1、专题三 压轴解答题第六关 以数列与不等式相结合的综合问题【名师综述】数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视预计在高考中，比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现数列解答题的命题热点是与不等式交汇，呈现递
2、推关系的综合性试题其中，以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题类型一 求数列中的最值问题典例1【湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测】已知数列的首项，且对任意的，都有，数列满足，.（）求数列，的通项公式；（）求使成立的最小正整数的值.【解析】（）令得，解得.又由知 ，故数列是首项，公差的等差数列，于是，.（）由（）知，.于是 .来源:令，易知是关于的单调递增函数，又，故使成立的最小正整数的值是10.【名师指点】求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：(1)建
3、立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；(2)首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；(3)利用等差数列或等差数列的特征来求【举一反三】【山东省恒台第一中学2019届高三上学期诊断性考试】在数列中，前n项和为（1）求数列的通项公式；学_（2）项和，若恒成立，求k的最小值.【解析】（1）因为所以相减得：所以，所以是首项为1，公差为1的等差数列所以（2）所以因为 恒成立，所以，即.类型二 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题典例2 【河南省部分省示范性高中2018-2019学年高三数学试卷】已知等差数列的公差，其中是方程的两根，数列的前项和为，且满足.（1）求数列，的通项公式；
4、（2）设数列的前项和为，且，若不等式对任意都成立，求整数的最小值.【解析】（1）易得方程的两根为-1和7，因为，所以，.所以，所以.当时，由，得；当时，可得，两式相减得，即.所以.（2）由（1）得，所以，两式相减得，所以.当时，；当时，；当时，因为，所以.所以的最大值为，从而，得，所以整数的最小值为-4.【名师指点】求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数在定义域为，则当时，有恒成立；恒成立；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得【举一反三】【福建省福州市2019届高三第一学期质量抽测】在数列中，设， （）求证数列是等差数列，并求通项
5、公式；（）设，且数列的前项和，若，求使恒成立的的取值范围.【解析】证法一：解：（）由条件知，所以，所以，又，所以，数列是首项为1，公差为1的等差数列，故数列的通项公式为：.证法二：由条件，得 又，所以，数列是首项为1，公差为1的等差数列，故数列的通项公式为：.（）由（）知，则，由-得，恒成立，等价于对任意恒成立.，.类型三 数列参与的不等式的证明问题典例3山东省济宁市2019届高三上学期期末考试已知数列的前项和为，向量，且和共线(I)求数列的通项公式；()设，且数列的前项和为，求证：【解析】 (I)和共线， 当时，得， 当时，即数列是公比为2，首项为2的等比数列. ()由(I)知，所以所以【名
6、师指点】此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的【举一反三】四川省广元市高三2019届第一次高考适应性统考设为数列的前项和，已知，对任意，都有.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，证明：.【解析】（1）因为，当时，两式相减得： 即，所以当时，.所以，即.（2）因为，所以.所以 ，因为，所以. 又因为在上是单调递减函数，所以在上是单调递增函数. 所以当时，取最小值， 所以.【精选名校模拟】1福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查
7、设为各项均是正数的数列的前项和，满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求.来源:Z.X.X.K【解析】（1）当时，；时，-得：，满足上式，.（2）由（1）知数列是公比为的等比数列，由，得，即，所以.2福建省宁德市2018-2019学年度第一学期期末高三质量检测已知数列的前项和为，且.（）求数列的通项公式；（）设，数列的前项和为，求证：.（）由（）得，.3【福建省厦门市2019届高三年级第一学期期末质检】已知是首项为1的等差数列，是公比为2的等比数列，且.（1）求，的通项公式；（2）记的前项和为，的前项和为，求满足的最大正整数的值【解析】（1）设的公差为，的公比为，依题意得，即，解得所以，.（
8、2）由（1）可知，由可得，即因为是递增数列，又，所以满足的最大正整数的值是5.4. 【福建省泉州市2019届高三1月单科质检】数列中，.（1）求证：数列为等差数列，求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，求证：.学_【解析】（1）由， （即），可得，所以，所以数列是以为首项，以2为公差的等差数列，来源:Z,xx,k.Com所以，即.（2），所以，因为，所以.5【皖江名校2018届高三12月份大联考】等差数列和等比数列的各项均为正整数，且的前项和为，数列是公比为16的等比数列， .（1）求；（2）求证.【解析】（1）设的公差为， 的公比为，则都是正整数， ， 依题意有来源:ZXXK注意为正整数
9、，可得，所以（2） .6. 【北京市西城区2018届高三上学期期末考试】已知数列是公比为的等比数列，且是和的等差中项(I)求的通项公式；()设数列的前项之积为，求的最大值 （）令，即，得， 故正项数列的前项大于1，第项等于1，以后各项均小于1 所以 当，或时， 取得最大值， 的最大值为 7【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试】已知数列是等比数列，公比，前项和为，若，.（1）求的通项公式；（2）设，若恒成立，求的最小值.【解析】（1）由，得解得，或，（舍）.所以.（2）由（1）可知：.因为，所以单调递增.所以，恒成立时，又因为，故的最小值为8.8已知数列的前项和为,且,又数列满足()求数
10、列的通项公式；_网()当为何值时,数列是等比数列？并求此时数列的前项和的取值范围【解析】（）由，当时，；当时，故数列的通项公式为9【山东省聊城市第一中学2019届高三上学期期中考试】已知数列满足 ,其中为的前项和,数列满足 （1）求数列的通项公式及 ;（2）证明:【解析】（1）由已知时, 即:,又时,所以当时，故 , 又由得 ，即: , .(2) , ,故 .10【2018河南林州一中调研】已知数列an是等比数列，首项a1=1，公比q0，其前n项和为Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足，Tn为数列bn的前n项和，若Tnm恒成立，求m的
11、最大值【答案】（）；（）【解析】试题分析：（）因为， ， 成等差数列，所以，所以，因为数列是等比数列，所以，又，所以，所以数列的通项公式；（）因为恒成立，所以只需即可，由（）知，又，所以，利用错位相减法即可求得数列的前项和，通过的正负确定的单调性，进而求得的最小值，即可求得的最大值（）因为恒成立，所以只需即可，由（）知，又，所以，所以故所以来源:ZXXK所以所以所以是递增数列所以所以所以的最大值为11【吉林省长春外国语学校2019届高三上学期期末考试】已知数列的前n项和满足，且（1）求数列的通项公式；（2）记，为的前项和，求使成立的的最小值.【解析】（1）由已知有，数列为等差数列，且， ，即， 当时，又也满足上式， ；（2）由（1）知， ， 由有，有，所以， 的最小值为5.12【辽宁省鞍山一中2019届高三（上)期中数学】等差数列的前n项和为，且成等比数列，学_求数列的通项公式；令，数列的前n项和为，若对于任意的，都有成立，求实数的取值范围【解析】设等差数列的公差为d，由，得即，解得：，或，当，时，没有意义，此时由可知，.，为满足题意，必须，或13【江西省莲塘一中、临川二中2018届高三上学期第一次联考】各项均为正数的数列的前项和为，满足（1）求数列的通项公式；（2）令，若数列的前项和为，求的最小值.【解析】（1），所以或（舍去）当时， ， ，所以.