即可得答案【解答】解:根据题意,奇函数f(x)满足f(1)0,则f(1)0,又由f(x)在(0,+)

15、上单调递减,则在(0,1)上,f(x)0,在(1,+)上,f(x)0,又由函数f(x)为奇函数,则在(1,0)上,f(x)0,在(,1)上,f(x)0,即在(0,1)(,1)上,f(x)0,在(1,+)(1,0)上,f(x)0;不等式00或,解可得:x1或x1;即不等式的解集为(,1)(1,+);故选:B【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,涉及抽象不等式的解法,属于基础题12(5分)已知x1、x2分别是函数f(x)ex+x4、g(x)lnx+x4的零点,则ex1+lnx2的值为()Ae2+ln3Be+ln3C3D4【分析】根据题意,由函数零点的定义可得函数f(x)ex+x4的零点为

16、函数yex与y4x的交点的横坐标,则两个函数图象的交点为(x1,),函数g(x)lnx+x4的零点为函数ylnx与y4x的交点的横坐标,则两个函数图象的交点为(x2,lnx2),由反函数的性质分析可得点(x1,)和(x2,lnx2)也关于直线yx对称,即可得x1lnx2,则有ex1+lnx2,计算可得答案【解答】解:根据题意,已知x1、x2分别是函数f(x)ex+x4、g(x)lnx+x4的零点,函数f(x)ex+x4的零点为函数yex与y4x的交点的横坐标,则两个函数图象的交点为(x1,),函数g(x)lnx+x4的零点为函数ylnx与y4x的交点的横坐标,则两个函数图象的交点为(x2,ln

17、x2),又由函数yex与函数ylnx互为反函数,其图象关于直线yx对称,而直线y4x也关于直线yx对称,则点(x1,)和(x2,lnx2)也关于直线yx对称,则有x1lnx2,则有ex1+lnx2ex1+x14,故选:D【点评】本题考查函数零点的定义,注意分析f(x)与g(x)的关系,属于基础题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13(5分)已知函数f(x),则ff()【分析】根据题意,由函数的解析式计算f()的值,进而计算ff()即可得答案【解答】解:根据题意,函数f(x),则f()log2log4,则ff();故答案为:【点评】本题考查函数值的计算,涉及分段函数的解析式,属于基

18、础题14(5分)已知函数f(x)|2xe|a在R上有两个不同的零点,则实数a的取值范围为(1,e)【分析】作函数y|2xe|的图象,结合图象解得实数a的取值范围【解答】解:函数f(x)|2xe|a在R上有两个不同的零点,即|2xe|a0有2个解,即y|2xe|与ya有2个交点,作函数y|2xe|的图象如下:结合图象可知,方程|2xe|a有两个不同的实数解,x时,|2xe|e,实数k的取值范围是(0,e)故答案为:(0,e)【点评】本题考查了学生的作图能力及图象的变换的应用,同时考查了数形结合的思想15(5分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,有f(x),则f(x)在R上的解析式为f

19、(x)【分析】当x0时,f(x)0,当x0时,f(x),即f(x),由此能求出f(x)在R上的解析式【解答】解:f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,有f(x),当x0时,f(x)0,当x0时,f(x),即f(x),f(x)在R上的解析式为:f(x)故答案为:【点评】本题考查函数解析式的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题16(5分)已知函数f(x)log2(x+),则fln(lg2)+fln(log210)3【分析】观察出ln(lg2)与ln(log210)互为相反数,再根据logaMNlogaM+logaN得结果【解答】解:设mln(lg2),则

20、ln(log210)m,f(m)+f(m)log2(m+)+log2(m+)log283故答案为:3【点评】本题主要考查对数的运算性质,考查观察和应用能力,属基础题三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(10分)化简求值:(1)+(1.5)2(2)(lg5)2+lg2lg50+log54log85eln3【分析】(1)利用指数运算性质即可得出(2)利用对数运算性质及其lg5+lg21即可得出【解答】解:(1)原式1+(2)原式(lg5)2+lg2(lg5+1)+3lg5(lg5+lg2)+lg2+2lg5+lg2+23【点评】本题考查了指数与对数运算性质,考查了推理

21、能力与计算能力,属于基础题18(12分)已知全集UR,集合Ax|exe,Bx|1log2x3,Cx|a4x2a7(1)求(UA)B;(2)若ACC,求实数a的取值范围【分析】(1)可求出,然后进行补集,交集的运算即可;(2)根据ACC可得出CA,从而可讨论C是否为空集:C时,a42a7;C时,这样即可解出a的取值范围【解答】解:(1);UAx|x1,或x1;(UA)Bx|1x8;(2)ACC;CA;C时,a42a7;a3;C时,;3a4;综上,实数a的取值范围为(,4)【点评】考查指数函数、对数函数的单调性,交集和补集的运算,子集的定义19(12分)为了落实国务院“提速降费”的要求,某市移动公

22、司欲下调移动用户消费资费已知该公司共有移动用户10万人,人均月消费50元经测算,若人均月消费下降x%,则用户人数会增加万人(1)若要保证该公司月总收入不减少,试求x的取值范围;(2)为了布局“5G网络”,该公司拟定投入资金进行5G网络基站建设,投入资金方式为每位用户月消费中固定划出2元进入基站建设资金,若使该公司总盈利最大,试求x的值(总盈利资金总收入资金总投入资金)【分析】(1)根据题意,设该公司的总收入为W万元,则有W50(10+)(1),进而有50(10+)(1)1050,解可得x的取值范围,即可得答案;(2)设该公司盈利为y万元,则有y50(10+)(1)2(10+)+x+480,结合

23、二次函数的性质分析可得答案【解答】解:(1)根据题意,设该公司的总收入为W万元,则W50(10+)(1),0x100,若该公司月总收入不减少,则有50(10+)(1)1050,解可得:0x20;(2)设该公司盈利为y万元,则y50(10+)(1)2(10+)+x+480,0x100,分析可得:当x8时,该公司的总盈利最大【点评】本题考查函数的实际应用,关键是将原问题转化为函数的最值问题20(12分)已知二次函数f(x)ax2+bx+c,满足f(1+x)f(1x),且不等式f(x)2x的解集为(1,3)(1)求函数f(x)的解析式;(2)已知关于x的方程f(x)txt+4有两个实数根x1、x2,

24、且x10、x22,求实数t的取值范围【分析】(1)求出函数的对称轴,得到a,b的关系,根据方程的根,求出a,b,c的值即可;(2)根据方程的根,得到关于t的不等式组,解出即可【解答】解:(1)由f(1+x)f(1x)知:f(x)关于x1对称,故1,即b2a,又f(x)2x的解集是(1,3),即ax2(2a+2)x+c0的两根是1,3,即,解得:,故f(x)x22x+3;(2)x22x+3txt+4,即x2(2+t)x+t10的实根x10,x22,故,解得:1t1【点评】本题考查了函数的单调性二次函数的性质,考查函数的对称性以及方程的根,考查转化思想,是一道中档题21(12分)已知函数f(x),

25、设F(x)f(x)+a(1)已知F(x)是定义在R上的奇函数,试求实数a的值并判断F(x)的单调性(需写出具体的判断过程);(2)若f(k3x)+f(3x9x2)2f(0)对任意xR恒成立,试求实数k的取值范围【分析】(1)由题意可得F(0)0,解得a的值;再由指数函数的单调性,可得F(x)的单调性;(2)由f(0),可得F(k3x)+F(3x9x2)0,运用F(x)的奇偶性和单调性,结合参数分离和基本不等式可得所求范围【解答】解:(1)F(x)f(x)+aa+为定义域R上的奇函数,可得F(0)0,即a+0,即a;即有F(x)+在R上递减,理由:由t2x+1在R上递增,F(x)在t1上递减,可

26、得F(x)在R上递减;(2)由f(0),f(k3x)+f(3x9x2)2f(0)对任意xR恒成立,可得f(k3x)+f(3x9x2)0,即为F(k3x)+F(3x9x2)0,即有F(k3x)F(3x9x2)F(2+9x3x),可得k3x2+9x3x恒成立,即有k3x+1,由3x+12121,当且仅当3x,即xlog3时,上式取得最小值,可得k21【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用,考查不等式恒成立问题解法,注意运用函数的性质和转化思想,考查运算能力,属于中档题22(12分)已知函数f(x)ln(ex+1)+kx是偶函数(1)求实数k的值;(2)若关于x的不等式5ef(x)2(lo

27、g2)log2(2t)在x1,0时有解,试求实数t的取值范围【分析】(1)根据函数的奇偶性求出k的值即可;(2)问题等价于5(ex+1)2(log2)log2(2t),求出5(ex+1)10,得到关于t的不等式,解出即可【解答】解:(1)函数f(x)ln(ex+1)+kx是偶函数,f(x)f(x),即ln(ex+1)+kxln(ex+1)kx0,即ln2kx,化简得x2kx,解得:k;(2)5ef(x)2(log2)log2(2t),等价于5(ex+1)2(log2)log2(2t),5(ex+1)递增,5(ex+1)10,故5(log2)log2(2t),解得:2log2t4,故t16【点评】本题考查了函数的奇偶性问题,考查对数函数的性质以及转化思想,是一道中档题