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2017-2018学年河南省洛阳市高一(下)期中数学试卷(含详细解答)

1、2017-2018学年河南省洛阳市高一(下)期中数学试卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1(5分)若象限角满足sin|sin|+cos|cos|1,则是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角2(5分)下列说法正确的个数为()若,是两个单位向量,则;若,则;与任何一向量平行,则;()A1B2C3D43(5分)若向量,满足|,则()A0BmCmD4(5分)函数f(x)tanx2x在区间()上的图象大致是()ABCD5(5分)下列四个结论中,正确的是()A函数ytan(x)是奇函数B函数y|sin(2x+)|的最小

2、正周期是C函数ytanx在(,+)上是增函数D函数ycosx在区间2k(kZ)上是增函数6(5分)若将函数ysin(2x)的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位,则所得函数图象的一个对称中心为()A()B()C()D()7(5分)已知非零向量与满足()0,且,则ABC为()A等腰非直角三角形B直角非等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形8(5分)函数f(x)Asin(x+)+B(A0,0,|)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是()Ay2sin(2x+)+2By2sin(2x)+2Cy2sin(x+)2Dy2sin(x)+29(5分)已知O是ABC内部一点,

3、且3,则OBC的面积与ABC的面积之比为()AB1CD210(5分)已知函数f(x),若实数a,b,c互不相等,且满足f(a)f(b)f(c),则a+b+c的取值范围是()A(6,12)B(3,30)C(6,30)D(12,36)11(5分)定义函数maxf(x),g(x),已知函数f(x)maxsinx,cosx(xR),关于函数f(x)的性质给出下面四个判断:函数f(x)是周期函数,最小正周期为2;函数f(x)的值域为1,1;函数f(x)在区间+2k,2k(kZ)上单调递增;函数f(x)的图象存在对称中心其中判断正确的个数是()A3B2C1D012(5分)在直角ABC中,BCA90,CAC

4、B1,P为AB边上的点且,若,则的取值范围是()A,1B,1C,D,二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13(5分)sin20cos10cos200sin(190) 14(5分)在ABC中,tanA,tanB是关于x的方程x2p(x1)+10的两个实根,则C 15(5分)已知向量(2,1),(1,m),若与夹角为钝角,则m的取值范围是 (用区间表示)16(5分)已知边长为2的正方形ABCD,以A为圆心做与对角线BD相切的圆,点P在圆周上且在正方形ABCD内部(包括边界),若m(M,NR),则m+n的取值范围为 (用区间表示)三、解答题:本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明

5、、证明过程或演算步骤。17(10分)已知(sin+cos,2),(sincos,1),且(1)求tan的值;(2)求+tan2的值18(12分)已知平面上三个向量,其中(1,)(1)若|1,且,求的坐标;(2)若|,且(2)(),求与的夹角19(12分)已知(,cosx),(,2sin(x),f(x)(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)若x,求函数f(x)的最值及对应的x的值20(12分)已知函数f(x)6cos2sinx3(0),在一个周期内的函数图象如图所示,A为图象的最高点,B,C为函数图象与x轴的两个交点,且ABC为等边三角形(1)求的值;(2)求不等式f(x)的解集21

6、(12分)如图,扇形OAB周长为6,AOB1,PQ过AOB的重心G,设,m,n(m0,n0)(1)求扇形OAB的面积;(2)试探索是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由22(12分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,cosx),B(1+sinx,cosx),且x0,A,B,C三点满足(1)求证:A,B,C三点共线;(2)若函数f(x)+(2m+)|+m2的最小值为,求实数m的值2017-2018学年河南省洛阳市高一(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1(5分)若象限角满足s

7、in|sin|+cos|cos|1,则是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角【分析】根据同角的三角函数关系得出sin0且cos0,由此判断是第几象限角【解答】解:象限角满足sin|sin|+cos|cos|1,sin2cos21,是第三象限角故选:C【点评】本题考查了同角的三角函数关系应用与三角函数值符号的判断问题,是基础题2(5分)下列说法正确的个数为()若,是两个单位向量,则;若,则;与任何一向量平行,则;()A1B2C3D4【分析】利用单位向量、向量平行、向量的数量积公式直接求解【解答】解:在中,若,是两个单位向量,则|,故错误;在中,若,则当0时,不一定成立,故错误;在

8、中,与任何一向量平行,由零向量平行于所有向量,得,故正确;在中,由向量的数量积不满足结合律,得()不成立,故错误故选:A【点评】本题考查命题真假的判断,考查单位向量、向量平行、向量的数量积公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题3(5分)若向量,满足|,则()A0BmCmD【分析】推导出|2|2,由此能求出0【解答】解:向量,满足|,|2|2,0故选:A【点评】本题考查向量的数量积的求法,考查向量的数量积公式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想,是基础题4(5分)函数f(x)tanx2x在区间()上的图象大致是()ABCD【分析】求得函数为奇函数

9、,图象关于原点对称,排除A,C;再当x时,f()tan10,故排除D,即可得到正确结论【解答】解:函数f(x)tanx2x,定义域为()关于原点对称,且f(x)tan(x)+2xtanx+2xf(x),则f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除A,C;当x时,f()tan10,故排除D,故选:B【点评】本题考查函数的图象的画法,注意运用函数的奇偶性和图象的对称性,以及特殊点,考查数形结合思想方法,属于中档题5(5分)下列四个结论中,正确的是()A函数ytan(x)是奇函数B函数y|sin(2x+)|的最小正周期是C函数ytanx在(,+)上是增函数D函数ycosx在区间2k(kZ)上是增函数【

10、分析】根据三角函数的性质依次判断即可;【解答】解:对于A:由定义域:x,即x,不关于原点对称,A不对;对于B,根据ysin(2x)的图象把下部份翻折后,可得函数y|sin(2x+)|的是周期函数,且周期变为原来的一半,最小正周期是,B不对;对于C:函数ytanx的定义域为:x|x,函数ytanx在(,+)上是增函数不对;对于D:根据函数ycosx的性质可得在区间2k(kZ)上是增函数;D对;故选:D【点评】本题考查了三角函数的基本性质的应用和判断,属于基础题6(5分)若将函数ysin(2x)的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位,则所得函数图象的一个对称中心为(

11、)A()B()C()D()【分析】根据三角函数图象平移变换法则,得出变换后的函数解析式,再求出函数图象的一个对称中心【解答】解:将函数ysin(2x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得ysin(x)的图象,再向右平移个单位,得ysin(x)sin(x)的图象;令xk,kZ,得xk+,kZ;k0时,得函数y图象的一个对称中心为(,0)故选:A【点评】本题考查了三角函数图象的平移变换问题,也考查了图象变换问题,是基础题7(5分)已知非零向量与满足()0,且,则ABC为()A等腰非直角三角形B直角非等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形【分析】推导出ABAC,BAC90,从而AB

12、C是等腰直角三角形【解答】解:、分别是、方向的单位向量,在BAC的平分线上,非零向量与满足()0,ABAC,cos,BAC90,ABC是等腰直角三角形故选:C【点评】本题考查三角形形状的判断,考查向量的数量积公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题8(5分)函数f(x)Asin(x+)+B(A0,0,|)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是()Ay2sin(2x+)+2By2sin(2x)+2Cy2sin(x+)2Dy2sin(x)+2【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值,可得函数的解析式【解答】解:根据函数f(x)Asin(x+)+

13、B(A0,0,|)的部分图象,可得B2,T4(),2再根据五点法作图可得2+,故f(x)2sin(2x)+2,故选:B【点评】本题主要考查由函数yAsin(x+)的部分图象求解析式,由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值,属于基础题9(5分)已知O是ABC内部一点,且3,则OBC的面积与ABC的面积之比为()AB1CD2【分析】由向量式可得O为三角形ABC中位线FE的三等分点(靠近E),从而可得两三角形面积和ABC的关系,可从而得答案【解答】解:3,2(如图E,F分别是对应边的中点,由平行四边形法则知:2,O为三角形ABC中位线FE的三等分点(靠近E),O到CB的距离是

14、三角形ABC高的一半,则OBC的面积与ABC的面积之比为1:2故选:A【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、三角形的面积之比,考查了作图的能力,考查了推理能力与计算能力,属于难题10(5分)已知函数f(x),若实数a,b,c互不相等,且满足f(a)f(b)f(c),则a+b+c的取值范围是()A(6,12)B(3,30)C(6,30)D(12,36)【分析】求得f(x)在(0,3)递减,在(3,6)递增;在(6,+)递减,画出f(x)的图象,可得a+b6,6c30,即可得到所求范围【解答】解:当0x6时,f(x)cosx在(0,3)递减,在(3,6)递增;x6时,f(x)2log3(x3)递

15、减,且f(3)f(30)1,作出函数f(x)的图象,设abc,则a+b6,6c30,则a+b+c的范围是(12,36)故选:D【点评】本题考查分段函数的运用,注意运用转化思想和函数的对称性和单调性,考查运算能力,属于中档题11(5分)定义函数maxf(x),g(x),已知函数f(x)maxsinx,cosx(xR),关于函数f(x)的性质给出下面四个判断:函数f(x)是周期函数,最小正周期为2;函数f(x)的值域为1,1;函数f(x)在区间+2k,2k(kZ)上单调递增;函数f(x)的图象存在对称中心其中判断正确的个数是()A3B2C1D0【分析】分别画出函数ysinx和ycosx的图象,运用

16、分段函数写出f(x),结合图象分析周期性、单调性和值域、对称性,即可得到所求结论【解答】解:分别作出函数ysinx和ycosx的图象,可得函数f(x)maxsinx,cosx,可得f(x)为周期函数,最小正周期为2;f(x)的值域为,1;f(x)在2k,2k递减,在(2k,2k)递增;f(x)关于直线xk+,kZ对称,无对称中心即B,C,D均错,A正确故选:C【点评】本题考查三角函数的图象和性质,考查新定义的理解和运用,注意运用数形结合思想方法,考查判断能力,属于中档题12(5分)在直角ABC中,BCA90,CACB1,P为AB边上的点且,若,则的取值范围是()A,1B,1C,D,【分析】把三

17、角形放入直角坐标系中,求出相关点的坐标,利用已知条件即可求出的取值范围【解答】解:直角ABC中,BCA90,CACB1,以C为坐标原点CA所在直线为x轴,CB所在直线为y轴建立直角坐标系,如图:C(0,0),A(1,0),B(0,1),0,1,1+2+2224+10,解得:,0,1,1故选:B【点评】本题考查向量在几何中的应用,向量的数量积以及向量的坐标运算,考查计算能力以及转化思想二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13(5分)sin20cos10cos200sin(190)【分析】利用诱导公式变形,再由两角和的正弦化简求值【解答】解:sin20cos10cos200sin(19

18、0)sin20cos10cos(180+20)sin(18010)sin20cos10+cos20sin10sin30故答案为:【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用及三角函数的诱导公式,是基础题14(5分)在ABC中,tanA,tanB是关于x的方程x2p(x1)+10的两个实根,则C45【分析】先由韦达定理求出tanA+tanB,tanAtanB,再由两角和的正切公式即可计算出C值【解答】解:tanA,tanB是关于x的方程x2p(x1)+10 即x2px+p+10的两个实根tanA+tanBp tanAtanBp+1tan(A+B)1A+B135C18013545故答案为:45【点评】本

19、题综合考查了一元二次方程根与系数的关系,两角和的正切公式,解题时要牢记公式,认真计算15(5分)已知向量(2,1),(1,m),若与夹角为钝角,则m的取值范围是()()(用区间表示)【分析】根据平面向量与夹角为钝角知,由此求出m的取值范围【解答】解:向量(2,1),(1,m),若与夹角为钝角,则,解得m2且m,m的取值范围是(,)(,2)故答案为:(,)(,2)【点评】本题考查了平面向量的数量积与夹角公式的应用问题,是基础题16(5分)已知边长为2的正方形ABCD,以A为圆心做与对角线BD相切的圆,点P在圆周上且在正方形ABCD内部(包括边界),若m(M,NR),则m+n的取值范围为(用区间表

20、示)【分析】建立直角坐标系,根据题意写出P的两种坐标表示,由此能求出m+n的最值【解答】解:以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴则P点根据题意可表示为P在以A为原点,为半径的圆上,则P(m,n)P(cos,) (0,),m+nsin+cossin(+),+,sin(+)1,即m+n1,故答案为:,1【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意平面向量加法法则的合理运用三、解答题:本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(10分)已知(sin+cos,2),(sincos,1),且(1)求tan的值;(2)求+tan2的值【分析】(

21、1)由向量的坐标运算列式,再由同角三角函数基本关系式化简求得tan的值;(2)把要求值的式子化为含有tan的代数式求解【解答】解:(1)(sin+cos,2),(sincos,1),由,得sin+cos2(sincos),即sin3cos,得tan3;(2)+tan2【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用,考查向量的坐标运算,是基础题18(12分)已知平面上三个向量,其中(1,)(1)若|1,且,求的坐标;(2)若|,且(2)(),求与的夹角【分析】(1)设(),由|1,求出,由此能求出(2)设与的夹角为,由|,且(2)(),求出2,从而cos,由此能求

22、出与的夹角【解答】解:(1)平面上三个向量,(1,),设(),|1,1,解得,()或()(2)设与的夹角为,|,且(2)(),(2)()0,4,2,2,cos,与的夹角为【点评】本题考查向量的坐标的求法,考查向量的夹角的求法,考查向量的数量积公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题19(12分)已知(,cosx),(,2sin(x),f(x)(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)若x,求函数f(x)的最值及对应的x的值【分析】(1)求出f(x)sin(2x),由此能求出f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)由x,得,从而sin(2x)1,由此能求出函数f(

23、x)的最值及对应的x的值【解答】解:(1)(,cosx),(,2sin(x),f(x)sin(2x),f(x)的最小正周期T,令2k2k,kZ,解得k,kZ,f(x)的单调递增区间为k,k,(kZ)(2)x,sin(2x)1,当2x,即x时,函数f(x)取最大值,当2x,即x时,函数f(x)取最小值1【点评】本题考查三角函数的最小正周期、单调递增区间及最值的求法,考查向量和数量积公式、三角函数的图象、性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题20(12分)已知函数f(x)6cos2sinx3(0),在一个周期内的函数图象如图所示,A为图象的最高点,B,C为函数图象与x轴的两

24、个交点,且ABC为等边三角形(1)求的值;(2)求不等式f(x)的解集【分析】(1)降幂后利用辅助角公式化积,求出函数最大值,得到等边三角形底边上的高,求得边长,得到周期,由周期公式求得;(2)由(1)可得函数解析式,然后求解三角不等式得答案【解答】解:(1)f(x)6cos2sinx33(cosx+1)+sinx3函数f(x)的最大值为ABC为等边三角形,BC边上的高为,BC4函数f(x)的最小正周期为8,得;(2)由(1)可知,f(x)由f(x),得即,kZ即8kx8k+2,kZ不等式f(x)的解集为x|8kx8k+2,kZ【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用,考查数形结合的解题思想方

25、法,利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键,是中档题21(12分)如图,扇形OAB周长为6,AOB1,PQ过AOB的重心G,设,m,n(m0,n0)(1)求扇形OAB的面积;(2)试探索是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由【分析】(1)利用已知求得弧长和半径,即可得面积,(2)由三角形的重心的性质可得,由P,G,Q三点共线可得为定值【解答】解:(1)设弧长为l,半径为r由,解得,扇形OAB的面积S(2):由三角形的重心的性质可得,P,G,Q三点共线,为定值3【点评】本题考查本题考查两个向量的加减法的法则以及其几何意义,考查了扇形的面积计算,属于中档题22(12分)在平面直角

26、坐标系中,O为坐标原点,A(1,cosx),B(1+sinx,cosx),且x0,A,B,C三点满足(1)求证:A,B,C三点共线;(2)若函数f(x)+(2m+)|+m2的最小值为,求实数m的值【分析】(1)推导出(),从而,有公共点A,由此能证明A,B,C三点共线(2)由(1,cosx),(1+sinx,cosx),x0,(1+sinxcosx),从而1+,|sinx,进而函数f(x)1+sinx+cos2x+(2m+)sinx+m2sinx(m+)2+2m2+,由此能求出m的值【解答】证明:(1)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,cosx),B(1+sinx,cosx),且x0,

27、A,B,C三点满足(),又,有公共点A,A,B,C三点共线解:(2)(1,cosx),(1+sinx,cosx),x0,+(1+sinx,cosx)(1+sinx+cos2x)+m21+sinx+cos2x+(2m+)|+m2(1+sinxcosx),1+,|sinx,函数f(x)+(2m+)|+m21+sinx+cos2x+(2m+)sinx+m2,即f(x)1+(2m+)sinx+cos2x+m2sin2x+(2m+)sinx+2+m2sinx(m+)2+2m2+,x0,sinx(0,1,当m+,即m时,当sinx1时,f(x)min1+2m+,解得m3或m1,又m时,m3当m+,即m时,当sinx0时,f(x)min2+m2解得m,又m,m,综上所述,m的值为m1或m【点评】本题考查三点共线的证明,考查实数值的求法,考查向量加法定理、向量的数量积公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题