1、高中数学考点14 三角恒等变换1掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.2掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.一、两角和与差的三角函数公式1两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）：（2）：（3）：（4）：（5）：（6）：2二倍角公式（1）：（2）：（3）：3公式的常用变形（1）；（2）降幂公式：；（3）升幂公式：；（4）辅助角公式：，其中，二、简单的三角恒等变换1半角公式（1）（2）（3）【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：2公式的常见变形（和差化积、积化和差公式）（1）积化和差公式：；.（2）和差化积公式：；.考向一 三角函
2、数式的化简1化简原则（1）一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；（2）二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；（3）三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等2化简要求（1）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；（2）式子中的分母尽量不含根号.3化简方法（1）切化弦；（2）异名化同名；（3）异角化同角；（4）降幂或升幂典例1 化简：sin+cos-12sin2+-sin.【解析】原式=sin+cos-122cos2+2sin2+-2=sin+cos-cos+sin=sin+-=sin.【方法技巧
3、】(1)三角化简的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化(2)三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值(3)在化简时要注意角的取值范围.1化简ABCD考向二 三角函数的求值问题1给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解.2给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：（1）先化简所求式子（2）观察已知条件与所求式子之
4、间的联系(从三角函数名及角入手)（3）将已知条件代入所求式子，化简求值3给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：（1）已知正切函数值，则选正切函数（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好.4常见的角的变换（1）已知角表示未知角例如：，.（2）互余与互补关系例如：，.（3）非特殊角转化为特殊角例如：15=4530，75=4530.典例2 求下列各式的值：（1）cos+cos-2sincos;（2）sin 138-cos 12+sin 54.【解析】（1）cos+cos-2s
5、incos=coscos=2coscoscos=coscos=0.（2）sin 138-cos 12+sin 54=sin 42-cos 12+sin 54=sin 42-sin 78+sin 54=-2cos 60sin 18+sin 54=sin 54-sin 18=2cos 36sin 18=.【名师点睛】“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.2计算的结果为ABCD典例3 已知均为锐角，满足，则ABCD【答案】B【解析】由已知、均为锐角，又cos（+）coscossinsin，+故选：B【名师点睛】解答给值
6、求角问题的一般思路：求角的某一个三角函数值，此时要根据角的范围合理地选择一种三角函数；确定角的范围，此时注意范围越精确越好；根据角的范围写出所求角的值3已知，且.（1）求的值；（2）求.典例4 已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），又，.（2）由（1）知：，由，得，.【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换和求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4已知，且 （1）求的值；（2）若，求的值.考向三 三角恒等变换的综合应用1与三角函数的图象及性质相结合的综合问题（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y=Asin(x)t或y=A
7、cos(x)t的形式（2）利用公式求周期（3）根据自变量的范围确定x的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(x)t或y=Acos(x)t的单调区间2与向量相结合的综合问题三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则ab=x1x2y1y2，abx1y2=x2y1，abx1x2y1y2=0，把向量形式化为坐标运算后，接
8、下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用.3与解三角形相结合的综合问题（1）利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；（2）利用正、余弦定理把边的关系化成角的关系再用三角恒等变换化简求解【注】此类题中的角是在三角形中，每个角范围限制在(0，)内，如果是锐角三角形，则需要限制各个角均在内角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意.典例5 已知函数f(x)=43sinxcosx+sin2x-3cos2x+1.（1）求函数f(x)的对称中心及最小正周期；（2）的外接圆直径为33，角A，B，C所对的边分别为a，b
9、，c.若f(6)=23a，且acosB+bsinB=c，求sinB的值.【解析】（1）.由，得最小正周期为.令，得，故对称中心为（kZ）.（2）f(6)=2=23a，a=3.asinA=2R，2R=33，sinA=33，acosB+bsinB=c，sinAcosB+sin2B=sinC ，又A+B+C=，sinAcosB+sin2B=sin(A+B)，即sinAcosB+sin2B=sinAcosB+cosAsinB，即sin2B=cosAsinB，B(0，)，sinB0，sinB=cosA，sinB0，cosA0，cosA=63.sinB=63.典例6 已知向量，且共线，其中(0,2).（1
10、）求tan(+4)的值；（2）若5cos(-)=35cos，02，求的值.【解析】（1），sin-2cos=0，即tan=2.（2）由（1）知tan=2，又(0,2)，sin=255,cos=55，5cos(-)=35cos，5(coscos+sinsin)=35cos，即5cos+25sin=35cos，cos=sin，即tan=1，又0b,sinAsinC=12，的周长为3+3，求的面积.1（2019年高考全国卷理数）已知(0，)，2sin2=cos2+1，则sin=A B C D2（2019年高考全国卷文数）tan255=A2B2+C2D2+3（2018高考全国卷文理数）若，则ABCD4
11、（2017高考全国卷文数）已知，则=AB CD5（2017高考山东卷文数）已知，则A B C D6（2019高考全国卷文数）已知a（0，），2sin2=cos2+1，则sin=ABCD7（2018高考全国文数）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，则ABCD8（2018高考全国文数）已知，则_9（2017高考全国文数）已知，tan =2，则= .10（2017高考江苏卷）若则 11（2019高考江苏卷）已知，则的值是 .12（2018新课标全国理科）已知，则_13（2019高考浙江卷）设函数.（1）已知函数是偶函数，求的值；（2）求函数的值域14（2018高考浙江卷
12、）已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）（1）求sin（+）的值；（2）若角满足sin（+）=，求cos的值15（2018江苏）已知为锐角，（1）求的值；（2）求的值变式拓展1【答案】A【解析】因为，所以原式.2【答案】C【解析】，故选：C.3【解析】（1）因为，所以，所以.（2）因为，所以，又，所以，所以，所以，又，所以.4【解析】（1），且， 于是；（2）,，于是. 5【答案】（1）；（2）.【解析】（1）已知，由于，由于，所以，故（2）若，且、的终边不在轴上，故，即，整理得，化简为，即【名师点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，三角函数关系式的恒等
13、变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.考点冲关1【答案】B【解析】根据诱导公式，化简得=.所以选B.【名师点睛】本题考查了三角函数诱导公式、正弦函数差角公式的综合应用，属于基础题.利用诱导公式将三角函数式化简为正弦的差角公式形式，再合并后求得三角函数值即可.2【答案】A【解析】因为，所以.故选A.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中利用三角函数的诱导公式和余弦函数的倍角公式，准确化简运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.由三角函数的诱导公式，化简得，即可求解.3【答案】B【解析】，故选B.【名师点睛】本题考查三角
14、函数中二倍角公式的运用.熟练掌握二倍角公式是解题的关键.4【答案】D【解析】由题意知，则，根据两角和的正弦公式得 ，所以，故正确答案为D5【答案】A【解析】因为向量，所以，所以.所以.故选A.【名师点睛】由可得两向量坐标之间的关系，化简可得，进而根据两角差的正切公式可求得的值.平面向量平行应注意两个结论：（1）数量关系（共线向量定理）：若（），则；（2）若，则.6【答案】C【解析】，则，则，所以，因此，故选C.【名师点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点：利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负；利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式
15、求解.7【答案】C【解析】由题意得y=cos2x-sin2x=2cos(2x+4)，令2x+4=k,kZ，得x=-8+k2,kZ，当k=0时，故是函数图象的一条对称轴故选C8【答案】D【解析】，从而sincos=18，则，故选D9【答案】【解析】因为cos=-55且2,，所以tan=-2，所以tan2=2-21-22=4310【答案】 【解析】 .11【答案】， 【解析】因为，且，所以，由，则，又因为，则，所以【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，其中解答中熟记两角和的余弦公式，以及合理应用三角函数的基本关系式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题12【答案】【解
16、析】在 中， ，则 ， ，故答案为.13【答案】【解析】由，化简可得，由，得,又，所以，故，此时：.14【答案】（1）；（2）1.【解析】（1）.（2）.15【解析】（1）因为点P的横坐标为277，P在单位圆上，为锐角，所以cos277， 所以cos22cos2117 （2）因为点Q的纵坐标为3314，所以sin3314 又因为为锐角，所以cos1314 因为cos277，且为锐角，所以sin217，因此sin22sincos437， 所以sin(2) 4371314-173314=32 因为为锐角，所以02又cos20，所以022，又为锐角，所以222，所以23 16【答案】（1）；（2）.
17、【解析】（1）由，得，根据余弦定理得；（2）由，得，17【答案】（1），；（2）.【解析】（1），令，即， 则，所以的单调递增区间为，.（2），故.18【解析】（1）因为bcosA=a-2ccos-B，由正弦定理得sinBcosA=sinA-2sinC-cosB，所以sinA+B=2sinCcosB，所以cosB=12，且B0,，所以B=3.（2）因为A+C=23，所以sinAsin23-A=sinA32cosA+12sinA=12，所以3sinAcosA=cos2A，cosA3sinA-cosA=0，cosA=0或tanA=33，解得A=6或2，因为ab，所以A=2，所以C=6，所以c=a2
18、,b=32a，因为a+b+c=3+3，所以a=2,c=1,b=3，所以SABC=12bcsinA=32.直通高考1【答案】B【解析】，又，又，故选B【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案2【答案】D【解析】=故选D.【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力首先应用诱导公式，将问题转化
19、成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查3【答案】B【解析】cos2=1-2sin2=1-29=79，故选B.4【答案】A【解析】.所以选A.【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度：（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.（3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用或变用公式”、“通分或约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.5【答案】
20、D【解析】由得.故选D.【名师点睛】（1）三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征（2）三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点6【答案】B【解析】，又，又，.故选B【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案7【答案】B【解析】根据条件，
21、可知O,A,B三点共线，从而得到b=2a，因为cos2=2cos2-1=2(1a2+1)2-1=23，解得a2=15，即a=55，所以a-b=a-2a=55.故选B.8【答案】32【解析】，解方程得tan=32.9【答案】【解析】由得，又，所以，因为，所以，因为，所以.10【答案】【解析】故答案为【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异一般有如下两种思路：适当变换已知式，进而求得待求式的值；变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的（3）给值求角：
22、实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角11【答案】【解析】由，得，解得，或.，当时，上式当时，上式=综上，【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.12【答案】【解析】因为，所以所以，因此【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.13【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）因为是偶函数，所以，对任意实数x都有，即，
23、故，所以又，因此或（2）因此，函数的值域是【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.14【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由角的终边过点得，所以.（2）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换.（1）首先利用三角函数的定义求得，然后利用诱导公式，计算sin（+）的值;（2）根据sin（+）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算的值，要注意该值的正负，然后根据，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得cos的值.15【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以因为，所以，因此，（2）因为为锐角，所以又因为，所以，因此因为，所以，因此，【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力