1、一方法综述如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体.与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过
2、作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积来求球的半径.二解题策略类型一 构造法（补形法）【例1】已知是球上的点， , ， ,则球的表面积等于_【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正方体）来解.长方体的外接球即为该三棱锥的外接球.【例2】【辽宁省鞍山一中2019届高三三模】刘徽九章算术商功中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马如图，是一个阳马的三视图
3、，则其外接球的体积为（）ABCD【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时，可以构造正方体，在正方体中构造三棱锥或四面体，利用三棱锥或四面体与正方体的外接球相同来解即可.【举一反三】1、【山东省济宁市2019届高三一模】已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为ABCD2、【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为（）ABCD3、【河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)】某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图
4、为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（ ）ABCD类型二 正棱锥与球的外接【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ）A B C D【指点迷津】求正棱锥外接球的表面积或体积，应先求其半径，在棱锥的高上取一点作为外接球的球心，构造直角三角形，利用勾股定理求半径.【举一反三】1、球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，ABC是边长为2的正三角形，平面SAB平面ABC，则棱锥SABC的体积的最大值为()A. B. C2 D42. 【四川省德阳市2018届高三二诊】正四面体ABCD的体积为，则正四面体ABCD的外接球的体积为_3
5、、【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次检查】正三棱锥中，点在棱上，且.正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，截球所得截面面积的最小值为_ 类型三 直棱柱的外接球【例4】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 .【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用球心、一底面的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形，用勾股定理得关于外接球半径的关系式，可球的半径.【举一反三】1、【云南省2019年高三第二次统一检测】已知直三棱柱的顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则这个直三棱柱的体积是（ ）A16B15CD2、已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上
6、,若,则球的半径为（）ABCD 3、 正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 .三强化训练一、选择题1、九章算木中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形，该“阳马”的体积为，若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）ABCD2【河南省郑州市第一中学2019届高三上期中】在三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（）ABCD3【广东省深圳市2019届高三第一次（2月)调研】已知A，B，C为球O的球面上的三个定点，P为球O的球面上的动点，记三棱锥p一
7、ABC的体积为，三棱銋O一ABC的体积为，若的最大值为3，则球O的表面积为ABCD4【江西省南昌市南昌外国语学校2019届高三高考适应】在三棱锥SABC中，ABBC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角SACB的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）ABCD5【四川省泸州市泸县第一中学2019届高三三诊】点，在同一个球面上，若球的表面积为，则四面体体积的最大值为ABCD6三棱锥PABC中，底面ABC满足BA=BC， ，点P在底面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P到底面ABC的距离为（ ）A3BCD7【四川省成都外国语学校2019
8、届高三上学期第一次月考】已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱锥P-AEF的外接球表面积为（）ABCD8【2019届高三第二次全国大联考】中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于ABCD二、填空题9【江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学2019届高三4月联考】
9、已知在三棱锥中， ，则三棱锥外接球的表面积为_10【四川省泸州市2019届高三上学期一诊】已知三棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正三角形且和球心O在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为，则球O的表面积等于_11【湖南省2019届高三六校(长沙一中、常德一中等)联考】已知四棱锥的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球的表面积等于_.12【陕西省榆林市2019届三模】如图，是边长为2的正方形，其对角线与交于点，将正方形沿对角线折叠，使点所对应点为，.设三棱锥的外接球的体积为，三棱锥的体积为，则_13【云南省2019届高三第一次检测】已知，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，,平面平面，则球的表面积为_.14【陕西省汉中市2019届高三第二次检测】三棱锥中，侧棱与底面垂直，且，则三棱锥的外接球的表面积等于_15【山西省吕梁市2019年4月模拟】在四棱锥中，是等边三角形，底面是矩形，平面平面，若，则四棱锥的外接球的表面积是_16【广西桂林市2019届高三4月综合能力检测（一模)】已知是球表面上四点，点为的中点，且，则球的表面积是_17.【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期一模】在三棱锥中，是等边三角形，底面， ，则该三棱锥的外接球的表面积为_6