高中数学考点14三角恒等变换
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1、高中数学考点14 三角恒等变换1掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.2掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.一、两角和与差的三角函数公式1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1):(2):(3):(4):(5):(6):2二倍角公式(1):(2):(3):3公式的常用变形(1);(2)降幂公式:;(3)升幂公式:;(4)辅助角公式:,其中,二、简单的三角恒等变换1半角公式(1)(2)(3)【注】此公式不用死记硬背,可由二倍角公式推导而来,如下图:2公式的常见变形(和差化积、积化和差公式)(1)积化和差公式:;.(2)和差化积公式:;.考向一 三角函
2、数式的化简1化简原则(1)一看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,正确使用公式;(2)二看函数名称之间的差异,确定使用的公式,常见的有“切化弦”;(3)三看结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”,“遇到根式一般要升幂”等2化简要求(1)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少;(2)式子中的分母尽量不含根号.3化简方法(1)切化弦;(2)异名化同名;(3)异角化同角;(4)降幂或升幂典例1 化简:sin+cos-12sin2+-sin.【解析】原式=sin+cos-122cos2+2sin2+-2=sin+cos-cos+sin=sin+-=sin.【方法技巧
3、】(1)三角化简的常用方法:异名三角函数化为同名三角函数,异角化为同角,异次化为同次,切化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化(2)三角化简的标准:三角函数名称尽量少,次数尽量低,最好不含分母,能求值的尽量求值(3)在化简时要注意角的取值范围.1化简ABCD考向二 三角函数的求值问题1给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系解题时,要利用观察得到的关系,结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数,从而得解.2给值求值已知三角函数值,求其他三角函数式的值的一般思路:(1)先化简所求式子(2)观察已知条件与所求式子之
4、间的联系(从三角函数名及角入手)(3)将已知条件代入所求式子,化简求值3给值求角通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则:(1)已知正切函数值,则选正切函数(2)已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数若角的范围是,则选正、余弦皆可;若角的范围是(0,),则选余弦较好;若角的范围为,则选正弦较好.4常见的角的变换(1)已知角表示未知角例如:,.(2)互余与互补关系例如:,.(3)非特殊角转化为特殊角例如:15=4530,75=4530.典例2 求下列各式的值:(1)cos+cos-2sincos;(2)sin 138-cos 12+sin 54.【解析】(1)cos+cos-2s
5、incos=coscos=2coscoscos=coscos=0.(2)sin 138-cos 12+sin 54=sin 42-cos 12+sin 54=sin 42-sin 78+sin 54=-2cos 60sin 18+sin 54=sin 54-sin 18=2cos 36sin 18=.【名师点睛】“给角求值”,一般给出的角都是非特殊角,观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系,如和或差为特殊角,必要时运用诱导公式.2计算的结果为ABCD典例3 已知均为锐角,满足,则ABCD【答案】B【解析】由已知、均为锐角,又cos(+)coscossinsin,+故选:B【名师点睛】解答给值
6、求角问题的一般思路:求角的某一个三角函数值,此时要根据角的范围合理地选择一种三角函数;确定角的范围,此时注意范围越精确越好;根据角的范围写出所求角的值3已知,且.(1)求的值;(2)求.典例4 已知,.(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1);(2).【解析】(1),又,.(2)由(1)知:,由,得,.【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换和求值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4已知,且 (1)求的值;(2)若,求的值.考向三 三角恒等变换的综合应用1与三角函数的图象及性质相结合的综合问题(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y=Asin(x)t或y=A
7、cos(x)t的形式(2)利用公式求周期(3)根据自变量的范围确定x的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值,另外求最值时,根据所给关系式的特点,也可换元转化为二次函数的最值(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(x)t或y=Acos(x)t的单调区间2与向量相结合的综合问题三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题,一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件,并结合简单的向量运算,往往是两向量平行或垂直的计算,即令a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2y1y2,abx1y2=x2y1,abx1x2y1y2=0,把向量形式化为坐标运算后,接
8、下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用.3与解三角形相结合的综合问题(1)利用正弦定理把边的关系化成角,因为三个角之和等于,可以根据此关系把未知量减少,再用三角恒等变换化简求解;(2)利用正、余弦定理把边的关系化成角的关系再用三角恒等变换化简求解【注】此类题中的角是在三角形中,每个角范围限制在(0,)内,如果是锐角三角形,则需要限制各个角均在内角的范围在解题中至关重要,做题时要特别注意.典例5 已知函数f(x)=43sinxcosx+sin2x-3cos2x+1.(1)求函数f(x)的对称中心及最小正周期;(2)的外接圆直径为33,角A,B,C所对的边分别为a,b
9、,c.若f(6)=23a,且acosB+bsinB=c,求sinB的值.【解析】(1).由,得最小正周期为.令,得,故对称中心为(kZ).(2)f(6)=2=23a,a=3.asinA=2R,2R=33,sinA=33,acosB+bsinB=c,sinAcosB+sin2B=sinC ,又A+B+C=,sinAcosB+sin2B=sin(A+B),即sinAcosB+sin2B=sinAcosB+cosAsinB,即sin2B=cosAsinB,B(0,),sinB0,sinB=cosA,sinB0,cosA0,cosA=63.sinB=63.典例6 已知向量,且共线,其中(0,2).(1
10、)求tan(+4)的值;(2)若5cos(-)=35cos,02,求的值.【解析】(1),sin-2cos=0,即tan=2.(2)由(1)知tan=2,又(0,2),sin=255,cos=55,5cos(-)=35cos,5(coscos+sinsin)=35cos,即5cos+25sin=35cos,cos=sin,即tan=1,又0b,sinAsinC=12,的周长为3+3,求的面积.1(2019年高考全国卷理数)已知(0,),2sin2=cos2+1,则sin=A B C D2(2019年高考全国卷文数)tan255=A2B2+C2D2+3(2018高考全国卷文理数)若,则ABCD4
11、(2017高考全国卷文数)已知,则=AB CD5(2017高考山东卷文数)已知,则A B C D6(2019高考全国卷文数)已知a(0,),2sin2=cos2+1,则sin=ABCD7(2018高考全国文数)已知角的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边上有两点,且,则ABCD8(2018高考全国文数)已知,则_9(2017高考全国文数)已知,tan =2,则= .10(2017高考江苏卷)若则 11(2019高考江苏卷)已知,则的值是 .12(2018新课标全国理科)已知,则_13(2019高考浙江卷)设函数.(1)已知函数是偶函数,求的值;(2)求函数的值域14(2018高考浙江卷
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- 高中数学 考点 14 三角 恒等 变换
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